Étudier une suite définie par une intégrale

À tenir avant

• Encadrer une intégrale sans la calculer
• Appliquer le théorème d'encadrement (les gendarmes)

Cette méthode au national

2 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2020 · rattrapage4 pts
  Troisième partie : Pour tout entier naturel $n \geq 2$, on pose : $I_n = \int_0^1 f_n(x) \, dx$ où $f_n(x) = x^n\ln(2-x)$. 1- Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante. En déduire qu'elle est convergente. 2- En utilisant une intégration par parties, montrer…
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  1- Pour $x \in [0,1]$, on a $0 \leq x^n \leq x^{n-1}$ (puisque $x \leq 1$), et $\ln(2-x) > 0$. Donc $f_n(x) = x^n\ln(2-x) \leq x^{n-1}\ln(2-x) = f_{n-1}(x)$ pour tout $x \in [0,1]$. Par intégration : $I_n \leq I_{n-1}$, la suite est décroissante. Comme $I_n \geq 0$ (car $f_n \geq 0$), la suite est minorée par $0$. Par le théorème de convergence monotone, $(I_n)$ converge. 2- Intégration par parties avec $u = \ln(2-x)$, $dv = x^n dx$ : $du = \frac{-1}{2-x} dx, \quad v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ $I_n = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln(2-x)\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{-1}{2-x} \, dx$ Le terme de bord : $\frac{1}{n+1}\ln 1 - \frac{0}{n+1}\ln 2 = 0$. $I_n = \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{(n+1)(2-x)} \, dx = \frac{1}{n+1}\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{2-x} \, dx$ Donc : $I_n = \frac{1}{n+1} - \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{2-x} \, dx$ (après réarrangement). Correction : $I_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1}\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{2-x} \, dx$. 3- Pour $x \in [0,1]$, on a $\frac{x^{n+1}}{2-x} \geq 0$ (numérateur et dénominateur positifs). Donc $\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{2-x} \, dx \geq 0$. De la formule en 2 :…

  ce que le barème veut ·

  1. Décroissance : Comparer $f_n$ et $f_{n-1}$ terme à terme sur $[0,1]$. Intégrer la comparaison.
  2. Convergence : Monotone borné (décroissante et minorée par $0$).
  3. Intégration par parties : Poser $u = \ln(2-x)$ (qui se dérive), $dv = x^n dx$ (qui s'intègre). Appliquer la formule : $\int u \, dv = [uv] - \int v \, du$.
  4. Encadrement : Sur $[0,1]$, utiliser les bornes sur les facteurs $(x^{n+1}$, $2-x)$ pour majorer l'intégrale restante.
  5. Limite : Appliquer le théorème des gendarmes ou utiliser directement l'encadrement $0 \leq I_n \leq \frac{C}{n+1}$.
• NATIONAL 2011 · rattrapage2 pts
  5. a) Vérifier que : $f(x) = \ln x - \frac{\ln x}{x}$ $\forall x \in I$ b) Montrer que l'aire du domaine limité par $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$ est $0,5 \text{ cm}^2$.
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  5. a) L'énoncé original de la fonction $f(x)$ est $f(x) = (x-1) \frac{\ln x}{x}$. Développons cette expression : $f(x) = x \frac{\ln x}{x} - 1 \cdot \frac{\ln x}{x} = \ln x - \frac{\ln x}{x}$. Donc, la vérification est directe : $f(x) = \ln x - \frac{\ln x}{x}$ est une réécriture de la fonction $f(x)$ donnée. b) L'aire du domaine limité par $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=e$ est donnée par l'intégrale $\int_1^e |f(x)| dx$. D'après le tableau de variations de $f$ (question 2c), on sait que $f(x) \ge 0$ sur $[1;+\infty[$, et en particulier sur l'intervalle $[1;e]$. Donc, l'aire est $A = \int_1^e f(x) dx = \int_1^e (\ln x - \frac{\ln x}{x}) dx$. Nous pouvons séparer l'intégrale en deux : $A = \int_1^e \ln x dx - \int_1^e \frac{\ln x}{x} dx$. D'après la question 4c), nous avons $\int_1^e \ln x dx = 1$. D'après la question 4b), nous avons $\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}$. Donc $A = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. L'unité d'aire est $1 \text{ cm}^2$. Donc l'aire est $\frac{1}{2} \text{ cm}^2 = 0,5 \text{ cm}^2$.

  ce que le barème veut ·

  1. Pour a), développer l'expression de $f(x)$ donnée dans l'énoncé pour la faire correspondre à la forme à vérifier.
  2. Pour b), déterminer le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[1;e]$ pour enlever la valeur absolue. Ensuite, décomposer l'intégrale en deux parties et utiliser les résultats des questions précédentes pour calculer chaque intégrale et obtenir l'aire.