Espaces vectoriels

L'intuition

Imagine que tu es dans une ville où toutes les rues sont parfaitement droites et se croisent à angle droit. Pour aller d'un point A à un point B, tu peux te déplacer soit vers le nord/sud, soit vers l'est/ouest. Tu ne peux pas te déplacer en diagonale directement, mais tu peux simuler un déplacement en diagonale en combinant des mouvements nord/sud et est/ouest.

Maintenant, imagine que tu as des "instructions de mouvement" :

1. Avancer/Reculer : Tu peux avancer ou reculer sur une rue donnée. Si tu as une instruction "avance de 5 blocs vers l'est", tu peux aussi l'interpréter comme "recule de 5 blocs vers l'ouest". C'est la multiplication par un nombre réel (un scalaire).
2. Combiner des mouvements : Tu peux faire un mouvement vers l'est, puis un mouvement vers le nord. Le résultat est un déplacement combiné. C'est l'addition de vecteurs.

Un espace vectoriel, c'est un peu comme cette ville idéale. C'est un ensemble de "points" (qu'on appelle vecteurs) où tu peux faire ces deux types d'opérations : les additionner entre eux, et les "étirer" ou les "rétrécir" (multiplier par un nombre réel). Et ces opérations doivent se comporter de manière logique, comme dans la vraie vie : si tu vas de A à B puis de B à C, c'est comme si tu allais directement de A à C.

Les sous-espaces vectoriels sont comme des quartiers spéciaux dans cette ville. Par exemple, toutes les rues qui sont sur l'axe est-ouest forment un sous-espace. Si tu commences dans ce quartier et que tu ne fais que des mouvements est-ouest ou que tu combines des mouvements est-ouest, tu restes dans ce quartier.

Les familles libres sont des instructions de mouvement qui sont "indépendantes". Si tu as une instruction "aller vers l'est" et une autre "aller vers le nord", elles sont libres. Tu ne peux pas simuler "aller vers l'est" juste en utilisant des instructions "aller vers le nord". Par contre, si tu as "aller vers l'est" et "aller vers l'est deux fois plus vite", ces deux instructions ne sont pas libres, car la deuxième est juste un multiple de la première.

Les familles génératrices sont des instructions de mouvement qui te permettent d'atteindre n'importe quel point de la ville. Si tu as "aller vers l'est" et "aller vers le nord", tu peux atteindre n'importe quel point de la ville en combinant ces deux instructions.

Une base, c'est le meilleur ensemble d'instructions : elles sont indépendantes (libres) et te permettent d'aller partout (génératrices). C'est le minimum d'instructions indépendantes pour décrire toute la ville.

La dimension, c'est le nombre d'instructions indépendantes qu'il te faut pour décrire toute la ville. Dans notre ville 2D (est-ouest, nord-sud), il te faut 2 instructions. Si tu étais dans une ville en 3D (avec des ascenseurs pour monter/descendre), il te faudrait 3 instructions.

Le cours

I. Structure d'espace vectoriel réel

Un espace vectoriel réel est un ensemble non vide $E$ muni de deux lois :

1. Une loi de composition interne, appelée addition de vecteurs, notée $+$ : $\forall (u, v) \in E^2, u+v \in E$

2. Une loi de composition externe, appelée multiplication par un scalaire, notée $\cdot$ : $\forall (\lambda, u) \in \mathbb{R} \times E, \lambda \cdot u \in E$

Ces deux lois doivent vérifier les huit axiomes suivants :

Axiomes de l'addition :

1. Associativité : $\forall (u, v, w) \in E^3, (u+v)+w = u+(v+w)$
2. Commutativité : $\forall (u, v) \in E^2, u+v = v+u$
3. Existence d'un élément neutre : Il existe un vecteur $0_E \in E$ tel que $\forall u \in E, u+0_E = u$. Ce vecteur est appelé vecteur nul.
4. Existence d'un élément symétrique : $\forall u \in E$, il existe un vecteur $-u \in E$ tel que $u+(-u) = 0_E$. Ce vecteur est appelé l'opposé de $u$.

Axiomes de la multiplication par un scalaire : 5. Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2, \forall u \in E, (\lambda+\mu) \cdot u = \lambda \cdot u + \mu \cdot u$ 6. Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall (u, v) \in E^2, \lambda \cdot (u+v) = \lambda \cdot u + \lambda \cdot v$ 7. Associativité mixte : $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2, \forall u \in E, (\lambda \mu) \cdot u = \lambda \cdot (\mu \cdot u)$ 8. Élément neutre pour la multiplication : $\forall u \in E, 1 \cdot u = u$

Un ensemble $E$ muni de ces deux lois et vérifiant ces huit axiomes est appelé un espace vectoriel réel. Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs et les éléments de $\mathbb{R}$ sont appelés scalaires.

