Montrer qu'une famille est une base et donner la dimension

À tenir avant

• Montrer qu'une famille est libre
• Montrer qu'une famille est génératrice

Cette méthode au national

2 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2019 · rattrapage10 pts
  On considère l'espace vectoriel de dimension $2$ noté $(V, +, \cdot)$. Soit $(i, j)$ une base de $V$. On pose : $e_1 = i + j$ et $e_2 = i - j$. Soit $\times$ la loi de composition interne définie par :…
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  1-a $(e_1, e_2)$ est une base car $e_1 = i + j$ et $e_2 = i - j$ sont linéairement indépendants (déterminant $\neq 0$). 1-b Par la définition de $\times$ :

  • $e_1 \times e_1 = 1 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 = e_1$
  • $e_1 \times e_2 = 1 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 = e_1$ (correction : $e_1 \times e_2 = e_2$ si coefficients $(1,0) \times (0,1)$)
  • $e_2 \times e_1 = e_2$
  • $e_2 \times e_2 = 0 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2 = e_2$ (correction : $0$)

  1-c Vérification : $(Xe_1 + Ye_2) \times (X'e_1 + Y'e_2) = XX'e_1 + YY'e_2$ ✓ 2 Commutativité : $A \times B = XX'e_1 + YY'e_2 = X'Xe_1 + Y'Ye_2 = B \times A$ ✓ 2-b Associativité : $(A \times B) \times C = (XX'Xe_1 + YY'Ye_2) \times (X''e_1 + Y''e_2) = XX'X''e_1 + YY'Y''e_2 = A \times (B \times C)$ ✓ 2-c Élément neutre : $e = e_1$ car $e_1 \times u = u$ pour tout $u \in V$. 2-d $(V, +, \times)$ est anneau commutatif unitaire ✓ 3-a $(E_u, +)$ : $0 \in E_u$; si $x_1u, x_2u \in E_u$ alors $(x_1 + x_2)u \in E_u$; si $xu \in E_u$ alors $-xu \in E_u$ ✓ 3-b $(E_u, +, \cdot)$ sous-espace : vérifier fermeture pour $+$ et multiplication scalaire ✓ 3-c $E_u$ stable pour $\times$ $\Leftrightarrow$…

  ce que le barème veut ·

  1-a Montrer que $(e_1, e_2)$ est libre : si $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 = 0$, alors $(\lambda_1 + \lambda_2)i + (\lambda_1 - \lambda_2)j = 0$, d'où $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$. 1-b Appliquer la définition de $\times$ : $(Xe_1 + Ye_2) \times (X'e_1 + Y'e_2) = XX'e_1 + YY'e_2$.

  • Pour $e_1 \times e_1 : X=1, Y=0, X'=1, Y'=0 \Rightarrow e_1$
  • Pour $e_1 \times e_2 : X=1, Y=0, X'=0, Y'=1 \Rightarrow e_2$ (correction du corrigé)
  • Pour $e_2 \times e_2 : X=0, Y=1, X'=0, Y'=1 \Rightarrow 0$

  1-c Développement direct par bilinéarité. 2 Commutativité : $A \times B$ et $B \times A$ donnent la même expression $XX'e_1 + YY'e_2$. 2-b Associativité : développer $(A \times B) \times C$ et $A \times (B \times C)$. 2-c Chercher $e \in V$ tel que $e \times A = A$ pour tout $A$ : $e = e_1$ convient. 2-d Conclusion : $(V, +, \times)$ est anneau commutatif unitaire d'élément neutre $e_1$. 3-a Vérifier les axiomes de sous-groupe : $0_V \in E_u$, fermeture pour addition et inverse. 3-b Même principe : vérifier fermeture pour la multiplication scalaire par éléments de $\mathbb{R}$. 3-c Dire : $E_u$ stable $\Leftrightarrow \forall x, xu \times xu \in E_u$.…
• NATIONAL 2013 · rattrapage3 pts
  Exercice 1 : Structures algébriques (3,5 points) Partie I — Pour tout $x$ et $y$ de l'intervalle $G = [1, 2]$, on pose : $x * y = \frac{(x-1)(y-1) + (x-2)(y-2)}{2}$

  1. Montrer que $*$ est une loi de composition interne dans $G$.
  2. On rappelle que…
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  Partie I

  1. $*$ est une loi interne dans $G$ : pour $x, y \in [1, 2]$, on vérifie que $x * y \in [1, 2]$.
  2. a) $f$ est un isomorphisme : $f(xy) = f(x) * f(y)$ et $f$ est bijective. b) $(G, *)$ est un groupe commutatif ; l'élément neutre est $e = \frac{3}{2}$.

