Intégrer par parties

À tenir avant

• Calculer une intégrale par primitive

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2023 · rattrapage8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\begin{cases} x\,e^{\frac{x}{2-x}} & \text{si } x<2 \\ 1+(x-2)\ln(x-2) & \text{si } x>2\end{cases}$ et $f(2)=1$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ (unité…
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  1. $f$ continue en 2 (limites à gauche et à droite égales à 1).
  2. c) $f'(2)=0$, tangente horizontale en $x=2$.
  3. b) $\lim_{-\infty}f(x)=-\infty$ (branche...); c) $\lim_{+\infty}f(x)=+\infty$, $\lim_{+\infty}f(x)/x=+\infty$ (branche parabolique de direction $Oy$).
  4. c) solution : $2<x\le 2+e^{-1/2}$.
  5. b) $A(\lambda)=\dfrac34-\dfrac12(\lambda-2)^2\left(\ln(\lambda-2)-\dfrac12\right)$ (en cm², valeur absolue prise selon signe). c) $\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)=+\infty$.

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer $\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim x e^{x/(2-x)}$: en posant $x\to2$, $\frac{x}{2-x}\to-\infty$ donc l'exponentielle tend vers 0, produit tend vers $2\times0=0$... mais il faut lever la forme indéterminée; le corrigé montre que la limite vaut 1. $\lim_{x\to2^+}f(x)=1+0\times\ln0^+ =1$ (limite usuelle $u\ln u\to0$). Donc continuité avec $f(2)=1$.
  2. a) Écrire le taux d'accroissement à gauche et le transformer en produit avec $\frac{x(2-x)}{x-2}\to$ forme exploitable pour la limite. b) Calculer la limite du taux de variation à gauche en 2, on trouve 0, donc $f$ dérivable à gauche avec $f'_g(2)=0$. c) De même à droite ($f(x)-1=(x-2)\ln(x-2)$, taux $=\ln(x-2)\to-\infty$... mais résultat annoncé $f'(2)=0$ global obtenu en combinant les deux dérivées à condition qu'elles coïncident) : le corrigé conclut $f'(2)=0$ et interprète: tangente horizontale (axe des abscisses point d'inflexion ou extremum local).
  3. a) Factoriser $f(x)=xe^{x/(2-x)}=x(x-2)e^{x/(2-x)}\cdot\frac{1}{x-2}+...$, développement algébrique donné. b) Étudier limite en $-\infty$: terme exponentiel tend vers $e^{-1}$, produit avec $x(x-2)\to+\infty$ donne $f(x)\to-\infty$, asymptote ou branche infinie selon comparaison…
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $I=[0,+\infty[$ par $f_n(0)=0$ et, pour $x>0$, $f_n(x)=\sqrt{x}\,(\ln x)^{2n}$, et soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Partie I

  1. a) Montrer…
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  Partie I : $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty$ ; $\lim_{x\to+\infty}\frac{f_n(x)}{x}=0$ (branche parabolique de direction $(Ox)$) ; suivant la parité, $\lim_{x\to0^+}\frac{f_n(x)}{x}=+\infty$ (n pair, demi-tangente verticale) ou $-\infty$ (n impair). $f_n'(x)=0$ ssi $x=1$ ou $x=e^{-2n}$ (n≥2) ; tableaux de variation différents selon parité de n ; pour n impair ≥3, $x=1$ est point d'inflexion. Partie II : $0<u_n<\sqrt e$, $(u_n)$ décroissante, $\lim u_n=0$. $(x_n)$ croissante et convergente. $1<l\le e$, et finalement $l=e$. Partie III : $F$ continue sur $I$ ; formule de $F(x)$ donnée ; $\lim_{x\to0^+}F(x)=\frac{16}{27}$ donc $F(0)=\frac{16}{27}$ ; Volume $V=\pi\int_0^1 x(\ln x)^4dx=\dfrac{3\pi}{4}\ \mathrm{cm}^3\approx 2{,}36\ \mathrm{cm}^3$.

  ce que le barème veut ·

  Partie I : encadrer $\sqrt x(\ln x)^{2n}$ près de 0 par comparaison croissances comparées pour obtenir la limite nulle et la continuité à droite. Calculer directement les limites en $+\infty$ par croissances comparées. Dériver $f_n$ comme produit/composée, factoriser par $(\ln x)^{2n-1}$, résoudre $f_n'(x)=0$. Étudier le signe de $f_n'$ selon la parité de $2n-1$ n'a pas de sens (toujours impair) donc étudier signe de $(2n+\ln x)$ et $x-1$ ; dresser t
• NATIONAL 2023 · normale11 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. a) Vérifier que pour tout $x\in]0,+\infty[$ :…
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  1c) $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ : asymptote verticale $x=0$. 1d) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ; branche parabolique de direction $(Ox)$. 3a) $f$ strictement croissante sur $]0,+\infty[$. 3c) Points d'inflexion aux abscisses où $f''$ change de signe (deux points d'inflexion). 6c) Aire $=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha$ cm². 7c) $(u_n)$ converge vers $1$ (point fixe de $f$ dans $[\alpha,1]$, avec $f(1)=1$).

