Calculer la distance d'un point à un plan

À tenir avant

• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$, on considère les deux points $A(-1,0,-1)$ et $B(1,2,-1)$, le plan $(P)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec n(2,-2,1)$, et la sphère $(S)$ de centre $\Omega(2,-1,0)$ et de rayon $5$.

  1. Montrer que…
  Voir la correction

  la correction

  1. $(P): 2x-2y+z+3=0$.
  2. $(S): x^2+y^2+z^2-4x+2y-20=0$.
  3. a) $d(\Omega,(P))=3$. b) $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $r=4$.
  4. a) $(\Delta): x=2+2t,\ y=-1-2t,\ z=t$. b) $H(0,1,-1)$ est bien le centre du cercle $(\Gamma)$. c) $(\Delta)$ est bien la médiatrice de $[AB]$.

  ce que le barème veut ·

  1. $(P)$ a pour équation $2x-2y+z+d=0$ ; en remplaçant les coordonnées de $A(-1,0,-1)$ on trouve $d=3$.
  2. $(S):(x-2)^2+(y+1)^2+z^2=25$, développé donne $x^2+y^2+z^2-4x+2y-20=0$.
  3. a) $d(\Omega,(P))=\dfrac{|2\cdot2-2\cdot(-1)+0+3|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{9}{3}=3$. b) Comme $d(\Omega,(P))=3<R=5$, le plan coupe la sphère selon un cercle de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=4$.
  4. a) $\vec n(2,-2,1)$ est vecteur directeur de $(\Delta)$ passant par $\Omega(2,-1,0)$ : $x=2+2t,\ y=-1-2t,\ z=t$. b) On résout $(\Delta)\cap(P)$ : $2(2+2t)-2(-1-2t)+t+3=0 \Rightarrow 9t+9=0 \Rightarrow t=-1$, donnant le point $(0,1,-1)=H$. Comme $H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$, c'est le centre du cercle $(\Gamma)$. c) $\vec{AB}(2,2,0)$ et $\vec n\cdot\vec{AB}=4-4+0=0$ donc $(\Delta)\parallel(AB)$ ou $(AB)\subset(P)$ ; on vérifie que $B\in(P)$, donc $(AB)\subset(P)$, et $H$ est le milieu de $[AB]$, donc $(\Delta)$ perpendiculaire à $(AB)$ passant par son milieu est la médiatrice de $[AB]$.
• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(-1,0,-1)$ et $B(1,2,-1)$, le plan $(P)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(2,-2,1)$, et la sphère $(S)$ de centre $\Omega(2,-1,0)$ et de rayon $R=5$.

  1. Montrer…
  Voir la correction

  la correction

  1. $(P): 2x-2y+z+3=0$.
  2. $(S): x^2+y^2+z^2-4x+2y-20=0$.
  3. a) $d(\Omega,(P))=3$. b) $(P)$ coupe $(S)$ en un cercle de rayon $r=4$.
  4. a) $(\Delta): \begin{cases}x=2+2t\y=-1-2t\z=t\end{cases}$, $t\in\mathbb{R}$. b) $H(0,1,-1)$ est le centre du cercle $(\Gamma)$. c) $(\Delta)$ est la médiatrice de $[AB]$.

