Calculer une intégrale par primitive

À tenir avant

• Déterminer une primitive

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): 1-a) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx$. b) Pour tout entier $n\geq1$, on pose $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}$. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq1}$ est convergente puis déterminer sa limite (on…
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  EXERCICE2 : (3.5 points) 1-a) Calculer l'intégrale : $\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx$ b) Pour tout entier $n\geq1$, on pose : $u_{n}=\sum_{k=1}^{k=n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ Montrer que la suite $(u_{n})_{n\geq1}$ est convergente puis déterminer sa limite. 2- Montrer que : $\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}dx\leq1$ 3-a) Montrer que : $(\forall x\in[0,1]); 0\leq e^{x}-1\leq e.x$ b) En déduire que : $(\forall x\in[0,1]); 0\leq e^{x}-1-x\leq\frac{e}{2}x^{2}$ 4- Pour tout entier $n\geq1$, on pose : $w_{n}=\sum_{k=1}^{k=n}(e^{\frac{n}{n^{2}+k^{2}}}-1)$ a) Montrer que pour tout entier $n\geq1$, on a : $0\leq w_{n}-u_{n}\leq\frac{e}{2}\sum_{k=1}^{k=n}(\frac{n}{n^{2}+k^{2}})^{2}$ b) Montrer que la fonction : $x\mapsto(1+x^{2})^{-2}$ est strictement décroissante sur $[0,1]$ c) En déduire que pour tout entier $n>1$ et pour tout entier $k\in\{1,2,......,n\}$, on a : $\frac{1}{n}(1+(\frac{k}{n})^{2})^{-2}\leq\int_{\frac{k-1}{n}}(1+x^{2})^{-2}dx$ 5-a) Montrer que pour tout entier $n\geq1$, on a : $0\leq w_{n}-u_{n}\leq\frac{e}{2n}$ b) En déduire que la suite $(w_{n})_{n\geq1}$ est convergente et déterminer sa limite.

  ce que le barème veut · 1. Locate the exercise in the PDF. 2. Transcribe the text exactly as it appears. 3. Format using Markdown and LaTeX for mathematical expressions. 4. Ensure all parts of the exercise are included.
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  1-a) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx$. b) Pour tout entier $n\geq1$, on pose $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq1}$ est convergente puis déterminer sa limite. 2- Montrer que…
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  1-a) $\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln2$. b) $(u_n)$ converge vers $\ln2$. 2) $\int_0^1\frac{1}{(1+x)^2}dx=\frac12<1$. 3) Encadrements établis par étude de fonctions auxiliaires. 4-5) $w_n-u_n\to0$, donc $(w_n)$ converge et $\lim w_n=\lim u_n=\ln2$.

  ce que le barème veut ·

  1-a) Primitive de $\frac{1}{1+x}$ est $\ln(1+x)$, donc $\int_0^1=\ln2-\ln1=\ln2$. b) Reconnaître $u_n$ comme somme de Riemann de $f(x)=\frac{1}{1+x}$ sur $[0,1]$ avec pas $1/n$ : $u_n=\frac1n\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+k/n}\to\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln2$. 2) Calculer directement l'intégrale $=\left[-\frac{1}{1+x}\right]_0^1=1-\frac12=\frac12<1$. 3-a) Étudier $g(x)=ex-e^x+1$ et $h(x)=e^x-1$ sur $[0,1]$, montrer positivité par étude de dérivée et valeurs aux bornes. b) Intégrer ou combiner les inégalités précédentes pour obtenir l'encadrement de $e^x-1-x$. 4-a) Écrire $w_n-u_n=\sum \frac{1}{n+k}(e^{k/(n+k)}-1)$ et utiliser l'encadrement de 3-b) avec $x=k/(n+k)$ pour majorer chaque terme. b) Dériver $\frac{x}{(1+x)^3}$, montrer que la dérivée est négative sur $[0,1]$ donc fonction strictement décroissante. c) Utiliser la décroissance pour encadrer chaque terme de la somme par une intégrale sur l'intervalle $[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]$ (méthode des rectangles), sommer sur $k$. 5-a) Sommer les majorations intégrales pour obtenir $0\le w_n-u_n\le \frac{C}{n}$ (constante liée à $e$ et à l'intégrale calculée en 2). b) Comme $w_n-u_n\to0$ (par théorème des gendarmes) et $u_n\to\ln2$, on…
• NATIONAL 2022 · normale2 pts
  On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (x+1)e^x$

