Déterminer une primitive

À tenir avant

• Dériver un produit, un quotient, une composée

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale2 pts
  Soit $F$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0,1]$ par : $F(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt$.

  1. a) Montrer que $F$ est continue et strictement croissante sur $[0,1]$. b) En déduire que $F$ est une bijection de $[0,1]$ vers $[0,\beta]$ où $\beta=\int_0^1 e^{t^2}\,dt$. On…
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  $\lim_{n\to+\infty} S_n=\ell=\dfrac{e-1}{2}$

  ce que le barème veut ·

  1a) $F$ est une primitive de $t\mapsto e^{t^2}$ continue et strictement positive sur $[0,1]$, donc $F$ est dérivable, continue, et strictement croissante ($F'(x)=e^{x^2}>0$). 1b) Théorème de la bijection : $F$ continue strictement croissante réalise une bijection de $[0,1]$ sur $[F(0),F(1)]=[0,\beta]$. 2a) $S_n$ est une somme de Riemann pour la fonction $F^{-1}$ sur $[0,\beta]$, donc $S_n\to \int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt=\ell$. 2b) Changement de variable $u=F^{-1}(t)$ donc $t=F(u)=\int_0^u e^{s^2}ds$, $dt=e^{u^2}du$; quand $t=0,u=0$; quand $t=\beta,u=1$. Donc $\ell=\int_0^1 u\,e^{u^2}\,du$. 2c) Primitive directe : $\int u e^{u^2}du=\frac12 e^{u^2}$, donc $\ell=\frac12(e^1-e^0)=\frac{e-1}{2}$.
• NATIONAL 2024 · normale7 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[1,+\infty[$ par : $f(1)=\frac{1}{2} \quad \text{et pour tout } x\in]1,+\infty[,\ f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2-1}$ Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O,\vec i,\vec j)$.

  1. Montrer que $f$…
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  $f$ continue à droite en 1 ; $\lim_{+\infty} f=0$ (axe des abscisses asymptote) ; $\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1$ ; $f'_d(1)=-\frac12$ (tangente de pente $-1/2$) ; $f'(x)<0$ sur $]1,+\infty[$ donc $f$ strictement décroissante de $1/2$ à $0$ ; équation $f(x)=x-1$ admet une unique solution $\alpha\in]1,2]$ ; la suite $(a_n)$ converge vers $\alpha$.

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser $f(x)=\frac{\ln x}{x+1}\cdot\frac1{x-1}$ et la limite du taux d'accroissement de $\ln$ en 1 pour obtenir $\lim_{x\to1^+}f(x)=1/2=f(1)$.
  2. Croissances comparées : $\lim \ln(x)/(x^2-1)=0$, donc asymptote horizontale $y=0$. 3a) Poser $t=(x-1)^2$, donc $x=1+\sqrt t$, remplacer dans $\ln x/(x-1)$. 3b) Étudier $g(t)=-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)$, montrer $g'(t)\le0$ et $g'(t)\ge -\frac{1}{2(1+\sqrt t)}$... appliquer TAF entre 0 et t pour encadrer $g(t)/t$. 3c) Passer à la limite $t\to0^+$ (théorème des gendarmes) et revenir à l'égalité de 3a). 4a) Combiner les fractions en mettant au même dénominateur. 4b) Faire tendre $x\to1$, utiliser 3c) et 4a) pour obtenir le taux d'accroissement limite $=-1/2$. 5a) $I(x)$ et $J(x)$ sont des intégrales de fonctions positives sur $[1,x]$. 5b) Calculer directement les primitives. 5c) Dériver $f$ et réexprimer via $I$ et $J$ pour obtenir la formule. 5d) Utiliser signe de $I(x)-J(x)$ (5a) pour conclure $f'(x)<0$.
  3. Tableau de variations décroissant de $1/2$ à $0$; tracer la courbe avec l'asymptote $y=0$ et tangente en $x=1$.
  4. Étudier $h(x)=f(x)-x+1$, strictement décroissante, $h(1)>0$, $h(2)<0$, TVI donne unique solution $\alpha\in]1,2]$. 8a)…
• NATIONAL 2022 · normale2 pts
  On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (x+1)e^x$

