Encadrer une intégrale sans la calculer

À tenir avant

• Calculer une intégrale par primitive

Cette méthode au national

1 question d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  1-a) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx$. b) Pour tout entier $n\geq1$, on pose $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq1}$ est convergente puis déterminer sa limite. 2- Montrer que…
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  1-a) $\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln2$. b) $(u_n)$ converge vers $\ln2$. 2) $\int_0^1\frac{1}{(1+x)^2}dx=\frac12<1$. 3) Encadrements établis par étude de fonctions auxiliaires. 4-5) $w_n-u_n\to0$, donc $(w_n)$ converge et $\lim w_n=\lim u_n=\ln2$.

  ce que le barème veut ·

  1-a) Primitive de $\frac{1}{1+x}$ est $\ln(1+x)$, donc $\int_0^1=\ln2-\ln1=\ln2$. b) Reconnaître $u_n$ comme somme de Riemann de $f(x)=\frac{1}{1+x}$ sur $[0,1]$ avec pas $1/n$ : $u_n=\frac1n\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+k/n}\to\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln2$. 2) Calculer directement l'intégrale $=\left[-\frac{1}{1+x}\right]_0^1=1-\frac12=\frac12<1$. 3-a) Étudier $g(x)=ex-e^x+1$ et $h(x)=e^x-1$ sur $[0,1]$, montrer positivité par étude de dérivée et valeurs aux bornes. b) Intégrer ou combiner les inégalités précédentes pour obtenir l'encadrement de $e^x-1-x$. 4-a) Écrire $w_n-u_n=\sum \frac{1}{n+k}(e^{k/(n+k)}-1)$ et utiliser l'encadrement de 3-b) avec $x=k/(n+k)$ pour majorer chaque terme. b) Dériver $\frac{x}{(1+x)^3}$, montrer que la dérivée est négative sur $[0,1]$ donc fonction strictement décroissante. c) Utiliser la décroissance pour encadrer chaque terme de la somme par une intégrale sur l'intervalle $[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]$ (méthode des rectangles), sommer sur $k$. 5-a) Sommer les majorations intégrales pour obtenir $0\le w_n-u_n\le \frac{C}{n}$ (constante liée à $e$ et à l'intégrale calculée en 2). b) Comme $w_n-u_n\to0$ (par théorème des gendarmes) et $u_n\to\ln2$, on…