  ce que le barème veut ·

  1a) Dériver $f$ directement et réduire au même dénominateur. 1b) Poser $t=\sqrt x$, utiliser croissances comparées : $t^2(\ln t^2)^2\to0$ quand $t\to0$. 1c) $\frac{2}{x}\to+\infty$ domine, donc $f(x)\to+\infty$ ; interprétation : asymptote verticale d'équation $x=0$. 1d) $\frac{2}{x}\to0$, $(1-\ln x)^2\to+\infty$ mais $\frac{f(x)}{x}\to0$ (croissances comparées) donc branche parabolique de direction $(Ox)$. 2) Simplifier l'expression de 1a) en factorisant. 3a) Signe de $f'$ déduit du tableau (numérateur positif car fonction croissante puis f'(1)=0 minimum nul), donc $f'\ge0$ sur tout l'intervalle, $f$ croissante. 3b) $f''$ s'obtient en dérivant $f'$, signe donné par le tableau fourni (change de signe autour de deux valeurs). 3c) Concavité : convexe où $f''>0$, concave où $f''<0$; les points d'inflexion sont aux valeurs où $f''$ s'annule en changeant de signe. 4a) Lecture graphique : $g<0$ sur $]0,\alpha[$... $g(x)>0$ sur $]0,\alpha[\cup]1,+\infty[$ et $g<0$ sur $]\alpha,1[$ (d'après courbe). 4b) $g(x)=f(x)-x$ donc signe de $g$ donne position relative de $(C)$ et $(\Delta)$: $g<0 \Rightarrow f(x)<x \Rightarrow (C)$ en dessous ; $g>0\Rightarrow(C)$ au dessus. 6a) Dériver $2x-x\ln x$…
• NATIONAL 2023 · rattrapage10 pts
  Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $I = [0, +\infty[$ par : $f_n(0) = 0$ et pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $f_n(x) = \sqrt{x}(\ln x)^n$. Soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Partie I

  1. a) Vérifier…
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  Partie I – 1. a) $f_n$ est continue à droite en 0 (car $\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = 0 = f_n(0)$). b) $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f_n(x)}{x} = 0$. Interprétation : la courbe $(C_n)$ admet l'axe des abscisses comme asymptote oblique. d) Si $n$ est pair : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x} = 0$. Si $n$ est impair : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x} = -\infty$. Interprétation géométrique selon la parité. 2. a) Par dérivation : $f_n'(x) = \frac{\sqrt{x}}{2x}(2n + \ln x)(\ln x)^{n-1}$ pour $x > 0$. b) $f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = -2n$ ou $\ln x = 0 \Leftrightarrow x = e^{-2n}$ ou $x = 1$. c) Tableau de variations établi selon parité de $n$ (avec points critiques en $e^{-2n}$ et 1). d) Vérification que pour $n$ impair et $n > 3$, le point d'abscisse 1 est un point d'inflexion. Partie II – 1. a) $0 < u_n = f_n(\theta) < \sqrt{\theta}$ (car $\theta \in ]1, e[$ et $(\ln \theta)^n \to 0$). b) $(u_n)$ est décroissante. c) $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. 2. a) Par théorème des valeurs intermédiaires, il existe unique $x_n \in ]1, e[$ tel que $f_n(x_n) = 1$. b) $(x_n)$ est croissante et convergente. 3. a)…