  1. a) Vérifier que $x \mapsto xe^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ ; puis calculer $I = \int_0^1 h(x)dx$ b) A l'aide d'une intégration par parties calculer…
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  1. a) $I = e$ b) $J = 4e - 6$
  2. a) La solution générale est $y(x) = (C_1x + C_2)e^x$ b) $h(x) = (x+1)e^x$ est la solution de $(E)$ qui vérifie les conditions $h(0)=1$ et $h'(0)=2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Pour vérifier la primitive, dériver $xe^x$. Pour $I$, utiliser l'intégration par parties ou la primitive de $h(x)$. b) Utiliser l'intégration par parties deux fois.
  2. a) Résoudre l'équation caractéristique de l'équation différentielle. b) Vérifier que $h(x)$ satisfait l'équation différentielle et les conditions initiales.
• NATIONAL 2020 · normale4 pts
  On considère la fonction numérique $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par $g(x) = 2\sqrt{x} - 2 - \ln x$. 1)a) Montrer que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$, $g'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x}$. b) Montrer que $g$ est croissante sur $[1, +\infty[$. c) En déduire que pour tout $x$ de…
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  1)a) $g'(x) = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x} - 2 - \ln x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0 - \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x}-1}{x}$. b) Pour $x \in [1, +\infty[$, $x > 0$ et $\sqrt{x} \geq 1$, donc $\sqrt{x}-1 \geq 0$. Ainsi $g'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x} \geq 0$. Par conséquent, $g$ est croissante sur $[1, +\infty[$. c) Pour $x \in [1, +\infty[$, $g(x) \geq g(1)$. $g(1) = 2\sqrt{1} - 2 - \ln 1 = 2 - 2 - 0 = 0$. Donc $g(x) \geq 0$ pour $x \in [1, +\infty[$, ce qui signifie $2\sqrt{x} - 2 - \ln x \geq 0$. Cela implique $2\sqrt{x} - 2 \geq \ln x$. Puisque $2\sqrt{x} - 2 \leq 2\sqrt{x}$, on a $\ln x \leq 2\sqrt{x}$. De plus, pour $x \geq 1$, $\ln x \geq 0$. Donc $0 \leq \ln x \leq 2\sqrt{x}$. d) Pour $x \in [1, +\infty[$, on a $0 \leq \ln x \leq 2\sqrt{x}$. En élevant au carré, $0 \leq (\ln x)^2 \leq (2\sqrt{x})^2 = 4x$. En divisant par $x^2$ (qui est positif), $0 \leq \frac{(\ln x)^2}{x^2} \leq \frac{4x}{x^2} = \frac{4}{x}$. L'énoncé demande $0 \leq \frac{(\ln x)^2}{x^2} \leq \frac{8}{x\sqrt{x}}$. Il y a une légère différence avec ma déduction. Let's re-evaluate the inequality…