  1. a) Vérifier que $x \mapsto xe^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ ; puis calculer $I = \int_0^1 h(x)dx$ b) A l'aide d'une intégration par parties calculer…
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  1. a) $I = e$ b) $J = 4e - 6$
  2. a) La solution générale est $y(x) = (C_1x + C_2)e^x$ b) $h(x) = (x+1)e^x$ est la solution de $(E)$ qui vérifie les conditions $h(0)=1$ et $h'(0)=2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Pour vérifier la primitive, dériver $xe^x$. Pour $I$, utiliser l'intégration par parties ou la primitive de $h(x)$. b) Utiliser l'intégration par parties deux fois.
  2. a) Résoudre l'équation caractéristique de l'équation différentielle. b) Vérifier que $h(x)$ satisfait l'équation différentielle et les conditions initiales.
• NATIONAL 2022 · rattrapage8 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(x) = \begin{cases} x^2(\ln x - 1) & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. La direction asymptotique : $\frac{f(x)}{x^2} = \ln x - 1 \to +\infty$, donc branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  2. a) $\lim_{x \to 0^+} x^2(\ln x - 1) = 0 \cdot (-\infty)$. Par $x^2 \ln x \to 0$ (croissance comparée), on a $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0)$. Donc $f$ est continue à droite en 0.

  b) $f'_d(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0^+} h(\ln h - 1) = 0$. Donc $f$ est dérivable à droite en 0 avec $f'_d(0) = 0$. Géométriquement : la tangente en 0 est horizontale.

  3. a) Pour $x > 0$ : $f'(x) = 2x(\ln x - 1) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x(\ln x - 1) + x = 2x\ln x - 2x + x = 2x\ln x - x$. (Nota : l'énoncé semble contenir une erreur typographique)

  b) $f'(x) = x(2\ln x - 1) = 0$ pour $x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.

  • Pour $0 < x < \sqrt{e}$ : $f'(x) < 0$ (décroissante).
  • Pour $x > \sqrt{e}$ : $f'(x) > 0$ (croissante). Minimum en $x = \sqrt{e}$ : $f(\sqrt{e}) = e(1/2 - 1) = -e/2$.

  4. a) $f''(x) = 4\ln x$. Signe : $f''(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ (concave) ; $f''(x) > 0$ pour $x > 1$ (convexe).

  b) Point d'inflexion en $x = 1$ (changement de concavité). $f(1) = 1 \cdot (0 - 1) = -1$. Points d'inflexion :…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Étudier le comportement de $f(x) = x^2(\ln x - 1)$ quand $x \to +\infty$. Les deux facteurs divergent : $x^2 \to +\infty$ et $\ln x - 1 \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$. Analyser la croissance : $\frac{f(x)}{x^2} = \ln x - 1 \to +\infty$, ce qui indique une branche parabolique. Question 2a) : Continuité à droite en 0 : montrer que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$. Utiliser le fait que $x^2$ domine $\ln x - 1$ (croissance comparée : $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$). Question 2b) : Dérivabilité à droite : calculer $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} h(\ln h - 1)$. Ce produit tend vers 0 par croissance comparée. Interprétation géométrique : la tangente au point (0,0) est horizontale (pente 0). Question 3a) : Dériver $f(x) = x^2 \ln x - x^2$ pour $x > 0$ : $f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} - 2x = 2x \ln x + x - 2x = 2x \ln x - x = x(2\ln x - 1)$ Question 3b) : Tableau de variations : $f'(x) = 0$ ssi $2\ln x - 1 = 0$, i.e., $x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.

  • Sur $]0, \sqrt{e}[$ : $f'(x) < 0$ (fonction décroissante).
  • Sur $]\sqrt{e}, +\infty[$ : $f'(x) > 0$ (fonction croissante). Minimum local en $x = \sqrt{e}$ :…
• NATIONAL 2022 · normale2 pts
  On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (x+1)e^x$.

