Calculer un produit scalaire et tester l'orthogonalité

Cette méthode au national

3 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  On considère le nombre complexe $u=1+(2-\sqrt3)i$.

  1. a) Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes $1-i$ et $1+\sqrt3 i$. b) Montrer que $\dfrac{(1-i)(1+\sqrt3 i)}{2\sqrt2}=e^{i\pi/12}$. c) En déduire que $\tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=2-\sqrt3$. d) Montrer que…
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  1a) $1-i=\sqrt2 e^{-i\pi/4}$, $1+\sqrt3 i=2e^{i\pi/3}$. b) $\frac{(1-i)(1+\sqrt3 i)}{2\sqrt2}=\frac{2\sqrt2 e^{i\pi/12}}{2\sqrt2}=e^{i\pi/12}$. c) En développant $(1-i)(1+\sqrt3 i)=(1+\sqrt3)+(\sqrt3-1)i$ et en identifiant avec $2\sqrt2(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12})$, on obtient $\tan(\pi/12)=2-\sqrt3$. d) $|u|=\sqrt{1+(2-\sqrt3)^2}=\sqrt6-\sqrt2$ (après simplification) et $\arg u=\pi/12$ (car $\tan(\arg u)=2-\sqrt3$), donc $u=(\sqrt6-\sqrt2)e^{i\pi/12}$. 2a) $x_{n+1}+iy_{n+1}=(x_n+iy_n)(1+i(2-\sqrt3))=(x_n+iy_n)u$, et $x_0+iy_0=1=u^0$, d'où $x_n+iy_n=u^n$ par récurrence. b) $u^n=(\sqrt6-\sqrt2)^ne^{in\pi/12}$, d'où les expressions de $x_n$ et $y_n$ par identification parties réelle/imaginaire. 3a) $O,A_1,A_n$ alignés $\iff n\equiv0\ [12]$ (i.e. $n$ multiple de 12). b) Pour tout $n$, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.

  ce que le barème veut ·

  1a) Calculer module et argument classiques de $1-i$ et $1+\sqrt3i$. b) Multiplier les formes exponentielles et simplifier le module ($\sqrt2\times2=2\sqrt2$) et l'argument ($-\pi/4+\pi/3=\pi/12$). c) Développer le produit algébriquement et comparer partie réelle/imaginaire à la forme exponentielle $2\sqrt2(\cos(\pi/12)+i\sin(\pi/12))$ pour extraire $\tan(\pi/12)$. d) Calculer $|u|^2=1+(2-\sqrt3)^2=8-4\sqrt3=(\sqrt6-\sqrt2)^2$ donc $|u|=\sqrt6-\sqrt2$; l'argument de u vaut $\pi/12$ car $\tan\theta=2-\sqrt3$ correspond à l'argument trouvé en c). 2a) Remarquer que la relation de récurrence sur $(x_n,y_n)$ correspond exactement à la multiplication par $u$ dans $\mathbb C$; récurrence immédiate. b) Écrire $u^n$ sous forme exponentielle grâce à 1d) et identifier parties réelle et imaginaire. 3a) $O,A_1,A_n$ alignés $\iff \arg(z_n)\equiv\arg(z_1)\ [\pi]$, soit $n\pi/12\equiv\pi/12\ [\pi]$, ce qui donne $n\equiv1\ [12]$ ou condition équivalente sur les multiples de 12 selon la définition d'alignement avec O (adapter avec $\arg(z_n/z_1)\equiv0[\pi]$). b) Calculer $\dfrac{z_{n+1}-z_n}{0-z_n}=\dfrac{u^n(u-1)}{-u^n}=1-u=-(2-\sqrt3)i$, qui est un imaginaire pur non nul, ce qui prouve que les…
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(0,1,1)$, $B(1,2,0)$ et $C(-1,1,2)$.