  ce que le barème veut ·

  Partie I – 1: a) Utiliser le développement limité : $(\ln x)^n \sim 0$ quand $x \to 0^+$, donc $\sqrt{x}(\ln x)^n \to 0$. Continuité à droite en 0 suit. b) Pour $x \to +\infty$, $(\ln x)^n$ croît plus lentement que $\sqrt{x}$, donc $f_n(x) \to +\infty$. c) $\frac{f_n(x)}{x} = \frac{(\ln x)^n}{\sqrt{x}} \to 0$ (croissance logarithmique < puissance). Pas d'asymptote oblique. d) Développement de $\frac{f_n(x)}{x}$ près de 0 ; le signe dépend de la parité de $n$. 2: a) Dériver directement : $f_n'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x)^n + \sqrt{x} \cdot n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x}$, puis factoriser. b) $f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow (\ln x)^{n-1}[\frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x) + \frac{n}{\sqrt{x}}] = 0$, d'où $\ln x = 0$ ou $\ln x = -2n$. c) Analyser le signe de $f_n'$ selon parité : si $n$ pair, deux maxima ; si $n$ impair, allure différente. d) Vérifier que $f_n''(1) = 0$ et changement de signe pour $n$ impair et $n > 3$. Partie II – 1: a) $\theta \in ]1, e[$ et $\ln \theta \in ]0, 1[$, donc $(\ln \theta)^n \to 0$, d'où $\sqrt{\theta}(\ln \theta)^n < \sqrt{\theta}$. b) $\frac{u_{n+1}}{u_n} = (\ln \theta) < 1$, donc décroissante. c) Suite décroissante minorée par 0, donc…
• NATIONAL 2022 · normale4 pts
  1 $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): Partie D Pour tout $x \in I = [0, +\infty)$, on définit : $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ 1. Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur $I$ et calculer $F'(x)$ pour tout $x \in I$. 2. a) En utilisant la méthode d'intégration par…
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  1. La fonction $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
  2. a) $F(x) = 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \frac{\ln(1+x)}{x}$ est incorrect. L'énoncé correct est $F(x) = 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \frac{\ln(1+x)}{x}$ pour $x \in ]0, +\infty[$. L'expression est $F(x) = 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \frac{\ln(1+x)}{x}$ pour $x \in ]0, +\infty[$. b) $\lim_{x \to 0^+} F(x) = 2\ln 2 - 1$. On en déduit $\int_0^1 f(t) \, dt = 2\ln 2 - 1$. c) L'aire est $(2\ln 2 - 1) \times 4 \text{ cm}^2 = (8\ln 2 - 4) \text{ cm}^2$.
  3. a) $0 \leq D_k \leq f(k) - f(k+1)$. b) $0 \leq S_n \leq \frac{1}{2}$. c) La suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente et sa limite $L$ vérifie $\frac{3}{2} - 2\ln 2 \leq L \leq \frac{1}{2}$.

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser le théorème fondamental de l'analyse.
  2. a) Utiliser l'intégration par parties avec $u(t) = \ln(1+t)$ et $v'(t) = \frac{1}{t^2}$. b) Calculer la limite en utilisant le développement limité de $\ln(1+x)$ ou la règle de L'Hôpital. c) L'aire est donnée par $\int_0^1 f(t) \, dt$ multipliée par l'échelle des axes.
  3. a) Utiliser le théorème des accroissements finis ou l'inégalité des fonctions monotones. b) Sommer les inégalités pour $D_k$. c) Montrer que $(S_n)$ est monotone et bornée, puis encadrer sa limite.
• NATIONAL 2022 · rattrapage8 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(x) = \begin{cases} x^2(\ln x - 1) & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  2. a) $f$ est continue à droite en 0.

  b) $f$ n'est pas dérivable à droite en 0 ; géométriquement, la courbe admet une demi-tangente horizontale en 0.

  3. a) $f'(x) = 2x(\ln x - 1) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln x - 2x + x = 2x\ln x - x = x(2\ln x - 1)$.

  b) Tableau de variations : $f$ décroît sur $[0, e^{-1/2}]$ et croît sur $[e^{-1/2}, +\infty[$.

  4. a) $f''(x) = 2\ln x + 1$ : $f''(x) < 0$ pour $x \in ]0, e^{-1/2}[$ et $f''(x) > 0$ pour $x \in ]e^{-1/2}, +\infty[$.

  b) Point d'inflexion en $x = e^{-1/2}$ (soit $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$).

  5. a) [Construction graphique].

  b) L'équation $x(\ln x - 1) = -1$ a exactement 2 solutions.

  6. a) $g(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = g(x)$, donc $g$ est paire.

  b) [Construction du symétrique de $(C)$ par rapport à l'axe des ordonnées].

  7. a) $I = \frac{1}{6}$ (par intégration par parties).

  b) $A'(x) = 5f(x) + 2x(\ln x - 1)$ vérifié. c) $\int_1^e f(x) \, dx = \frac{1}{6}$. d) Aire $= \frac{1}{6}$ cm² (ou en unité graphique).

  ce que le barème veut ·

  1) Pour $x \to +\infty$, $x^2(\ln x - 1) \to +\infty$. La branche infinie est parabolique de direction l'axe $(Oy)$ puisque $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$. 2) a) $\lim_{x \to 0^+} x^2(\ln x - 1) = 0 \cdot (-\infty + 0) = 0$ (car $x^2$ domine $\ln x$). Donc $f$ est continue à droite en 0. 2) b) Dérivée à droite : $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2(\ln h - 1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} h(\ln h - 1) = 0$. La courbe a une demi-tangente horizontale au point $(0, 0)$, mais $f$ n'est pas dérivable au sens strict (car la dérivée à gauche n'existe pas). 3) a) $f'(x) = 2x(\ln x - 1) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x(\ln x - 1) + x = 2x\ln x - 2x + x = x(2\ln x - 1)$. 3) b) $f'(x) = 0 \Rightarrow 2\ln x - 1 = 0 \Rightarrow x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.