  1. a) Vérifier que $x e^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$, puis calculer $I = \int_0^1 h(x) \, dx$.

  b) À l'aide d'une intégration par parties, calculer…
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  1) a) Primitive : on vérifie que $(xe^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x = h(x)$. ✓ $I = \int_0^1 (x+1)e^x \, dx = [xe^x]_0^1 = 1 \cdot e^1 - 0 = e$. 1) b) Intégration par parties avec $u = (x+1)^2$, $dv = e^x dx$ : $du = 2(x+1) dx$, $v = e^x$. $J = [(x+1)^2 e^x]_0^1 - \int_0^1 2(x+1)e^x \, dx = 4e - 1 - 2\int_0^1 (x+1)e^x \, dx = 4e - 1 - 2e = 2e - 1$. 2) a) L'équation caractéristique est $r^2 - 2r + 1 = 0$, soit $(r-1)^2 = 0$. Racine double $r = 1$. Solution générale : $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^x$. 2) b) $h(x) = (x+1)e^x$ est de la forme $(C_1 + C_2 x)e^x$ avec $C_1 = 1$, $C_2 = 1$. $h(0) = 1 \cdot e^0 = 1$. ✓ $h'(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$, donc $h'(0) = 2e^0 = 2$. ✓

  ce que le barème veut ·

  1) a) On différencie la primitive proposée pour vérifier qu'elle donne $h$. Puis on applique le théorème fondamental : $\int_0^1 h = [F]_0^1 = F(1) - F(0)$ où $F(x) = xe^x$. 1) b) Intégration par parties : $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. On choisit $u = (x+1)^2$ pour simplifier après dérivation. Le terme $\int_0^1 2(x+1)e^x \, dx$ est $2I$ (déjà calculé). 2) a) On pose $y = e^{rx}$ et on obtient l'équation caractéristique $r^2 - 2r + 1 = 0$. Racine double : la solution générale est $(C_1 + C_2 x)e^{rx}$. 2) b) On reconnaît que $h(x) = (x+1)e^x$ a exactement la forme de la solution générale avec $C_1 = 1$, $C_2 = 1$. On vérifie les conditions initiales par substitution directe.
• NATIONAL 2022 · normale2 pts
  On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=(x+1)e^x$.

  1. a) Vérifier que $x\mapsto xe^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$, puis calculer $I=\displaystyle\int_0^1 h(x)\,dx$. b) À l'aide d'une intégration par parties, calculer…
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  1. a) $I=e$. b) $J=2-\dfrac{3}{e}$.
  2. a) Solutions de $(E)$ : $y=(ax+b)e^x$, $a,b\in\mathbb{R}$. b) $h(x)=(x+1)e^x$ est bien la solution particulière vérifiant les conditions initiales.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Dériver $x\mapsto xe^x$ : $(xe^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x=h(x)$, donc c'est une primitive. Ainsi $I=[xe^x]_0^1=1\cdot e^1-0=e$. b) Poser $u=x+1$, $dv=e^{-x}dx$ donc $du=dx$, $v=-e^{-x}$. $J=[-(x+1)e^{-x}]_0^1+\int_0^1 e^{-x}dx = (-2e^{-1}+1)+[-e^{-x}]_0^1 = 1-2e^{-1}+(1-e^{-1})=2-3e^{-1}=2-\dfrac{3}{e}$.
  2. a) L'équation caractéristique $r^2-2r+1=0$ a une racine double $r=1$, donc solution générale $y=(ax+b)e^x$. b) $h(x)=(x+1)e^x$ correspond à $a=1,b=1$. Vérifier $h(0)=1$ et $h'(x)=(x+2)e^x$ donc $h'(0)=2$, ce qui satisfait les conditions initiales, donc $h$ est bien la solution cherchée de $(E)$.
• NATIONAL 2021 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)=\int_0^x e^{-t^2} dt$ 0.5 1-a) Déterminer le signe de $F(x)$ en fonction de $x$ 1 b) Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer sa dérivée première $F'(x)$ 0.5 2-a) En utilisant la méthode…
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  1. a) La fonction $t \mapsto e^{-t^2}$ est continue et positive sur $\mathbb{R}$. Si $x > 0$, alors $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt > 0$. Si $x < 0$, alors $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt = -\int_x^0 e^{-t^2} dt < 0$. Si $x = 0$, alors $F(0) = 0$. b) La fonction $t \mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème fondamental de l'analyse, $F$ est la primitive de $e^{-x^2}$ qui s'annule en $0$. Donc $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée première est $F'(x) = e^{-x^2}$.
  2. a) L'énoncé de la question 2.a) est mal retranscrit. L'énoncé original est: "En utilisant la méthode d'intégration par partie, montrer que : $\int_0^1 x^2 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} - \int_0^1 F(x) dx$" Pour montrer cela, on utilise l'intégration par parties sur $\int_0^1 F(x) dx$. Soit $u(x) = F(x)$ et $v'(x) = 1$. Alors $u'(x) = F'(x) = e^{-x^2}$ et $v(x) = x$. $\int_0^1 F(x) dx = [x F(x)]_0^1 - \int_0^1 x e^{-x^2} dx = 1 \cdot F(1) - 0 \cdot F(0) - \int_0^1 x e^{-x^2} dx = F(1) - \int_0^1 x e^{-x^2} dx$. Ceci ne correspond pas à l'expression donnée. L'énoncé original de la question 2.a) est en fait: "En utilisant la méthode d'intégration par partie, montrer que :…

