Montrer qu'une famille est libre

À tenir avant

• Montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel

Cette méthode au national

Questions de type Bac qui demandent cette méthode.

• TYPE BAC2 pts
  Déterminer si les vecteurs $u = (1, 2)$ et $v = (3, 6)$ sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants dans $\mathbb{R}^2$.
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  Les vecteurs $u$ et $v$ sont linéairement dépendants.

  ce que le barème veut · 1. Vérifier si l'un des vecteurs peut s'écrire comme un multiple scalaire de l'autre. 2. Si oui, ils sont linéairement dépendants.
• TYPE BAC4 pts
  Dans $\mathbb{R}^3$, on considère les vecteurs $u=(1,1,0)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(0,1,1)$.

  1. Montrer que la famille $\big(u,v,w\big)$ est libre.
  2. En déduire qu'elle est une base de $\mathbb{R}^3$.
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  1. Soient $a,b,c\in\mathbb{R}$ tels que $au+bv+cw=0$. On a $a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(0,0,0),$\nsoit$$(a+b,\ a+c,\ b+c)=(0,0,0)$. On obtient donc le système$a+b=0,$\quad$ a+c=0,$\quad$ b+c=0. De $a+b=0$, on a $b=-a$. De $a+c=0$, on a $c=-a$. Alors $b+c=0$ donne $-a-a=0$, donc $a=0$. Ainsi $b=0$ et $c=0$. La famille $\big(u,v,w\big)$ est libre.
  2. $\mathbb{R}^3$ est de dimension $3$, et la famille $\big(u,v,w\big)$ contient $3$ vecteurs libres. Donc c'est une base de $\mathbb{R}^3$.

  ce que le barème veut ·

  Poser une combinaison linéaire nulle des trois vecteurs et identifier les coordonnées pour obtenir un système. Résoudre ce système pour montrer que seuls les coefficients nuls conviennent. Conclure avec le théorème : dans un espace de dimension $3$, toute famille libre de $3$ vecteurs est une base.
• TYPE BAC4 pts
  Dans $\mathbb{R}_2[X]$, on considère les polynômes $P_1=1$, $P_2=X$ et $P_3=1+X^2$. Montrer que la famille $\big(P_1,P_2,P_3\big)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.
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  On sait que $\mathbb{R}_2[X]$ est de dimension $3$. Il suffit donc de montrer que la famille est libre. Soient $a,b,c\in\mathbb{R}$ tels que $aP_1+bP_2+cP_3=0$. Alors $a$\cdot$1+bX+c(1+$X^2$)=0,$\nsoit$(a+c)+bX+$cX^2$=0. Le polynôme nul ayant tous ses coefficients nuls, on obtient$c=0,$\quad$ b=0,$\quad$ a+c=0. Comme $c=0$, on a $a=0$. Donc $a=b=c=0$. La famille $\big(P_1,P_2,P_3\big)$ est libre. Comme elle contient $3$ polynômes dans un espace de dimension $3$, c'est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.

  ce que le barème veut ·

  Écrire une combinaison linéaire nulle de $P_1,P_2,P_3$, développer, puis identifier les coefficients du polynôme nul. Utiliser ensuite le fait qu'une famille libre de $3$ vecteurs dans un espace de dimension $3$ est une base.