  • Sur $]0, \sqrt{e}[$, $f'(x) < 0$ : $f$ décroît.
  • Sur $]\sqrt{e}, +\infty[$, $f'(x) > 0$ : $f$ croît. Minimum en $x = \sqrt{e}$, $f(\sqrt{e}) = e(\frac{1}{2} - 1) = -\frac{e}{2}$.

  4) a) $f''(x) = 2\ln x + 1$.

  • $f''(x) = 0 \Rightarrow x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
  • $f''(x) < 0$ pour $x < e^{-1/2}$ (concavité vers le bas).
  • $f''(x) > 0$ pour $x > e^{-1/2}$ (concavité…
• NATIONAL 2022 · normale2 pts
  On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (x+1)e^x$

  1. a) Vérifier que $x \mapsto xe^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ ; puis calculer $I = \int_0^1 h(x)dx$ b) A l'aide d'une intégration par parties calculer…
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  1. a) $I = e$ b) $J = 4e - 6$
  2. a) La solution générale est $y(x) = (C_1x + C_2)e^x$ b) $h(x) = (x+1)e^x$ est la solution de $(E)$ qui vérifie les conditions $h(0)=1$ et $h'(0)=2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Pour vérifier la primitive, dériver $xe^x$. Pour $I$, utiliser l'intégration par parties ou la primitive de $h(x)$. b) Utiliser l'intégration par parties deux fois.
  2. a) Résoudre l'équation caractéristique de l'équation différentielle. b) Vérifier que $h(x)$ satisfait l'équation différentielle et les conditions initiales.
• NATIONAL 2022 · normale10 pts
  Partie A.

  1. Vérifier que pour tout $x \in [0,+\infty[$ :

  $\frac{1}{x+1} = 1 - x + \frac{x^2}{x+1}$ puis en déduire que : $\forall x \in [0,+\infty[,\quad 0 \le x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ln(1+x) \le \frac{x^4}{4}$ Partie B. On considère la fonction $f$…
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  Partie A : identité vérifiée par division ; encadrement obtenu par intégration entre $0$ et $x$. Partie B : $f$ continue et dérivable à droite en $0$ avec $f'_d(0)=-\frac13$ ; $\lim_{+\infty}f=0$, asymptote $y=0$ ; $f$ décroissante sur $I$ (car $g\ge0$ donc $f'\le0$). Partie C : $\alpha$ existe et est unique dans $]0,1[$ ; $(u_n)$ converge vers $\alpha$. Partie D : $F'(x)=f(x)$ ; $\int_0^1 f(t)dt = 2\ln2 -1$ ; aire $=4\ \mathrm{cm}^2$. Partie E : $0\le S_n\le \frac12$ ; $(S_n)$ monotone donc convergente vers $\ell$ avec $\frac12-2\ln2\le\ell\le\frac12$.

  ce que le barème veut ·

  A) Décomposer $\frac{1}{x+1}$ par division euclidienne polynomiale pour obtenir l'identité, puis intégrer l'inégalité obtenue en dérivant terme à terme (comparaison de dérivées) entre $0$ et $x$ pour obtenir l'encadrement demandé, en primitivant plusieurs fois. B) 1) Calculer $\lim_{x\to0^+} f(x)$ via un DL de $\ln(1+x)$ pour montrer la continuité ; calculer le taux d'accroissement en $0$ à l'aide d'un DL à l'ordre 3 pour la dérivabilité à droite. Pour la limite en $+\infty$, factoriser et utiliser $\ln(1+x)/x^2 \to 0$ : $f(x)\to 0$, d'où asymptote horizontale $y=0$. 2) Dériver $f$ pour $x>0$ : on trouve $f'(x)=-g(x)/x^3$ avec $g$ défini. Étudier $g$ : $g(0)=0$, $g'(x)=$ expression positive (à partir de l'inégalité de la partie A), donc $g\ge0$ sur $I$, et l'encadrement de la partie A donne $g(x)\le x^3/3$. Donc $f'(x)\le0$ : $f$ décroissante. 3) Tableau de variation décroissant de $f(0)=1/2$ vers $0$ ; tracer la courbe en conséquence. C) 1) Étudier $h(x)=f(x)-x$ : continue, strictement décroissante, changement de signe entre $0$ et $1$ (TVI + stricte monotonie) donc unique solution $\alpha$. 2) Montrer par récurrence que $u_n\in]0,1[$ en utilisant que $f$ envoie $]0,1[$ dans…