Calcul intégral

L'intuition

Imagine que tu conduis une voiture. Ton compteur de vitesse te donne la vitesse instantanée à chaque moment. C'est comme la fonction dérivée. Maintenant, si tu veux savoir la distance totale que tu as parcourue, tu ne peux pas juste regarder la vitesse à un instant donné. Tu dois "additionner" toutes les petites distances parcourues à chaque instant. L'intégrale, c'est exactement ça : c'est l'outil mathématique qui te permet de remonter de la vitesse à la distance, ou plus généralement, de la dérivée à la fonction originale, et de calculer des "sommes continues", comme des aires ou des volumes.

Pense à un champ de blé. Si tu veux savoir combien de blé tu as récolté, tu ne vas pas mesurer chaque grain. Tu vas plutôt estimer la surface du champ et la hauteur moyenne des épis. L'intégrale te permet de calculer cette "surface" même si le bord du champ n'est pas une ligne droite, ou si la hauteur des épis varie.

Le cours

I. Primitives d'une fonction

1. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

2. Propriétés des primitives

• Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ est donné par $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle arbitraire.
• Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors $f$ admet des primitives sur $I$.
• Si $F$ et $G$ sont deux primitives de la même fonction $f$ sur $I$, alors leur différence est une constante sur $I$, c'est-à-dire $F(x) - G(x) = C$.
• Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$ sur $I$, alors :
  • $F+G$ est une primitive de $f+g$.
  • Pour tout réel $\lambda$, $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$.

3. Tableau des primitives usuelles

Il est crucial de connaître par cœur les primitives des fonctions usuelles. C'est l'inverse de la dérivation.

II. Calcul intégral

1. Définition de l'intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a, b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$, notée $\int_a^b f(x) dx$, est le nombre réel $F(b) - F(a)$. On note souvent $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.

L'intégrale $\int_0^\pi \sin(x) dx$ représente l'aire sous la courbe de $\sin(x)$ entre $0$ et $\pi$.

2. Propriétés de l'intégrale

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, et $a, b, c$ des réels de $I$.

• Linéarité :
  • $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
  • $\int_a^b \lambda f(x) dx = \lambda \int_a^b f(x) dx$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$
• Relation de Chasles : $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$
• Inversion des bornes : $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$
• Intégrale nulle : $\int_a^a f(x) dx = 0$

3. Intégration par parties (IPP)

L'intégration par parties est une technique fondamentale pour calculer des intégrales de produits de fonctions. Elle découle de la formule de dérivation d'un produit.

Théorème : Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a, b]$ et dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a, b]$. Alors :

$\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$

Pour appliquer cette formule, il faut choisir judicieusement $u'(x)$ et $v(x)$. Une astuce courante est la règle "IPES" (Inverse, Poly, Expo, Sin/Cos) ou "LIATE" (Log, Inverse trig, Alg, Trig, Expo) pour choisir $v(x)$ (la fonction qui sera dérivée) dans cet ordre de priorité. La fonction $u'(x)$ (qui sera intégrée) est alors la fonction restante. L'idée est de rendre la nouvelle intégrale $\int_a^b u(x)v'(x) dx$ plus simple à calculer que l'originale.

4. Changement de variable

Le changement de variable est une autre technique puissante pour simplifier des intégrales, surtout quand l'intégrande est une composition de fonctions.

Théorème : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $J$ et $\varphi$ une fonction de classe $C^1$ (dérivable et de dérivée continue) sur un intervalle $I$ telle que $\varphi(I) \subset J$. Alors pour tout $a, b \in I$ :

$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t) dt = \int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x) dx$

En pratique, on pose $t = \varphi(x)$. Alors $dt = \varphi'(x) dx$. Il faut aussi changer les bornes de l'intégrale : si $x$ varie de $a$ à $b$, alors $t$ varie de $\varphi(a)$ à $\varphi(b)$.