  ce que le barème veut ·

  1. $(P)$ a pour équation $2x-2y+z+d=0$ ; en remplaçant $A(-1,0,-1)$ on trouve $d=3$.
  2. $(S): (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=25$, développé donne l'équation cartésienne.
  3. a) Formule $d(\Omega,(P))=\dfrac{|2(2)-2(-1)+0+3|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{9}{3}=3$. b) Comme $d(\Omega,(P))=3<R=5$, le plan coupe la sphère en un cercle de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=4$.
  4. a) $\vec{n}(2,-2,1)$ est vecteur directeur de $(\Delta)$ passant par $\Omega(2,-1,0)$. b) $H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$, obtenu en substituant $t=-1$ dans la représentation paramétrique, vérifiant $2x-2y+z+3=0$; donc $H$ est le centre du cercle. c) On vérifie $\vec{AB}\cdot\vec{n}=0$ donc $(AB)\parallel(P)$... en fait $A,B\in(P)$ et $H$ est le milieu de $[AB]$, et $(\Delta)\perp(P)$ donc $(\Delta)\perp(AB)$ ; comme $(\Delta)$ passe par le milieu de $[AB]$ et est perpendiculaire à ce segment, c'est sa médiatrice.
• NATIONAL 2018 · normale3 pts
  Exercice 2 Soit $p$ un nombre premier tel que $p = 3 + 4k$ où $k \in \mathbb{N}^*$. 1. Montrer que pour tout entier relatif $x$, si $x^4 \equiv 1 \pmod{p}$ alors $x^{p-5} \equiv 1 \pmod{p}$. 2. Soit $x$ un entier relatif vérifiant $x^{4k+2} \equiv 1 \pmod{p}$. a)…
  Voir la correction

  la correction

  1. On a $p - 5 = 4k + 3 - 5 = 4k - 2 = 2(2k-1)$. Si $x^4 \equiv 1 \pmod{p}$, alors $x^{4n} \equiv 1 \pmod{p}$ pour tout entier $n$. En particulier, $x^{2(2k-1)} = x^{p-5} \equiv 1 \pmod{p}$. 2. a) Puisque $x^{4k+2} \equiv 1 \pmod{p}$, il existe $u \in \mathbb{Z}$ tel que $x^{4k+2} = 1 + up$. Alors $x^{4k+2} - up = 1$, donc par le théorème de Bézout, $\gcd(x,p) = 1$. b) Par le petit théorème de Fermat, puisque $\gcd(x,p) = 1$ et $p$ premier : $x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ c) Vérification : $2 + (k-1)(p-1) = 2 + (k-1)(4k+2) = 2 + 4k^2 + 2k - 4k - 2 = 4k^2 - 2k = k(4k-2) = k(p-5)$ d) De $x^{4k+2} \equiv 1 \pmod{p}$ et $2 + (k-1)(p-1) = k(p-5)$, on obtient : $x^{2 + (k-1)(p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$ $x^{k(p-5)} \equiv 1 \pmod{p}$ Donc $x^2 \cdot (x^{p-1})^{k-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Avec $x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$, on a $(x^{p-1})^{k-1} \equiv 1 \pmod{p}$, donc $x^2 \equiv 1 \pmod{p}$. Cela donne $(x-1)(x+1) \equiv 0 \pmod{p}$, soit $x \equiv 1 \pmod{p}$ ou $x \equiv -1 \pmod{p}$. En vérifiant les deux cas avec $x^{4k+2} \equiv 1 \pmod{p}$, on conclut $x \equiv 1 \pmod{p}$ ou $x \equiv -1 \pmod{p}$. 3. On a $67 = 3 + 4 \times 16$, donc $67$ est de la forme…

  ce que le barème veut ·

  Étapes clés :

  1. Question 1 : Utiliser $p = 3 + 4k$ pour calculer $p - 5 = 4k - 2 = 2(2k-1)$. Si $x^4 \equiv 1 \pmod{p}$, alors tout multiple pair de 4 ou de $p-5$ donne $x^{p-5} \equiv 1 \pmod{p}$.
  2. Question 2.a : De $x^{4k+2} \equiv 1 \pmod{p}$, exprimer $x^{4k+2} - 1 = up$ pour montrer que $\gcd(x,p) = 1$ par Bézout.
  3. Question 2.b : Appliquer le petit théorème de Fermat directement à $x$ premier avec $p$ premier.
  4. Question 2.c : Développer algébriquement $(k-1)(4k+2) = 4k^2 + 2k - 4k - 2 = 4k^2 - 2k$.
  5. Question 2.d : Utiliser l'égalité $2 + (k-1)(p-1) = k(p-5)$ pour obtenir deux équations exponentielles congruentes, puis déduire $x^2 \equiv 1 \pmod{p}$.
  6. Question 3 : Reconnaître que $67 = 3 + 4(16)$. Appliquer directement le résultat de la question 2 avec $66 = 4(16) + 2$.
• NATIONAL 2018 · rattrapage3 pts
  Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère la sphère $(S)$ de centre $\Omega(2, 1, 2)$ et de rayon $3$, et le plan $(P)$ passant par le point $A(-1, 0, 3)$ dont $\vec{u}(4, 0, -3)$ est un vecteur normal. 1) Montrer…
  Voir la correction