Exemples classiques d'espaces vectoriels :

• $\mathbb{R}^n$ (l'ensemble des $n$-uplets de nombres réels)
• L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$, $\mathbb{R}_n[X]$
• L'ensemble des fonctions continues sur un intervalle $[a,b]$, $C([a,b])$
• L'ensemble des matrices de taille $m \times n$, $M_{m,n}(\mathbb{R})$

II. Sous-espaces vectoriels

Soit $(E, +, \cdot)$ un espace vectoriel réel. Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si :

1. $F$ est non vide ($F \neq \emptyset$).
2. $F$ est stable par addition : $\forall (u, v) \in F^2, u+v \in F$.
3. $F$ est stable par multiplication par un scalaire : $\forall (\lambda, u) \in \mathbb{R} \times F, \lambda \cdot u \in F$.

Théorème (Caractérisation d'un sous-espace vectoriel) : Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :

1. $F \neq \emptyset$ (ou de manière équivalente, $0_E \in F$).
2. $\forall (u, v) \in F^2, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2, \lambda \cdot u + \mu \cdot v \in F$. (Ceci est la condition de stabilité par combinaison linéaire).

Démonstration :

• Sens direct ($\Rightarrow$) : Si $F$ est un sous-espace vectoriel, alors $F \neq \emptyset$. De plus, pour $u, v \in F$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, on a $\lambda \cdot u \in F$ et $\mu \cdot v \in F$ par stabilité par multiplication. Ensuite, $(\lambda \cdot u) + (\mu \cdot v) \in F$ par stabilité par addition.
• Sens réciproque ($\Leftarrow$) : Si les deux conditions sont vérifiées.
  • Puisque $F \neq \emptyset$, il existe $u \in F$. En prenant $\lambda = 0$ et $\mu = 0$, on a $0 \cdot u + 0 \cdot u = 0_E \in F$. Donc $F$ contient le vecteur nul.
  • Pour montrer la stabilité par addition, on prend $\lambda = 1$ et $\mu = 1$. Alors $1 \cdot u + 1 \cdot v = u+v \in F$.
  • Pour montrer la stabilité par multiplication par un scalaire, on prend $\mu = 0$. Alors $\lambda \cdot u + 0 \cdot v = \lambda \cdot u \in F$. Les trois conditions de la définition sont donc vérifiées.

Exemple : Vérifions si $G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / x=y\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.

1. 1

   1. Vérifier que $G$ est non vide (contient le vecteur nul).

   Le vecteur nul $(0,0,0)$ vérifie $x=y$ car $0=0$. Donc $(0,0,0) \in G$. $G$ est non vide.

2. 2

   2. Vérifier la stabilité par addition.

3. 3

   Par définition de $G$, on a $x_1=y_1$ et $x_2=y_2$.

4. 4

   $u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$.

5. 5

   On vérifie si la première composante est égale à la deuxième : $x_1+x_2 = y_1+y_2$ (car $x_1=y_1$ et $x_2=y_2$).

6. 6

   Donc $u+v \in G$.

7. 7

   3. Vérifier la stabilité par multiplication par un scalaire.

8. 8

   Par définition de $G$, on a $x=y$.

9. 9

   $\lambda u = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$.

10. 10

    On vérifie si la première composante est égale à la deuxième : $\lambda x = \lambda y$ (car $x=y$).

11. 11

    Donc $\lambda u \in G$.

12. 12

    Conclusion

Étape suivante

III. Familles de vecteurs

A. Combinaison linéaire

Soient $v_1, v_2, \dots, v_p$ des vecteurs d'un espace vectoriel $E$. Un vecteur $v \in E$ est une combinaison linéaire de ces vecteurs s'il existe des scalaires $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_p \in \mathbb{R}$ tels que :

$v = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_p v_p$

B. Famille génératrice

Une famille de vecteurs $(v_1, v_2, \dots, v_p)$ est une famille génératrice de $E$ si tout vecteur de $E$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille. Autrement dit, $\forall v \in E, \exists (\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p$ tels que $v = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p$.

L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires d'une famille $(v_1, \dots, v_p)$ est appelé le sous-espace vectoriel engendré par cette famille, noté $Vect(v_1, \dots, v_p)$. C'est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant tous les $v_i$. Si $(v_1, \dots, v_p)$ est une famille génératrice de $E$, alors $E = Vect(v_1, \dots, v_p)$.