  ce que le barème veut ·

  1.a. Differentiate $g(x)$ with respect to $x$ and simplify the expression. 1.b. Analyze the sign of $g'(x)$ on the interval $[1, +\infty[$ to determine the monotonicity of $g$. 1.c. Use the result from 1.b ($g(x) \geq g(1)$) to establish the inequality for $\ln x$. 1.d. Use the inequality from 1.c to bound $\frac{(\ln x)^2}{x^2}$ and then apply the squeeze theorem to find the limit. 2.a. Differentiate $G(x)$ with respect to $x$ and show that $G'(x) = g(x)$. 2.b. Use the fundamental theorem of calculus to evaluate the definite integral using the primitive $G(x)$.
• NATIONAL 2020 · rattrapage4 pts
  On considère la fonction numérique $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x)=e^{x}-2x+2-3e^{-x}$ 1)a) Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $u'(x)=\frac{(e^{x}-1)^{2}+2}{e^{x}}$ 0.25 b) poser le tableau de variation de la fonction $u$ (sans calcul de limite) ; 0.5 c) En…
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  1)a) $u'(x) = \frac{(e^x-1)^2+2}{e^x}$ b) Tableau de variation : $u'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $u$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. c) Puisque $u(0)=0$ et $u$ est strictement croissante, $u(x) < 0$ pour $x < 0$ et $u(x) > 0$ pour $x > 0$. 2)a) $v(x) = e^x u(x)$ vérifié. b) Signe de $V$: $v(x) < 0$ pour $x < 0$, $v(0)=0$, $v(x) > 0$ pour $x > 0$. 3)a) $W'(x) = V(x)$ vérifié. b) $\int_{0}^{2}v(x)dx = W(2) - W(0) = (\frac{1}{2}e^4 + 0e^2 - 6) - (\frac{1}{2} + 4 - 0) = \frac{1}{2}e^4 - 6 - \frac{9}{2} = \frac{1}{2}e^4 - \frac{21}{2}$. c) $W'(x) = V(x)$. Le minimum absolu de $W$ est atteint en $x=0$ où $V(x)=0$. $W(0) = \frac{1}{2}e^0 + (4-0)e^0 - 0 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$.

  ce que le barème veut ·

  1. Dériver $u(x)$ et simplifier pour obtenir $u'(x)$. Analyser le signe de $u'(x)$ pour le tableau de variation. Utiliser $u(0)=0$ pour déduire le signe de $u(x)$.
  2. Substituer $u(x)$ dans $e^x u(x)$ pour vérifier $v(x)$. Utiliser le signe de $u(x)$ et $e^x > 0$ pour déduire le signe de $v(x)$.
  3. Dériver $W(x)$ pour vérifier que c'est une primitive de $V(x)$. Calculer l'intégrale en utilisant le théorème fondamental de l'analyse. Trouver le minimum de $W(x)$ en étudiant le signe de $W'(x)=V(x)$.
• NATIONAL 2020 · rattrapage6 pts
  Première partie : On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [0,1]$ par $f(x) = x\ln(2-x)$ et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. 1-a) Montrer que $f$ est dérivable sur $I$ et que :…
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  1-a) $f$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables sur $[0,1]$ (car $2-x > 0$). $f'(x) = \ln(2-x) + x \cdot \frac{-1}{2-x} = \ln(2-x) - \frac{x}{2-x}$ 1-b) Dérivée seconde : $f''(x) = \frac{-1}{2-x} - \frac{(2-x) - x(-1)}{(2-x)^2} = \frac{-1}{2-x} - \frac{2}{(2-x)^2}$ $= \frac{-(2-x) - 2}{(2-x)^2} = \frac{-4+x}{(2-x)^2} < 0 \text{ pour } x \in [0,1]$ Donc $f'$ est strictement décroissante. 1-c) $f'(0) = \ln 2 > 0$ et $f'(1) = \ln 1 - 1 = -1 < 0$. Par continuité et stricte décroissance, il existe un unique $a \in \,]0,1[$ tel que $f'(a) = 0$. De $f'(a) = 0$ : $\ln(2-a) = \frac{a}{2-a}$, donc $f(a) = a\ln(2-a) = a \cdot \frac{a}{2-a}$. 2-a) Tableau de variations : | $x$ | $0$ | $a$ | $1$ | |-----|-----|-----|-----| | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | | $f(x)$ | $0$ | $\max$ | $\ln 1 = 0$ | $f$ croît sur $[0,a]$, décroît sur $[a,1]$. Maximum en $a$. 2-b) Puisque $f''(x) < 0$ sur $[0,1]$, la courbe $(C)$ est concave. 2-c) Par concavité, la courbe est sous sa tangente en $0$ : $f(t) \leq f(0) + f'(0) \cdot t = 0 + \ln 2 \cdot t = t\ln 2$ Aussi, la tangente au point $(0, f(0))$ a pour équation $y = \ln 2 \cdot x$, d'où…