  la correction

  1) L'équation de la sphère de centre $\Omega(2, 1, 2)$ et rayon $3$ est : $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y - 4z = 0$ 2) Avec le vecteur normal $\vec{u}(4, 0, -3)$ et le point $A(-1, 0, 3)$ : $4(x + 1) - 3(z - 3) = 0 \Rightarrow 4x - 3z + 13 = 0$ 3) a) La droite passe par $\Omega(2, 1, 2)$ et a vecteur directeur $(4, 0, -3) = \vec{u}$, donc elle est bien orthogonale à $(P)$. b) En remplaçant dans $(P)$ : $4(2 + 4t) - 3(2 - 3t) + 13 = 0$ $8 + 16t - 6 + 9t + 13 = 0 \Rightarrow 25t = -15 \Rightarrow t = -\frac{3}{5}$ Donc $H = \left(-\frac{2}{5}, 1, \frac{19}{5}\right)$. 4) a) $d(\Omega, (P)) = \frac{|4(2) - 3(2) + 13|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|8 - 6 + 13|}{5} = \frac{15}{5} = 3$ b) Puisque $d(\Omega, (P)) = 3 =$ rayon, le plan $(P)$ est tangent à $(S)$ au point $H = \left(-\frac{2}{5}, 1, \frac{19}{5}\right)$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Développer l'équation standard $(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 9$ en expandant et simplifiant. Question 2 : Utiliser la forme normale du plan : $4(x - x_A) + 0(y - y_A) - 3(z - z_A) = 0$ avec le point $A$. Question 3a : Vérifier que le vecteur directeur de $(\Delta)$ coïncide avec le vecteur normal de $(P)$ et que $\Omega$ appartient à $(\Delta)$. Question 3b : Substituer la représentation paramétrique dans l'équation de $(P)$ et résoudre pour $t$, puis calculer les coordonnées de $H$. Question 4a : Appliquer la formule de distance point-plan : $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Question 4b : Comparer la distance obtenue au rayon : si $d = r$, le plan est tangent à la sphère, et le point de tangence est le point $H$ trouvé en 3b).
• NATIONAL 2017 · rattrapage3 pts
  L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère la sphère $(S)$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0$ et le plan $(P)$ d'équation $y - z = 0$.

  1. a) Montrer que la sphère $(S)$ a pour centre le point $Q(1, 1, 1)$…
  Voir la correction