C. Famille libre

Une famille de vecteurs $(v_1, v_2, \dots, v_p)$ est une famille libre si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui est égale au vecteur nul est celle où tous les scalaires sont nuls. Autrement dit :

$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_p v_p = 0_E \implies \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_p = 0$

Si une famille n'est pas libre, elle est dite liée. Dans une famille liée, au moins un vecteur peut s'écrire comme une combinaison linéaire des autres vecteurs.

Exemple : Dans $\mathbb{R}^3$, étudions la liberté de la famille $\big((1,0,1),(2,1,3)\big)$. Soient $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ tels que $\lambda_1 (1,0,1) + \lambda_2 (2,1,3) = (0,0,0)$. Ceci nous donne le système d'équations :

$\begin{cases} \lambda_1 + 2\lambda_2 = 0 \\ \lambda_2 = 0 \\ \lambda_1 + 3\lambda_2 = 0 \end{cases}$

De la deuxième équation, on a $\lambda_2 = 0$. En substituant $\lambda_2 = 0$ dans la première équation : $\lambda_1 + 2(0) = 0 \implies \lambda_1 = 0$. La troisième équation est aussi vérifiée : $0 + 3(0) = 0$. Puisque la seule solution est $\lambda_1 = 0$ et $\lambda_2 = 0$, la famille est libre.

D. Base d'un espace vectoriel

Une famille de vecteurs $(v_1, v_2, \dots, v_n)$ est une base de l'espace vectoriel $E$ si elle est à la fois :

1. Libre
2. Génératrice de $E$

Si une famille est une base, alors tout vecteur de $E$ s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de cette base. Les scalaires $\lambda_i$ sont appelés les coordonnées du vecteur dans cette base.

Exemple : La base canonique de $\mathbb{R}^n$ est la famille $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ où $e_i$ est le vecteur dont la $i$-ème composante est 1 et toutes les autres sont 0. Par exemple, pour $\mathbb{R}^3$, la base canonique est $((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))$.

IV. Dimension d'un espace vectoriel

Théorème fondamental : Si un espace vectoriel $E$ admet une base, alors toutes les bases de $E$ ont le même nombre de vecteurs.

Ce nombre unique est appelé la dimension de l'espace vectoriel $E$, notée $dim(E)$.

• Si $E = \{0_E\}$, alors $dim(E) = 0$.
• Si $E$ n'admet pas de base finie, on dit qu'il est de dimension infinie (ce cas n'est pas au programme du 2ème Bac SM).

Propriétés importantes de la dimension : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$.

1. Toute famille libre de $E$ a au plus $n$ vecteurs. Si elle a $n$ vecteurs, c'est une base de $E$.
2. Toute famille génératrice de $E$ a au moins $n$ vecteurs. Si elle a $n$ vecteurs, c'est une base de $E$.
3. De toute famille génératrice de $E$, on peut extraire une base de $E$.
4. Toute famille libre de $E$ peut être complétée en une base de $E$.

Dimension d'un sous-espace vectoriel : Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $dim(F) \le dim(E)$. Si $dim(F) = dim(E)$, alors $F=E$.

Exemple : Donner la dimension du sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ engendré par les vecteurs $u=(1,2,0)$ et $v=(2,4,0)$. Soit $F = Vect(u,v)$. On remarque que $v = 2u$. Les vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires, donc la famille $(u,v)$ est liée. Puisque $u \neq (0,0,0)$, la famille $(u)$ est libre. De plus, $F = Vect(u,v) = Vect(u)$. La famille $(u)$ est libre et génératrice de $F$. C'est donc une base de $F$. Le nombre de vecteurs dans cette base est 1. Donc $dim(F) = 1$.

Exemple résolu

Extrait d'annale : Soit $G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / x=y\}$. Soient $u=(1,1,0) \in G$ et $v=(2,2,1) \in G$. Vérifier si le vecteur $u+v$ appartient à $G$.

1. 1

   1. Calculer le vecteur $u+v$.

   $u+v = (1+2, 1+2, 0+1) = (3,3,1)$.

2. 2

   2. Vérifier si $u+v$ satisfait la condition de $G$.

3. 3

   Pour $u+v=(3,3,1)$, la première composante est 3 et la deuxième est 3.

4. 4

   On a bien $3=3$.

5. 5

   3. Conclure.

Étape suivante

Extrait d'annale : Donner la dimension du sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ engendré par les vecteurs $u=(1,2,0)$ et $v=(2,4,0)$.

1. 1

   1. Définir le sous-espace vectoriel.

   Soit $F = Vect(u,v)$ le sous-espace vectoriel engendré par $u$ et $v$.

2. 2

   2. Étudier la liberté de la famille $(u,v)$.