  Partie II

  1. a) $A^3 = O$ (vérification par calcul matriciel). b) $(I - A)^{-1} = I + A + A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
  2. Une base de $E$ est $\{I, A\}$ ou explicitement : $\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\right\}$.

  ce que le barème veut ·

  Partie I — Question 1 : Pour $x, y \in [1, 2]$, on calcule $x * y = \frac{(x-1)(y-1) + (x-2)(y-2)}{2}$. Les facteurs $(x-1), (y-1), (x-2), (y-2)$ sont tous dans des intervalles contrôlés ; on vérifie que $1 \leq x*y \leq 2$ par analyse des extrémités. Question 2a : Vérifions que $f(xy) = f(x) * f(y)$. On a $f(xy) = \frac{xy + 2}{xy + 1}$ et $f(x) * f(y) = \frac{\left(\frac{x+2}{x+1} - 1\right)\left(\frac{y+2}{y+1} - 1\right) + \left(\frac{x+2}{x+1} - 2\right)\left(\frac{y+2}{y+1} - 2\right)}{2}$. Simplifier : $\frac{x+2}{x+1} - 1 = \frac{1}{x+1}$ et $\frac{x+2}{x+1} - 2 = \frac{-x}{x+1}$. Le produit se réduit à $\frac{xy+2}{xy+1} = f(xy)$. Injectivité et surjectivité : $f$ est continue et strictement monotone sur $]1, +\infty[$. Question 2b : L'élément neutre $e$ satisfait $x * e = x$ pour tout $x$. En résolvant l'équation et utilisant l'isomorphisme, on trouve $e = f(1^+) = \frac{3}{2}$ (limite). Partie II — Question 1a : Calcul direct : $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $A^3 = O$. Question 1b : On développe $(I - A)(I + A + A^2)$ : $(I - A)(I + A + A^2) = I + A + A^2 - A - A^2 - A^3 = I$. Donc…
• TYPE BAC2 pts
  Dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}_2[X]$ des polynômes réels de degré inférieur ou égal à $2$, donner la dimension de $\mathbb{R}_2[X]$ et une base canonique.
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  Une base canonique de $\mathbb{R}_2[X]$ est $\big(1,X,X^2\big)$. Donc $\dim(\mathbb{R}_2[X])=3$.

  ce que le barème veut ·

  • Rappeler la base canonique de $\mathbb{R}_2[X]$.
  • En déduire la dimension.
• TYPE BAC4 pts
  Dans $\mathbb{R}^3$, on considère les vecteurs $u=(1,1,0)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(0,1,1)$.

  1. Montrer que la famille $\big(u,v,w\big)$ est libre.
  2. En déduire qu'elle est une base de $\mathbb{R}^3$.
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  1. Soient $a,b,c\in\mathbb{R}$ tels que $au+bv+cw=0$. On a $a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(0,0,0),$\nsoit$$(a+b,\ a+c,\ b+c)=(0,0,0)$. On obtient donc le système$a+b=0,$\quad$ a+c=0,$\quad$ b+c=0. De $a+b=0$, on a $b=-a$. De $a+c=0$, on a $c=-a$. Alors $b+c=0$ donne $-a-a=0$, donc $a=0$. Ainsi $b=0$ et $c=0$. La famille $\big(u,v,w\big)$ est libre.
  2. $\mathbb{R}^3$ est de dimension $3$, et la famille $\big(u,v,w\big)$ contient $3$ vecteurs libres. Donc c'est une base de $\mathbb{R}^3$.

  ce que le barème veut ·

  Poser une combinaison linéaire nulle des trois vecteurs et identifier les coordonnées pour obtenir un système. Résoudre ce système pour montrer que seuls les coefficients nuls conviennent. Conclure avec le théorème : dans un espace de dimension $3$, toute famille libre de $3$ vecteurs est une base.
• TYPE BAC4 pts
  Dans $\mathbb{R}_2[X]$, on considère les polynômes $P_1=1$, $P_2=X$ et $P_3=1+X^2$. Montrer que la famille $\big(P_1,P_2,P_3\big)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.
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  On sait que $\mathbb{R}_2[X]$ est de dimension $3$. Il suffit donc de montrer que la famille est libre. Soient $a,b,c\in\mathbb{R}$ tels que $aP_1+bP_2+cP_3=0$. Alors $a$\cdot$1+bX+c(1+$X^2$)=0,$\nsoit$(a+c)+bX+$cX^2$=0. Le polynôme nul ayant tous ses coefficients nuls, on obtient$c=0,$\quad$ b=0,$\quad$ a+c=0. Comme $c=0$, on a $a=0$. Donc $a=b=c=0$. La famille $\big(P_1,P_2,P_3\big)$ est libre. Comme elle contient $3$ polynômes dans un espace de dimension $3$, c'est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.

  ce que le barème veut ·

  Écrire une combinaison linéaire nulle de $P_1,P_2,P_3$, développer, puis identifier les coefficients du polynôme nul. Utiliser ensuite le fait qu'une famille libre de $3$ vecteurs dans un espace de dimension $3$ est une base.