III. Applications du calcul intégral

1. Calcul d'aires

• Aire sous une courbe : Si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a, b]$, l'aire $\mathcal{A}$ de la région délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est donnée par : $\mathcal{A} = \int_a^b f(x) dx$

• Aire entre deux courbes : Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a, b]$, l'aire $\mathcal{A}$ de la région délimitée par les courbes de $f$ et $g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est donnée par : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$

  Si $f(x) \ge g(x)$ sur $[a, b]$, alors $\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$.

2. Calcul de volumes de solides de révolution

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a, b]$. Le volume $\mathcal{V}$ du solide de révolution engendré par la rotation de la région délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ autour de l'axe des abscisses est donné par :

$\mathcal{V} = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx$

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : On considère la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $[1, +\infty[$ par :

$g(1) = 0 \quad \text{et} \quad \forall x > 1 \; ; \; g(x) = \int_1^x \frac{t - 1}{t^2 \ln t} \, dt$

Soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1- a) Vérifier que : $\forall x > 1 \; ; \; \int_1^x \frac{1}{t \ln t} \, dt = \ln(\ln x)$

Solution 1- a) : On veut calculer $\int_1^x \frac{1}{t \ln t} \, dt$. On remarque que l'intégrande est de la forme $\frac{u'(t)}{u(t)}$ si on pose $u(t) = \ln t$. En effet, $u'(t) = \frac{1}{t}$. Donc, une primitive de $\frac{1}{t \ln t}$ est $\ln|\ln t|$. Puisque $x > 1$, $\ln x > 0$, donc $\ln|\ln x| = \ln(\ln x)$.

$\int_1^x \frac{1}{t \ln t} \, dt = [\ln(\ln t)]_1^x$

$= \ln(\ln x) - \ln(\ln 1)$

Or $\ln 1 = 0$, et $\ln 0$ n'est pas défini. Il y a une erreur dans l'énoncé ou une subtilité. L'intégrale $\int_1^x \frac{1}{t \ln t} \, dt$ diverge en $t=1$. Correction de l'énoncé (hypothèse) : L'énoncé réel d'annale doit avoir une borne inférieure différente de 1, ou une autre fonction. Si on suppose que la borne inférieure est $e$ par exemple, alors :

$\int_e^x \frac{1}{t \ln t} \, dt = [\ln(\ln t)]_e^x = \ln(\ln x) - \ln(\ln e) = \ln(\ln x) - \ln(1) = \ln(\ln x) - 0 = \ln(\ln x)$

Si l'énoncé est tel quel, il y a un problème de définition de l'intégrale en $t=1$ car $\ln t \to 0$ quand $t \to 1^+$. Pour l'examen, si tu rencontres une telle situation, signale-le au surveillant et explique le problème dans ta copie. En supposant que l'intégrale est bien définie et que le résultat est attendu : La primitive de $\frac{1}{t \ln t}$ est $\ln(|\ln t|)$. Si l'intégrale était $\int_a^x \frac{1}{t \ln t} \, dt$ avec $a>1$, alors $[\ln(\ln t)]_a^x = \ln(\ln x) - \ln(\ln a)$. L'énoncé original est probablement une erreur de transcription ou une simplification pour un autre contexte. Reprenons avec l'énoncé tel qu'il est, en supposant que la question est mal posée ou que l'intégrale est impropre et que le résultat est donné comme une "primitive formelle". On nous demande de "vérifier que". Cela signifie que le résultat est donné. On sait que $(\ln(\ln x))' = \frac{(\ln x)'}{\ln x} = \frac{1/x}{\ln x} = \frac{1}{x \ln x}$. Donc, $\int \frac{1}{t \ln t} dt = \ln(\ln t) + C$. Si l'énoncé sous-entend une limite ou une intégrale impropre, cela dépasse le cadre habituel du Bac. La meilleure approche est de montrer que la dérivée du membre de droite est l'intégrande. Soit $F(x) = \ln(\ln x)$. $F'(x) = \frac{1}{\ln x} \times (\ln x)' = \frac{1}{\ln x} \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}$. Ceci correspond bien à l'intégrande. Donc, $\ln(\ln x)$ est une primitive de $\frac{1}{x \ln x}$. L'égalité $\int_1^x \frac{1}{t \ln t} \, dt = \ln(\ln x)$ est problématique à cause de la borne $1$. Si on suppose que l'énoncé veut dire que $\ln(\ln x)$ est LA primitive qui s'annule en une certaine valeur (par exemple, si la borne inférieure était $e$), alors la vérification est valide. Dans un examen, si tu vois ça, tu peux écrire : "La fonction $t \mapsto \frac{1}{t \ln t}$ a pour primitive $\ln(\ln t)$. L'intégrale $\int_1^x \frac{1}{t \ln t} \, dt$ est une intégrale impropre en $1$. Si on considère la fonction $F(x) = \ln(\ln x)$, alors $F'(x) = \frac{1}{x \ln x}$."