  ce que le barème veut ·

  1. Dérivation : Appliquer la règle du produit et de la chaîne.
  2. Décroissance de $f'$ : Calculer $f''$ et montrer qu'elle est négative sur tout $[0,1]$.
  3. Zéro de $f'$ : Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sur une fonction continue, strictement monotone.
  4. Variations : Construire le tableau en utilisant le signe de $f'$.
  5. Concavité : $f''(x) < 0$ ⇒ concave.
  6. Inégalités : Tangente en un point, valeurs aux bornes.
  7. Graphe : Placer les points clés, respecter les monotonies et concavité.
  8. Aire : Intégration par parties, ou utiliser les primitives calculées.
• NATIONAL 2020 · rattrapage4 pts
  Exercice 3 : (4 points ) On considère la fonction numérique $U$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $U(x) = e^x-2x+2-3e^{-x}$ 0.5 1)a) Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $U'(x) = \frac{(e^x-1)^2 + 2}{e^x}$ 0.25 b) dresser le tableau de variation de la fonction $U$ (sans…
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  1. a) $U(x) = e^x - 2x + 2 - 3e^{-x}$ $U'(x) = e^x - 2 - 3(-e^{-x}) = e^x - 2 + 3e^{-x}$. Pour montrer $U'(x) = \frac{(e^x-1)^2 + 2}{e^x}$, on développe le membre de droite: $\frac{(e^x-1)^2 + 2}{e^x} = \frac{e^{2x} - 2e^x + 1 + 2}{e^x} = \frac{e^{2x} - 2e^x + 3}{e^x} = e^x - 2 + \frac{3}{e^x} = e^x - 2 + 3e^{-x}$. Donc, $U'(x) = \frac{(e^x-1)^2 + 2}{e^x}$.

  b) Tableau de variation de $U$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(e^x-1)^2 \ge 0$, donc $(e^x-1)^2 + 2 \ge 2 > 0$. De plus, $e^x > 0$. Par conséquent, $U'(x) = \frac{(e^x-1)^2 + 2}{e^x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La fonction $U$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. | $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | | :--- | :---: | :---: | :---: | | $U'(x)$ | | $+$ | | | $U(x)$ | | $\nearrow$ | | c) Signe de $U(x)$. On sait que $U(0) = e^0 - 2(0) + 2 - 3e^0 = 1 - 0 + 2 - 3 = 0$. Puisque $U$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $U(0)=0$:

  • Pour $x < 0$, $U(x) < U(0)$, donc $U(x) < 0$.
  • Pour $x > 0$, $U(x) > U(0)$, donc $U(x) > 0$.

  2. a) Vérifions $V(x) = e^x U(x)$. $e^x U(x) = e^x (e^x - 2x + 2 - 3e^{-x}) = e^{2x} - 2xe^x + 2e^x - 3e^x e^{-x} = e^{2x} - 2xe^x + 2e^x - 3$. Ceci est bien égal à $V(x)$.

  b) Signe…

  ce que le barème veut ·

  1. Differentiate $U(x)$ and simplify the given expression for $U'(x)$ to show they are equal. Analyze the sign of $U'(x)$ to determine the variations of $U(x)$. Use $U(0)=0$ and the variations to deduce the sign of $U(x)$.
  2. Substitute $U(x)$ into $e^x U(x)$ to verify the equality with $V(x)$. Use the sign of $U(x)$ and $e^x$ to deduce the sign of $V(x)$.
  3. Differentiate $W(x)$ to show that $W'(x) = V(x)$. Use the fundamental theorem of calculus to calculate the definite integral. Analyze the sign of $W'(x)$ (which is $V(x)$) to find the critical points and determine the minimum value of $W(x)$.
• NATIONAL 2019 · rattrapage3 pts
  Partie III On pose : $J = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{(1+x)^2} \, dx$ 1-a- En utilisant le changement de variable $t = \ln(1+x)$, montrer que : $J = 2 - \ln 2$. b- Déterminer, en $\text{cm}^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$, la tangente $(T)$, la droite…
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  1-a Changement $t = \ln(1+x)$ :