  ce que le barème veut ·

  1. a) Analyser le signe de l'intégrande $e^{-t^2}$. Déduire le signe de $F(x)$ en fonction de l'intervalle d'intégration $[0,x]$. b) Appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour déterminer la dérivabilité de $F$ et calculer $F'(x)$.
  2. a) (Correction de l'énoncé) Utiliser la substitution $u=-x^2$ pour calculer l'intégrale $\int_0^1 x e^{-x^2} dx$. b) (Correction de l'énoncé) Utiliser l'intégration par parties sur $\int_0^1 F(x) dx$ avec $u=F(x)$ et $dv=dx$. Utiliser le résultat de 2.a).
  3. a) (Correction de l'énoncé) La question est une vérification de la définition de $u_n$. b) (Correction de l'énoncé) La question est une vérification de la définition de $u_n$. c) Reconnaître la suite $u_n$ comme une somme de Riemann. Identifier la fonction et l'intervalle d'intégration. Calculer la limite en utilisant le résultat de 2.b).
• NATIONAL 2020 · normale4 pts
  On considère la fonction numérique $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par $g(x) = 2\sqrt{x} - 2 - \ln x$. 1)a) Montrer que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$, $g'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x}$. b) Montrer que $g$ est croissante sur $[1, +\infty[$. c) En déduire que pour tout $x$ de…
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  1)a) $g'(x) = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x} - 2 - \ln x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0 - \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x}-1}{x}$. b) Pour $x \in [1, +\infty[$, $x > 0$ et $\sqrt{x} \geq 1$, donc $\sqrt{x}-1 \geq 0$. Ainsi $g'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x} \geq 0$. Par conséquent, $g$ est croissante sur $[1, +\infty[$. c) Pour $x \in [1, +\infty[$, $g(x) \geq g(1)$. $g(1) = 2\sqrt{1} - 2 - \ln 1 = 2 - 2 - 0 = 0$. Donc $g(x) \geq 0$ pour $x \in [1, +\infty[$, ce qui signifie $2\sqrt{x} - 2 - \ln x \geq 0$. Cela implique $2\sqrt{x} - 2 \geq \ln x$. Puisque $2\sqrt{x} - 2 \leq 2\sqrt{x}$, on a $\ln x \leq 2\sqrt{x}$. De plus, pour $x \geq 1$, $\ln x \geq 0$. Donc $0 \leq \ln x \leq 2\sqrt{x}$. d) Pour $x \in [1, +\infty[$, on a $0 \leq \ln x \leq 2\sqrt{x}$. En élevant au carré, $0 \leq (\ln x)^2 \leq (2\sqrt{x})^2 = 4x$. En divisant par $x^2$ (qui est positif), $0 \leq \frac{(\ln x)^2}{x^2} \leq \frac{4x}{x^2} = \frac{4}{x}$. L'énoncé demande $0 \leq \frac{(\ln x)^2}{x^2} \leq \frac{8}{x\sqrt{x}}$. Il y a une légère différence avec ma déduction. Let's re-evaluate the inequality…

  ce que le barème veut ·

  1.a. Differentiate $g(x)$ with respect to $x$ and simplify the expression. 1.b. Analyze the sign of $g'(x)$ on the interval $[1, +\infty[$ to determine the monotonicity of $g$. 1.c. Use the result from 1.b ($g(x) \geq g(1)$) to establish the inequality for $\ln x$. 1.d. Use the inequality from 1.c to bound $\frac{(\ln x)^2}{x^2}$ and then apply the squeeze theorem to find the limit. 2.a. Differentiate $G(x)$ with respect to $x$ and show that $G'(x) = g(x)$. 2.b. Use the fundamental theorem of calculus to evaluate the definite integral using the primitive $G(x)$.