3. 3

   $\lambda_1 (1,2,0) + \lambda_2 (2,4,0) = (0,0,0)$

4. 4

   Ceci donne le système :

5. 5

   $\begin{cases} \lambda_1 + 2\lambda_2 = 0 \\ 2\lambda_1 + 4\lambda_2 = 0 \\ 0\lambda_1 + 0\lambda_2 = 0 \end{cases}$

6. 6

   La troisième équation est toujours vraie.

7. 7

   La première équation est $\lambda_1 = -2\lambda_2$.

8. 8

   Substituons dans la deuxième : $2(-2\lambda_2) + 4\lambda_2 = 0 \implies -4\lambda_2 + 4\lambda_2 = 0 \implies 0=0$.

9. 9

   Le système a une infinité de solutions. Par exemple, si on prend $\lambda_2 = 1$, alors $\lambda_1 = -2$.

10. 10

    Donc $-2u + 1v = (0,0,0)$.

11. 11

    La famille $(u,v)$ est liée.

12. 12

    3. Trouver une base de $F$.

13. 13

    Cependant, $u \neq (0,0,0)$, donc la famille $(u)$ est libre.

14. 14

    De plus, comme $v = 2u$, tout vecteur de $F$ qui est une combinaison linéaire de $u$ et $v$ peut s'écrire :

15. 15

    $w = \alpha u + \beta v = \alpha u + \beta (2u) = (\alpha + 2\beta) u$.

16. 16

    Donc $F = Vect(u)$.

17. 17

    La famille $(u)$ est libre et génératrice de $F$. C'est donc une base de $F$.

18. 18

    4. Déterminer la dimension.

19. 19

    Donc $dim(F) = 1$.

Étape suivante

Extrait d'annale : Dans $\mathbb{R}^3$, étudier la liberté de la famille $\big((1,0,1),(2,1,3)\big)$.

1. 1

   1. Poser la combinaison linéaire nulle.

   Soient $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ tels que $\lambda_1 (1,0,1) + \lambda_2 (2,1,3) = (0,0,0)$.

2. 2

   2. Écrire le système d'équations.

3. 3

   $\begin{cases} \lambda_1 + 2\lambda_2 = 0 \quad (L_1) \\ 0\lambda_1 + 1\lambda_2 = 0 \quad (L_2) \\ 1\lambda_1 + 3\lambda_2 = 0 \quad (L_3) \end{cases}$

4. 4

   3. Résoudre le système.

5. 5

   Substituons $\lambda_2 = 0$ dans $(L_1)$ : $\lambda_1 + 2(0) = 0 \implies \lambda_1 = 0$.

6. 6

   Vérifions avec $(L_3)$ : $0 + 3(0) = 0$, ce qui est vrai.

7. 7

   4. Conclure sur la liberté.

8. 8

   Par définition, la famille $\big((1,0,1),(2,1,3)\big)$ est libre.

Étape suivante

La méthode

Pour chaque type de question, voici la démarche attendue.

Pour montrer qu'un ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$

1. Vérifier que $F$ est non vide : Montre que le vecteur nul $0_E$ appartient à $F$. C'est souvent la vérification la plus simple.
2. Vérifier la stabilité par combinaison linéaire :
   • Prends deux vecteurs $u$ et $v$ quelconques dans $F$.
   • Prends deux scalaires $\lambda$ et $\mu$ quelconques dans $\mathbb{R}$.
   • Calcule la combinaison linéaire $\lambda u + \mu v$.
   • Montre que ce nouveau vecteur $\lambda u + \mu v$ satisfait la (ou les) condition(s) de $F$.

Pour étudier la liberté d'une famille de vecteurs $(v_1, \dots, v_p)$

1. Poser la combinaison linéaire nulle : Écris l'équation $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p = 0_E$.
2. Traduire en système d'équations : Remplace les vecteurs par leurs composantes et écris le système linéaire homogène correspondant.
3. Résoudre le système : Utilise les méthodes de résolution de systèmes (substitution, pivot de Gauss, etc.).
4. Conclure :
   • Si la seule solution est $\lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0$, alors la famille est libre.
   • Si tu trouves des solutions avec au moins un $\lambda_i \neq 0$, alors la famille est liée. Dans ce cas, tu peux exprimer un vecteur en fonction des autres.

