Calculer un produit vectoriel

À tenir avant

• Calculer un produit scalaire et tester l'orthogonalité

Cette méthode au national

4 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(0,1,4)$, $B(2,1,2)$, $C(2,5,0)$ et $\Omega(3,4,4)$.

  1. a) Montrer que $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=4(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k})$. b) En déduire l'aire du triangle $ABC$ et…
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  1. a) $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=4(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k})$ ; b) Aire $=6$, $d(B,(AC))=2$.
  2. $d(\Omega,(ABC))=3$.
  3. a) Centre $\Omega(3,4,4)$, rayon $R=3$ ; b) tangent en $D(1,3,2)$.
  4. $(Q_1): 2x+y+2z-12=0$ et $(Q_2): 2x+y+2z-24=0$.

  ce que le barème veut ·

  1a) Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ puis le produit vectoriel directement. 1b) Aire$=\frac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|=\frac12\times 4\sqrt{2^2+1^2+2^2}=6$ ; et $d(B,(AC))=\frac{\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|}{\|\vec{AC}\|}=2$. 2a) $D$ milieu de $[AC]$ donc $D(1,3,2)$; calculer $\vec{D\Omega}(2,1,2)$, vérifier égalité vectorielle. 2b) $\vec{AB}\wedge\vec{AC}$ normal à $(ABC)$, donc $\vec{D\Omega}$ normal à $(ABC)$ donc $D$ est projeté de $\Omega$: $d(\Omega,(ABC))=\|D\Omega\|=3$. 3a) Forme canonique: centre $(3,4,4)$, $R=\sqrt{9+16+16-32}=3$. 3b) Comme $d(\Omega,(ABC))=R=3$, le plan est tangent en $D$ (point de contact = projeté orthogonal, ici $D$ puisque $DQ=R$). 4) Plans parallèles à $(ABC)$ ont pour vecteur normal $(2,1,2)$, équation $2x+y+2z+d=0$. Cercle de rayon 5 nécessite $R^2 = 3^2 = 5^2 + d(\Omega,(Q))^2$... en réalité rayon du cercle$^2$+$d^2$=$R^2$ mais ici comme $R=3<5$ c'est incohérent sauf si on utilise $d(\Omega,(Q))$ tel que $d^2 = R^2 - r^2$ n'est pas possible avec r=5>R=3, donc le corrigé précise $d(\Omega,(Q))=2$ (calcul du corrigé), résolvant $|18+d|/3=2$ donnant $d=-12$ ou $d=-24$, d'où les deux plans.
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$, on considère les points $A(2,1,2)$, $B(-2,0,5)$, $C(4,-5,7)$ et $\Omega(1,-1,0)$. On pose $\vec u=\vec{\Omega A}$. Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R=3$.

  1. a) Montrer que…
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  1. $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=13\vec u$, donc $A,B,C$ non alignés. $(ABC): x+2y+2z-8=0$, tangent à $(S)$ en $A$.
  2. $H\left(\tfrac12,-1,\tfrac32\right)$ ; $D(-1,-3,1)$.
  3. $(Q)$ tangent à $(S)$ en $D$ ; $(Q)\cap(ABC)=(BC)$.

  ce que le barème veut ·

  1a) $\vec{AB}(-4,-1,3)$, $\vec{AC}(2,-6,5)$, calcul du produit vectoriel donne $(13,26,26)=13(1,2,2)=13\vec u$ avec $\vec u=\vec{\Omega A}=(1,2,2)$. Comme $\vec{AB}\wedge\vec{AC}\ne\vec0$, $A,B,C$ non alignés. 1b) $\vec u(1,2,2)$ normal à $(ABC)$ ; en écrivant $x+2y+2z+d=0$ et en substituant $A(2,1,2)$ on trouve $d=-8$. 1c) $\vec u=\vec{\Omega A}$ normal à $(ABC)$ donc $A$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$, donc $d(\Omega,(ABC))=\Omega A=\sqrt{1+4+4}=3=R$, et $A\in(S)$ : le plan est tangent en $A$. 2a) $\vec n(3,4,1)$ normal à $(P)$, directeur de $(\Delta)$. Paramétrer $(\Delta)$ à partir de $A$ et résoudre avec l'équation de $(P)$ donne $t=-\tfrac12$ et $H\left(\tfrac12,-1,\tfrac32\right)$. 2b) $H$ milieu de $[AD]$ : $D=2H-A=(-1,-3,1)$. 3a) $\vec{\Omega D}$ normal à $(Q)$, $D\in(Q)$ donc $D$ projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(Q)$ : $d(\Omega,(Q))=\Omega D=\sqrt{4+4+1}=3=R$ et $D\in(S)$ : tangence en $D$. 3b) Équation de $(Q)$ : $-2x-2y+z-9=0$ (via $$\v$
• NATIONAL 2014 · normale3 pts
  Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ les points $A(0, 3, 1)$, $B(-1, 3, 0)$ et $C(0, 5, 0)$, ainsi que la sphère $(S)$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 5 = 0$.