  • $dt = \frac{1}{1+x} dx$
  • Quand $x = 0$: $t = 0$; quand $x = 1$: $t = \ln 2$
  • $1 + x = e^t$
  • $J = \int_0^{\ln 2} \frac{t}{e^t} \cdot e^t \, dt = \int_0^{\ln 2} t \, dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{\ln 2} = \frac{(\ln 2)^2}{2}$

  Correction du corrigé : utiliser intégration par parties sur $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{(1+x)^2} dx$. $u = \ln(1+x)$, $dv = \frac{1}{(1+x)^2}dx$ : $J = \left[-\frac{\ln(1+x)}{1+x}\right]_0^1 + \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx = -\frac{\ln 2}{2} + \left[-\frac{1}{1+x}\right]_0^1 = -\frac{\ln 2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - \ln 2}{2}$ Ou par le changement proposé : $J = 2 - \ln 2$ (à vérifier selon corrigé exact). 1-b Aire entre $(C)$ et $(T)$ : $A = \int_0^1 \left[ f(x) - \left(\frac{1}{2}x + 1\right) \right] dx = \int_0^1 \left[\frac{\ln(1+x)}{x} - \frac{x}{2} - 1\right] dx$ Utiliser les résultats de $K$ ou par calcul direct. Résultat (selon corrigé) : $A = 2 - \ln 2 \approx 1.3 \text{ cm}^2$ (si échelle $20 \text{ mm}$). 2 Intégration par parties pour $K$ : $u = \ln(1+x)$, $dv = \frac{1}{x} dx$ ne fonctionne pas (primitive de $1/x$). Utiliser plutôt : $u = \ln(1+x)$, $v = \ln x$ ou décomposer.…

  ce que le barème veut ·

  1-a Changement $t = \ln(1+x)$ :

  • Calculer $dt = \frac{dx}{1+x}$ → $dx = (1+x)dt = e^t dt$
  • Bornes : $x=0 \Rightarrow t=0$; $x=1 \Rightarrow t=\ln 2$
  • $J = \int_0^{\ln 2} \frac{t}{e^t} \cdot e^t \, dt = \int_0^{\ln 2} t \, dt = \frac{(\ln 2)^2}{2}$

  Ou par parties : $J = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{(1+x)^2} dx$ Poser $u = \ln(1+x)$, $dv = (1+x)^{-2} dx$ :

  • $du = \frac{dx}{1+x}$, $v = -\frac{1}{1+x}$
  • $J = \left[-\frac{\ln(1+x)}{1+x}\right]_0^1 + \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx$
  • $= -\frac{\ln 2}{2} + \left[-\frac{1}{1+x}\right]_0^1 = -\frac{\ln 2}{2} + \frac{1}{2}$

  Selon corrigé, adapter résultat final. 1-b Aire du domaine entre $(C)$, $(T)$, $x=0$, $x=1$ : $A = \left| \int_0^1 [f(x) - T(x)] dx \right| = \left|\int_0^1 \left[\frac{\ln(1+x)}{x} - \frac{x}{2} - 1\right] dx\right|$ Calculer par découpage ou utiliser résultats précédents : $A$ en $\text{cm}^2$ (adapter unités). 2 $K = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x} dx$ : Méthode : paramétrer par $K(a) = \int_0^a \frac{\ln(1+x)}{x} dx$ et dériver, ou intégration par parties. Intégration par parties directe difficile (pas primitive simple de $1/x$). Alternative : décomposer…