  la correction

  Question 1a : Centre $Q(1, 1, 1)$ et rayon $R = 2$. Question 1b : $d(Q, (P)) = 0$ ; le plan $(P)$ coupe la sphère selon un grand cercle. Question 1c : Centre du cercle : $Q(1, 1, 1)$ ; rayon du cercle : $r = 2$. Question 2a : $\vec{u}(0, 1, -1)$ est normal à $(P)$ donc directeur de $(\Delta)$. Question 2b : $|QA| = \sqrt{3}$ (la droite coupe bien la sphère en deux points). Question 2c : Points d'intersection : $E(-1, -1, 1)$ et $F(1, -1, -1)$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1a : Équation : $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0$ Complèter les carrés : $(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + (z^2 - 2z) = 1$ $(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + (z - 1)^2 - 1 = 1$ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 4$ Centre : $Q(1, 1, 1)$ ; Rayon : $R = 2$ ✓ Question 1b : Distance du point $Q(1, 1, 1)$ au plan $(P) : y - z = 0$ : $d(Q, (P)) = \frac{|1 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0$ Donc $Q \in (P)$, et comme $d(Q, (P)) = 0 < R = 2$, le plan coupe la sphère en un grand cercle ✓ Question 1c : Puisque le centre $Q$ appartient au plan $(P)$, le centre du cercle est $Q(1, 1, 1)$ et le rayon est $r = R = 2$. Question 2a : Un vecteur normal au plan $(P) : y - z = 0$ est $\vec{n}(0, 1, -1)$. Puisque la droite $(\Delta)$ est orthogonale au plan $(P)$, sa direction est celle de la normale, donc $\vec{u}(0, 1, -1)$ ✓ Question 2b : $\vec{QA} = A - Q = (1, -2, 2) - (1, 1, 1) = (0, -3, 1)$ $|QA| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ (La correction donne $\sqrt{3}$, possible coquille. Continuons avec les calculs.) Distance du centre $Q$ à la droite $(\Delta)$ : La droite $(\Delta)$ passe par $A(1, -2, 2)$…
• NATIONAL 2015 · normale3 pts
  Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ les points $A(2; 1; 0)$, $B(-4; 1; 0)$ et le plan $(P)$ passant par le point $A$ et de vecteur normal $\vec{u} = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k}$.

  1. Montrer que l'équation cartésienne du plan…
  Voir la correction

  la correction

  1. Équation de $(P)$ : $x + y - z - 3 = 0$
  2. a) $(S)$ est une sphère de centre $Q(-1; 1; 0)$ et rayon $R = 3$ b) Distance $d(Q, (P)) = \sqrt{3}$, et $(P)$ coupe $(S)$ selon un cercle
  3. a) Centre du cercle : $H(0; 2; -1)$ b) $\vec{OH} \wedge \vec{OB} = \vec{i} + 4\vec{j} + 8\vec{k}$ ; Aire du triangle $OHB = \frac{9}{2}$

  ce que le barème veut ·

  1) Équation du plan $(P)$ : Un plan de vecteur normal $\vec{u}(1; 1; -1)$ passant par $A(2; 1; 0)$ a pour équation : $1(x - 2) + 1(y - 1) - 1(z - 0) = 0$ $x + y - z - 3 = 0$ 2) a) Sphère $(S)$ : $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ signifie que $M$ appartient à la sphère de diamètre $[AB]$. Centre : $Q = \frac{A + B}{2} = \frac{(2, 1, 0) + (-4, 1, 0)}{2} = (-1, 1, 0)$ Rayon : $R = \frac{|AB|}{2} = \frac{\sqrt{(2-(-4))^2 + 0 + 0}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ 2) b) Distance de $Q$ au plan $(P)$ : $d(Q, (P)) = \frac{|-1 + 1 - 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ Puisque $d < R$ ($\sqrt{3} < 3$), le plan coupe la sphère selon un cercle. 3) a) Centre du cercle $(C)$ : Le centre $H$ du cercle $(C)$ est la projection orthogonale de $Q$ sur $(P)$. La droite perpendiculaire à $(P)$ passant par $Q$ a pour équation paramétrée : $(x, y, z) = (-1, 1, 0) + t(1, 1, -1)$ On cherche l'intersection avec $(P)$ : $(-1+t) + (1+t) - (-t) - 3 = 0$ $-1 + t + 1 + t + t - 3 = 0$ $3t = 3 \Rightarrow t = 1$ Donc $H = (-1+1, 1+1, 0-1) = (0, 2, -1)$ ✓ 3) b) Produit vectoriel et aire :…
• NATIONAL 2014 · normale3 pts
  Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ les points $A(0, 3, 1)$, $B(-1, 3, 0)$ et $C(0, 5, 0)$, ainsi que la sphère $(S)$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 5 = 0$.