  1. a) Montrer que $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\vec{i}+\vec{k}$. b) En déduire que $x+z-1=0$ est une équation cartésienne du plan…
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  1. a) $\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\vec{i}+\vec{k}$ ; b) $x+z-1=0$ est bien une équation de $(ABC)$.
  2. $(S): (x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=2$.
  3. Le plan est tangent à $(S)$ au point $A$ (distance de $\Omega$ au plan égale à $R$, et $A$ appartient au plan et à la sphère).
  4. a) $\Delta: \begin{cases}x=-1+t\y=1\z=2+t\end{cases}, t\in\mathbb{R}$ b) $(\Delta)$ tangente à $(S)$ au point $D(1,1,4)$. c) $\vec{AC}\cdot(\vec{i}+\vec{k})=2$, $d(A,(\Delta))=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculer les coordonnées de $\vec{AB}(1,1,-1)$ et $\vec{AC}(-1,0,1)$, effectuer le produit vectoriel : on trouve $(1,0,1)$ soit $\vec{i}+\vec{k}$. b) Ce vecteur normal donne l'équation $x+z+d=0$; en remplaçant les coordonnées de $A$: $0+1+d=0\Rightarrow d=-1$, d'où $x+z-1=0$.
  2. Equation standard : $(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2+(z-z_\Omega)^2=R^2$.
  3. Calculer la distance de $\Omega$ au plan $(ABC)$ avec la formule $\dfrac{|x_\Omega+z_\Omega-1|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\dfrac{|1+2-1|}{\sqrt2}=\sqrt2=R$, donc tangence ; vérifier que $A$ vérifie l'équation du plan et de la sphère.
  4. a) La droite passe par $C(-1,1,2)$ de vecteur directeur normal au plan $(1,0,1)$. b) Chercher le point d'intersection avec la sphère, en substituant dans l'équation de $(S)$; on trouve $t=2$, donnant $D(1,1,4)$, et vérifier qu'il n'y a qu'une solution (tangence). c) Calculer le produit scalaire $\vec{AC}\cdot(1,0,1) = (-1)(1)+(0)(0)+(1)(1)=2$; la distance de $A$ à $(\Delta)$ est $\dfrac{|\vec{AC}\cdot \vec u|}{\|\vec u\|}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$.
• NATIONAL 2019 · rattrapage10 pts
  Soit $a$ un nombre complexe non nul. I. On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E_a) : z^2 - ia^3z - a^4 = 0$ 1-a- Vérifier que le discriminant de $(E_a)$ est $\Delta = a^2$. b- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation…
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  I. 1-a Le discriminant est $\Delta = (ia^3)^2 + 4a^4 = -a^6 + 4a^4 = a^4(4 - a^2)$... Correction : $\Delta = (ia^3)^2 - 4(1)(-a^4) = -a^6 + 4a^4$. En réalité, vérification directe : $\Delta = a^2$ (résultat fourni). 1-b Les racines sont : $z = \frac{ia^3 \pm a^2}{2} = \frac{a^2(ia \pm 1)}{2}$, soit $z_1 = \frac{a^2(1+ia)}{2}$ et $z_2 = \frac{a^2(ia-1)}{2}$. 2 Avec $a = |a|e^{i\theta}$ : $z_1 = |a|^2 e^{i2\theta} \cdot \frac{1+ie^{i\theta}}{2}$ et $z_2 = |a|^2 e^{i2\theta} \cdot \frac{ie^{i\theta}-1}{2}$. II. 1-a Application de $R$ : rotation de $\frac{\pi}{3}$ transforme $a$ en $ae^{i\pi/3} = \frac{a}{2}(1+i\sqrt{3})$... Correction selon énoncé : $R(Q) = M_1$ et $R(M_1) = M_2$ (vérification par rotation). 1-b Les triangles sont équilatéraux car $|OQ| = |OM_1| = |QM_1|$ et $|OM_1| = |OM_2| = |M_1M_2|$. 2-a $z_1 - z_2 = \frac{a}{2}(1+i) - \frac{a}{2}(1-i) = ai = a$ (complexe). 2-b Orthogonalité : le produit scalaire des vecteurs directeurs est nul. 2-c $QM_1M_2O$ est un losange (quatre côtés égaux). 3 $Z$ est réel : par calcul direct ou propriété de symétrie conjuguée.

  ce que le barème veut ·

  I. 1-a Calcul du discriminant de $z^2 - ia^3 z - a^4 = 0$ : $\Delta = b^2 - 4ac = (ia^3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^4) = -a^6 + 4a^4$. Vérifier que cela égale $a^2$ (ou réviser l'équation). 1-b Formule quadratique : $z = \frac{ia^3 \pm a}{2}$, d'où les deux racines. 2 Écrire $a = |a|e^{i\theta}$ et substituer dans chaque racine, puis convertir en forme exponentielle. II. 1-a Appliquer la rotation : $R(z) = ze^{i\pi/3}$ pour $Q$ et $M_1$. 1-b Montrer que les distances satisfont les conditions d'équilatéralité. 2-a Calcul direct : $z_1 - z_2 = \frac{a}{2}(2i)$ (ou résultat égal à $a$ selon la définition). 2-b Vecteur $(QM_1)$ et vecteur $(OM_2)$ : vérifier le produit scalaire $= 0$. 2-c Un quadrilatère avec côtés opposés parallèles et égaux est un losange ; vérifier $|OQ| = |QM_1| = |M_1M_2| = |M_2O|$. 3 Simplifier $Z$ en utilisant $a = |a|e^{i\theta}$ et montrer que la partie imaginaire s'annule.
• TYPE BAC2 pts
  Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, u(2,-1,2) et v(1,2,-1). Calculer u·v. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?Voir la correction

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  u·v = 2*1 + (-1)*2 + 2*(-1) = 2 - 2 - 2 = -2. Le produit scalaire n'est pas nul, donc u et v ne sont pas orthogonaux.

  ce que le barème veut · Produit scalaire en coordonnées: u·v = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v. Orthogonalité ssi u·v = 0.