La méthode

Voici les étapes clés pour résoudre les exercices d'intégration :

1. Déterminer des primitives

1. 1

   Identifier la forme de la fonction

   Est-ce une fonction usuelle ? Une forme $u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$, etc. ?

2. 2

   Appliquer la formule de primitive correspondante

3. 3

   Ajouter la constante d'intégration $C$

Étape suivante

2. Calculer une intégrale définie

1. 1

   Trouver une primitive $F(x)$ de la fonction $f(x)$

   Utilise les techniques de détermination de primitives.

2. 2

   Évaluer la primitive aux bornes

3. 3

   Calculer la différence

Étape suivante

3. Intégration par parties

1. 1

   Choisir $u(x)$ et $v'(x)$

   La règle LIATE/IPES peut aider. $v(x)$ est la fonction la plus facile à dériver, $u'(x)$ la plus facile à intégrer.

2. 2

   Calculer $u'(x)$ et $v(x)$

3. 3

   Appliquer la formule

4. 4

   Calculer la nouvelle intégrale

Étape suivante

4. Changement de variable

1. 1

   Choisir le changement de variable $t = \varphi(x)$

   Cherche une partie de l'intégrande qui, une fois substituée, simplifie l'expression.

2. 2

   Calculer $dt$ en fonction de $dx$

3. 3

   Changer les bornes de l'intégrale

4. 4

   Substituer dans l'intégrale

5. 5

   Calculer la nouvelle intégrale

Étape suivante

5. Calcul d'aires et de volumes

1. 1

   Identifier la fonction(s) et l'intervalle

   Détermine $f(x)$ (et $g(x)$) et les bornes $a, b$.

2. 2

   Déterminer le signe de la fonction (pour l'aire) ou la relation entre les fonctions

3. 3

   Appliquer la formule appropriée

4. 4

   Calculer l'intégrale

Étape suivante

Pièges classiques

• Oublier la constante $C$ : Lors du calcul d'une primitive, l'omission de la constante $C$ est une erreur fréquente. Pour les intégrales définies, elle s'annule, mais pour les primitives indéfinies, elle est essentielle.
• Erreur de signe : Les signes sont une source majeure d'erreurs, surtout avec les fonctions trigonométriques ou lors de l'intégration par parties.
  • Exemple : $\int \sin x dx = -\cos x + C$, pas $\cos x + C$.
• Mauvais choix pour l'IPP : Un mauvais choix de $u(x)$ et $v'(x)$ peut rendre l'intégrale plus complexe au lieu de la simplifier.
  • Contre-exemple : Pour $\int x \ln x dx$, si tu choisis $u'(x) = \ln x$ et $v(x) = x$, l'intégration de $\ln x$ est déjà complexe. Le bon choix est $v(x) = \ln x$ et $u'(x) = x$.
• Oublier de changer les bornes : Lors d'un changement de variable, si l'intégrale est définie, il faut impérativement changer les bornes de l'intégrale pour qu'elles correspondent à la nouvelle variable.
• Confondre aire et intégrale : L'intégrale peut être négative si la fonction est sous l'axe des abscisses. L'aire est toujours positive, d'où l'utilisation de la valeur absolue : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$.
• Erreurs de calcul : Les calculs de primitives et les évaluations aux bornes peuvent être longs et propices aux erreurs d'arithmétique. Sois méthodique et vérifie chaque étape.

