Montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel

Cette méthode au national

1 question d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2017 · rattrapage4 pts
  On rappelle que $(\mathbb{R}, +, \times)$ est un corps commutatif, que $(M_2(\mathbb{R}), +)$ est un espace vectoriel réel et que $(M_2(\mathbb{R}), +, \times)$ est un anneau unitaire, non commutatif et non intègre. On pose :…
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  1. $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de $(M_2(\mathbb{R}), +)$ avec base $\{I, J\}$. 2.a) Pour $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2$ : $M(x_1, y_1) \times M(x_2, y_2) = M(x_1x_2 + y_1y_2, x_1y_2 + y_1x_2) \in E$ 2.b) $(E, +, \times)$ est un anneau unitaire commutatif avec élément unité $I$ et multiplication commutative. 3.a) $\varphi$ est un isomorphisme de groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$ sur $(E^*, \times)$ car : $\varphi((x_1+iy_1)(x_2+iy_2)) = \varphi(x_1+iy_1) \times \varphi(x_2+iy_2)$ et $\varphi$ est bijective. 3.b) $(E^*, \times)$ est un groupe commutatif isomorphe à $(\mathbb{C}^*, \times)$. 3.c) $J^2 = I$ donc $J^{2017} = J^{2016} \times J = I \times J = J$. L'inverse de $M(3, 3i)$ est $M\left(\frac{3}{18}, \frac{-3}{18}\right) = M\left(\frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\right)$. 4. $(E, +, \times)$ est un corps commutatif : pour tout $M(x,y) \neq M(0,0)$, il existe un inverse dans $E^*$ qui, par associativité avec la structure d'anneau, en fait un corps.

  ce que le barème veut ·

  Étapes complètes :

  1. Sous-espace vectoriel : Montrer que $E$ contient $M(0,0)$, est stable par addition ($M(x_1,y_1) + M(x_2,y_2) = M(x_1+x_2, y_1+y_2) \in E$) et par multiplication scalaire. Base : $\{I, J\}$ car $M(x,y) = xI + yJ$.

  2.a) Stabilité multiplicative : $M(x_1,y_1) \times M(x_2,y_2) = \begin{pmatrix} x_1x_2+y_1y_2 & x_1y_2+y_1x_2 \\ x_1y_2+y_1x_2 & x_1x_2+y_1y_2 \end{pmatrix} = M(x_1x_2+y_1y_2, x_1y_2+y_1x_2) \in E$ 2.b) Anneau commutatif : $(E,+)$ est groupe abélien ; distributivité héritée de $M_2(\mathbb{R})$ ; $I \in E$ est élément unité ; $M(x_1,y_1) \times M(x_2,y_2) = M(x_2,y_2) \times M(x_1,y_1)$ (commutativité du produit en $\mathbb{R}$). 3.a) Isomorphisme : $\varphi(z_1z_2) = M(\text{Re}(z_1z_2), \text{Im}(z_1z_2)) = M(\text{Re}(z_1), \text{Im}(z_1)) \times M(\text{Re}(z_2), \text{Im}(z_2)) = \varphi(z_1) \times \varphi(z_2)$ ; bijection évidente. 3.b) Groupe commutatif : Image de groupe commutatif par isomorphisme. 3.c) Puissance : $J^2 = I \Rightarrow J^{2017} = J^{2 \times 1008 + 1} = J$. Pour l'inverse de $M(3,3i)$, noter que dans $\mathbb{C}^*$, $(3+3i\cdot i)^{-1} = (3-3i)/(9+9) = (3-3i)/18$, d'où l'inverse est…
• TYPE BAC3 pts
  Montrer que $F = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3} / x+y+z=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{3}$ et donner sa dimension.
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  F non vide (0∈F) et stable par combinaison linéaire → sous-espace. Base (1,-1,0),(1,0,-1), dim F = 2.

  ce que le barème veut · Critère du sous-espace + exhiber une base pour la dimension.
• TYPE BAC3 pts
  Montrer que $F = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / y = -3x\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
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  $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.

  ce que le barème veut ·

  1. Vérifier que le vecteur nul $(0,0)$ appartient à $F$. 2. Vérifier la stabilité par addition vectorielle. 3. Vérifier la stabilité par multiplication scalaire.
• TYPE BAC3 pts
  Soit $E = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / x \ge 0 \text{ et } y \ge 0\}$. Est-ce que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$? Justifier votre réponse.
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  Non, $E$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.

  ce que le barème veut ·

  1. Vérifier si $E$ est stable par multiplication scalaire. 2. Choisir un vecteur $u \in E$ (ex: $(1,1)$) et un scalaire $\lambda < 0$ (ex: $-1$). 3. Montrer que $\lambda u \notin E$.
• TYPE BAC2 pts
  Dans l'espace vectoriel réel $\mathbb{R}^3$, on considère $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2y+z=0\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
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  On définit l'application linéaire $\varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ par $\varphi(x,y,z)=x-2y+z$. Alors $F=\ker(\varphi)$. Or le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel. Donc $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.

  ce que le barème veut ·

  • Poser $\varphi(x,y,z)=x-2y+z$.
  • Vérifier que $\varphi$ est linéaire.
  • Conclure que $F=\ker(\varphi)$ est un sous-espace vectoriel.
• TYPE BAC2 pts
  Donner la dimension du sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ engendré par les vecteurs $u=(1,2,0)$ et $v=(2,4,0)$.
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  On a $v=2u$. Les deux vecteurs sont colinéaires, donc l'espace engendré est la droite vectorielle $\mathrm{Vect}(u)$. Sa dimension est $1$.

  ce que le barème veut · Observer la colinéarité des vecteurs générateurs.
• TYPE BAC4 pts
  Dans $\mathbb{R}^2$, on considère $F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 2x-y=0\}$.

  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
  2. Déterminer une base de $F$ et sa dimension.
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  1. On a $F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=2x\}$.

  • $0_{\mathbb{R}^2}=(0,0)\in F$ car $2\cdot 0-0=0$.
  • Soient $u=(x,y)\in F$ et $v=(x',y')\in F$. Alors $2x-y=0$ et $2x'-y'=0$. Donc $2(x+x')-(y+y')=(2x-y)+(2x'-y')=0$, d'où $u+v\in F$.
  • Soit $\lambda\in\mathbb{R}$ et $u=(x,y)\in F$. Alors $2(\lambda x)-\lambda y=\lambda(2x-y)=0$, donc $\lambda u\in F$. Ainsi, $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.

  2. Si $(x,y)\in F$, alors $y=2x$, donc $(x,y)=x(1,2)$. Ainsi $F=\mathrm{Vect}((1,2))$. Comme $(1,2)\neq (0,0)$, la famille $((1,2))$ est libre. Donc $((1,2))$ est une base de $F$ et $\dim(F)=1$.

  ce que le barème veut ·

  Vérifier les trois conditions d'un sous-espace vectoriel : vecteur nul, stabilité par addition, stabilité par multiplication par un réel. Puis traduire la relation $2x-y=0$ sous forme paramétrique pour écrire tout vecteur de $F$ comme multiple d'un seul vecteur non nul.