  1. a) Montrer que…
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  1. a) $\vec{AB} \times \vec{AC} = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k} \neq \vec{0}$, donc $A$, $B$, $C$ sont non alignés. b) Plan $(ABC) : 2x - y - 2z + 5 = 0$
  2. a) Centre $Q(2, 0, 0)$ et rayon $R = 3$ b) $d(Q, \text{plan}) = 3 = R$, donc le plan est tangent à la sphère c) Point de tangence : $H(0, 1, 2)$

  ce que le barème veut ·

  Question 1.a : Produit vectoriel et non-alignement

  • $\vec{AB} = B - A = (-1, 3, 0) - (0, 3, 1) = (-1, 0, -1)$
  • $\vec{AC} = C - A = (0, 5, 0) - (0, 3, 1) = (0, 2, -1)$
  • Produit vectoriel :

  $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}$ $= \vec{i}(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2) - \vec{j}((-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 0) + \vec{k}((-1) \cdot 2 - 0 \cdot 0)$ $= \vec{i}(0 + 2) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(-2 - 0) = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}$

  • Puisque $\vec{AB} \times \vec{AC} \neq \vec{0}$, les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $A$, $B$, $C$ non alignés ✓

  Question 1.b : Équation du plan

  • Vecteur normal au plan : $\vec{n} = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k} = (2, -1, -2)$
  • Équation générale : $2(x - x_A) - 1(y - y_A) - 2(z - z_A) = 0$
  • Avec $A(0, 3, 1)$ : $2(x - 0) - (y - 3) - 2(z - 1) = 0$
  • $2x - y + 3 - 2z + 2 = 0$
  • $2x - y - 2z + 5 = 0$ ✓

  Question 2.a : Centre et rayon de la sphère

  • Équation $(S) : x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 5 = 0$
  • Forme canonique : $(x^2 - 4x) + y^2 + z^2 = 5$
  • Compléter le carré : $(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 + z^2 = 5$
  • $(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 9$
  • Centre :…
• NATIONAL 2014 · normale3 pts
  Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ les points $A(0; 3; 1)$, $B(-1; 3; 0)$, $C(0; 5; 0)$.

  1. a) Montrer que $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}$ et en déduire que $A$, $B$ et $C$ sont non alignés. b)…
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  1) a) $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k} \neq \vec{0}$, donc $A$, $B$, $C$ sont non alignés. 1) b) L'équation du plan $(ABC)$ est $2x - y - 2z + 5 = 0$. 2) a) Le centre est $\Omega(2; 0; 0)$ et le rayon est $R = 3$. 2) b) La distance du centre au plan est $d(\Omega, (ABC)) = 3 = R$, donc le plan est tangent à $(S)$. 2) c) Le point de tangence est $H(0; 1; 2)$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1) a) - Calculer le produit vectoriel $\vec{AB} = B - A = (-1; 3; 0) - (0; 3; 1) = (-1; 0; -1)$ $\vec{AC} = C - A = (0; 5; 0) - (0; 3; 1) = (0; 2; -1)$ Produit vectoriel : $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}$ $= \vec{i}(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2) - \vec{j}((-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 0) + \vec{k}((-1) \cdot 2 - 0 \cdot 0)$ $= \vec{i}(0 + 2) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(-2 - 0)$ $= 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}$ Puisque ce vecteur est non nul, $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés. Question 1) b) - Équation du plan $(ABC)$ Le vecteur normal au plan est $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} = (2; -1; -2)$. L'équation générale est : $2x - y - 2z + d = 0$. Puisque $A(0; 3; 1) \in (ABC)$ : $2(0) - 3 - 2(1) + d = 0$ $-3 - 2 + d = 0$ $d = 5$ Donc l'équation du plan est : $2x - y - 2z + 5 = 0$. Question 2) a) - Centre et rayon de la sphère L'équation de $(S)$ est : $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 5 = 0$. Réécrire sous forme canonique en complétant le carré : $(x^2 - 4x) + y^2 + z^2 = 5$ $(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 + z^2 = 5$ $(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 9$ Donc le…
• TYPE BAC4 pts
  A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1). Donner un vecteur normal au plan (ABC), puis une équation cartésienne de ce plan.Voir la correction

  la correction

  AB=(-1,1,0), AC=(-1,0,1). n = AB ∧ AC = (1,1,1). Plan: x+y+z=1.

  ce que le barème veut · Deux vecteurs du plan, leur produit vectoriel est un normal; l'équation est n·(M-A)=0.
• TYPE BAC3 pts
  u(1,0,1) et v(0,1,1). Calculer u ∧ v, puis l'aire du parallélogramme construit sur u et v.Voir la correction

  la correction

  u ∧ v = (-1,-1,1). ||u ∧ v|| = √3. L'aire vaut √3.

  ce que le barème veut · Produit vectoriel par le déterminant formel, puis aire = ||u ∧ v||.