Ce qui tombe à l'examen

Le calcul intégral est un pilier de l'analyse et représente une part significative de l'examen. Voici les formats de questions les plus courants et les attentes du correcteur :

• Calcul de primitives (40% de l'évaluation du chapitre) :

  • On te demandera de trouver une primitive d'une fonction donnée, souvent une combinaison de fonctions usuelles ou une forme $u'u^n$, $u'/u$, etc.
  • Parfois, on te demandera la primitive qui prend une valeur spécifique en un point donné (par exemple, $F(1)=0$). Cela permet de déterminer la constante $C$.
  • Attendu : Application directe des formules, identification correcte des formes composées.

• Calcul d'intégrales définies (40% de l'évaluation du chapitre) :

  • Intégration par parties (IPP) : C'est une technique très fréquente. Tu devras l'appliquer pour des produits de fonctions (ex: $x e^x$, $x \ln x$, $e^x \cos x$). Le choix de $u$ et $v'$ est crucial et sera évalué.
    • Extrait d'annale : "Calculer $\int_0^1 x e^x dx$."
    • Barème : Identification correcte de $u$ et $v'$ (0.5 pt), application de la formule (0.5 pt), calcul de la nouvelle intégrale (0.5 pt), résultat final (0.25 pt).
  • Changement de variable : Moins fréquent que l'IPP, mais tout aussi important. Il s'applique souvent quand l'intégrande est une composition de fonctions.
    • Extrait d'annale : "Calculer $\int_0^1 \frac{e^x}{e^x+1} dx$ en posant $u = e^x+1$."
    • Barème : Définition du changement de variable et de $du$ (0.5 pt), changement des bornes (0.25 pt), calcul de la nouvelle intégrale (0.5 pt), résultat final (0.25 pt).
  • Combinaison de techniques : Parfois, une intégrale nécessite plusieurs étapes, par exemple une IPP suivie d'un changement de variable, ou plusieurs IPP successives.
  • Attendu : Maîtrise des techniques, rigueur dans les calculs et la notation.

• Applications géométriques (20% de l'évaluation du chapitre) :

  • Calcul d'aires : On te demandera de calculer l'aire d'une région délimitée par une ou plusieurs courbes. Il faut bien identifier les bornes d'intégration et la fonction "supérieure" et "inférieure".
    • Extrait d'annale : "Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de $f(x)=x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=2$."
    • Barème : Écriture de l'intégrale correcte (0.5 pt), calcul de l'intégrale (0.75 pt), résultat avec unité (0.25 pt).
  • Calcul de volumes de solides de révolution : Moins fréquent que les aires, mais possible. La formule $\pi \int_a^b (f(x))^2 dx$ est à connaître.
    • Extrait d'annale : "Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe de $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0,4]$ autour de l'axe des abscisses."
    • Barème : Écriture de la formule avec $\pi$ et le carré de la fonction (0.5 pt), calcul de l'intégrale (0.75 pt), résultat avec unité (0.25 pt).
  • Attendu : Compréhension de la relation entre intégrale et géométrie, application correcte des formules.

Conseil pour l'examen : La rédaction est très importante. Chaque étape de calcul doit être claire et justifiée. N'hésite pas à écrire les formules utilisées (IPP, changement de variable) avant de les appliquer. Vérifie tes calculs, surtout les signes et les bornes.