  1. a) Montrer que…
  Voir la correction

  la correction

  1. a) $\vec{AB} \times \vec{AC} = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k} \neq \vec{0}$, donc $A$, $B$, $C$ sont non alignés. b) Plan $(ABC) : 2x - y - 2z + 5 = 0$
  2. a) Centre $Q(2, 0, 0)$ et rayon $R = 3$ b) $d(Q, \text{plan}) = 3 = R$, donc le plan est tangent à la sphère c) Point de tangence : $H(0, 1, 2)$

  ce que le barème veut ·

  Question 1.a : Produit vectoriel et non-alignement

  • $\vec{AB} = B - A = (-1, 3, 0) - (0, 3, 1) = (-1, 0, -1)$
  • $\vec{AC} = C - A = (0, 5, 0) - (0, 3, 1) = (0, 2, -1)$
  • Produit vectoriel :

  $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}$ $= \vec{i}(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2) - \vec{j}((-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 0) + \vec{k}((-1) \cdot 2 - 0 \cdot 0)$ $= \vec{i}(0 + 2) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(-2 - 0) = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}$

  • Puisque $\vec{AB} \times \vec{AC} \neq \vec{0}$, les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $A$, $B$, $C$ non alignés ✓

  Question 1.b : Équation du plan

  • Vecteur normal au plan : $\vec{n} = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k} = (2, -1, -2)$
  • Équation générale : $2(x - x_A) - 1(y - y_A) - 2(z - z_A) = 0$
  • Avec $A(0, 3, 1)$ : $2(x - 0) - (y - 3) - 2(z - 1) = 0$
  • $2x - y + 3 - 2z + 2 = 0$
  • $2x - y - 2z + 5 = 0$ ✓

  Question 2.a : Centre et rayon de la sphère

  • Équation $(S) : x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 5 = 0$
  • Forme canonique : $(x^2 - 4x) + y^2 + z^2 = 5$
  • Compléter le carré : $(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 + z^2 = 5$
  • $(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 9$
  • Centre :…
• NATIONAL 2014 · normale3 pts
  Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ les points $A(0; 3; 1)$, $B(-1; 3; 0)$, $C(0; 5; 0)$.

  1. a) Montrer que $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}$ et en déduire que $A$, $B$ et $C$ sont non alignés. b)…
  Voir la correction

  la correction

  1) a) $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k} \neq \vec{0}$, donc $A$, $B$, $C$ sont non alignés. 1) b) L'équation du plan $(ABC)$ est $2x - y - 2z + 5 = 0$. 2) a) Le centre est $\Omega(2; 0; 0)$ et le rayon est $R = 3$. 2) b) La distance du centre au plan est $d(\Omega, (ABC)) = 3 = R$, donc le plan est tangent à $(S)$. 2) c) Le point de tangence est $H(0; 1; 2)$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1) a) - Calculer le produit vectoriel $\vec{AB} = B - A = (-1; 3; 0) - (0; 3; 1) = (-1; 0; -1)$ $\vec{AC} = C - A = (0; 5; 0) - (0; 3; 1) = (0; 2; -1)$ Produit vectoriel : $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}$ $= \vec{i}(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2) - \vec{j}((-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 0) + \vec{k}((-1) \cdot 2 - 0 \cdot 0)$ $= \vec{i}(0 + 2) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(-2 - 0)$ $= 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}$ Puisque ce vecteur est non nul, $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés. Question 1) b) - Équation du plan $(ABC)$ Le vecteur normal au plan est $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} = (2; -1; -2)$. L'équation générale est : $2x - y - 2z + d = 0$. Puisque $A(0; 3; 1) \in (ABC)$ : $2(0) - 3 - 2(1) + d = 0$ $-3 - 2 + d = 0$ $d = 5$ Donc l'équation du plan est : $2x - y - 2z + 5 = 0$. Question 2) a) - Centre et rayon de la sphère L'équation de $(S)$ est : $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 5 = 0$. Réécrire sous forme canonique en complétant le carré : $(x^2 - 4x) + y^2 + z^2 = 5$ $(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 + z^2 = 5$ $(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 9$ Donc le…