Pour trouver une base et la dimension d'un sous-espace vectoriel $F = Vect(v_1, \dots, v_p)$

1. Écrire les vecteurs sous forme de colonnes (ou lignes) d'une matrice : Cela peut aider à visualiser les dépendances.
2. Réduire la famille génératrice :
   • Si un vecteur est le vecteur nul, retire-le.
   • Si un vecteur est une combinaison linéaire des autres, retire-le. La méthode la plus efficace est de former un système pour tester la liberté.
   • Continue jusqu'à obtenir une famille libre.
3. Vérifier que la famille réduite est génératrice : Par construction, si tu as retiré des vecteurs qui étaient combinaisons linéaires des autres, la famille restante engendre le même sous-espace.
4. Conclure : La famille libre et génératrice obtenue est une base de $F$. Le nombre de vecteurs dans cette base est la dimension de $F$.

Pièges classiques

1. Oublier de vérifier que $F$ est non vide (ou que $0_E \in F$) : C'est une condition nécessaire et souvent la plus rapide à vérifier. Si $0_E \notin F$, $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel, et tu n'as pas besoin de vérifier les autres conditions.
   • Exemple : $F = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / x+y=1\}$. Le vecteur nul $(0,0)$ ne vérifie pas $0+0=1$. Donc $(0,0) \notin F$. $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel.
2. Confondre "famille libre" et "famille génératrice" :
   • Une famille libre ne contient pas de "redondance" (aucun vecteur n'est combinaison linéaire des autres).
   • Une famille génératrice "couvre" tout l'espace.
   • Une base fait les deux.
3. Penser qu'une famille de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ est forcément une base : C'est vrai si elle est libre ou si elle est génératrice. Mais pas forcément les deux.
   • Contre-exemple : Dans $\mathbb{R}^2$ (dimension 2), la famille $((1,0), (2,0))$ a 2 vecteurs. Elle n'est pas libre (car $(2,0) = 2 \cdot (1,0)$) et n'est pas génératrice de $\mathbb{R}^2$ (elle n'engendre qu'une droite).
4. Erreurs de calcul lors de la résolution de systèmes : Une petite erreur peut te faire conclure à tort qu'une famille est libre alors qu'elle est liée, ou inversement. Sois rigoureux.
5. Ne pas comprendre le lien entre dimension et nombre de vecteurs :
   • Dans un espace de dimension $n$, tu ne peux pas avoir plus de $n$ vecteurs libres.
   • Dans un espace de dimension $n$, tu as besoin d'au moins $n$ vecteurs pour le générer.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des espaces vectoriels est généralement évalué dans la partie "Algèbre & Géométrie" de l'examen national, avec une pondération d'environ 5% du total. Il est souvent combiné avec d'autres structures algébriques (groupes, anneaux, corps) ou des questions sur les nombres complexes.

Format des questions : Les questions sont généralement directes et visent à tester l'application des définitions et propriétés fondamentales.

1. Vérification de sous-espace vectoriel :

   • "Soit $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / x=y\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$."
   • Barème : 0.75 à 1 point. (0.25 pour $0_E \in F$, 0.25 pour stabilité par addition, 0.25 pour stabilité par multiplication scalaire).

2. Étude de liberté d'une famille :

   • "Dans $\mathbb{R}^3$, étudier la liberté de la famille $\big((1,0,1),(2,1,3)\big)$."
   • Barème : 0.5 à 0.75 point. (0.25 pour la mise en place du système, 0.25 pour la résolution, 0.25 pour la conclusion).

3. Détermination d'une base et de la dimension d'un sous-espace engendré :

   • "Donner la dimension du sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ engendré par les vecteurs $u=(1,2,0)$ et $v=(2,4,0)$."
   • Barème : 0.75 à 1 point. (0.25 pour l'étude de la dépendance linéaire, 0.25 pour l'identification de la base, 0.25 pour la dimension).

4. Vérification d'appartenance à un sous-espace :

   • "Soit $G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / x=y\}$. Soient $u=(1,1,0) \in G$ et $v=(2,2,1) \in G$. Vérifier si le vecteur $u+v$ appartient à $G$."
   • Barème : 0.25 à 0.5 point. (0.25 pour le calcul de $u+v$, 0.25 pour la vérification de la condition).

Conseils pour l'examen :

• Maîtrise des définitions : Connais par cœur les définitions d'espace vectoriel, sous-espace vectoriel, famille libre, famille génératrice, base et dimension.
• Rigueur dans la rédaction : Chaque étape doit être justifiée. Ne saute pas d'étapes, surtout pour la résolution de systèmes.
• Pratique des systèmes linéaires : La résolution de systèmes d'équations est une compétence clé pour ce chapitre. Entraîne-toi à les résoudre rapidement et sans erreur.
• Exemples classiques : Sois à l'aise avec $\mathbb{R}^n$ et les polynômes.
• Attention aux pièges : Vérifie toujours le vecteur nul pour les sous-espaces.