Fonctions logarithmes

L'intuition

Imagine que tu as une machine qui transforme des nombres. Cette machine, c'est la fonction exponentielle $e^x$. Elle prend un nombre $x$ et te donne $e^x$. C'est une machine qui grossit très vite les nombres positifs et les rend très petits (mais toujours positifs) pour les nombres négatifs.

La fonction logarithme népérien, $\ln(x)$, c'est la machine inverse. Si tu as un nombre $y$ qui est le résultat de $e^x$, alors $\ln(y)$ te redonne le $x$ de départ. C'est comme si tu voulais savoir quelle puissance de $e$ il faut pour obtenir un certain nombre. Par exemple, si $e^x = 7,389$, alors $\ln(7,389) = x$.

Le $\ln(x)$ ne peut pas prendre n'importe quel nombre. Puisque $e^x$ est toujours positif, $\ln(x)$ ne peut être calculé que pour des nombres strictement positifs. C'est la première chose à retenir : le domaine de définition de $\ln(x)$ est $]0, +\infty[$.

Le cours

Définition et propriétés fondamentales

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $x \mapsto e^x$. Elle est définie sur $]0, +\infty[$.

Pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ :

1. $y = \ln(x) \iff x = e^y$
2. $\ln(e) = 1$
3. $\ln(1) = 0$
4. $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$
5. $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et pour tout $n \in \mathbb{Z}$ :

1. $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
2. $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
3. $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$
4. $\ln(a^n) = n \ln(a)$
5. $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$

Ces propriétés sont cruciales pour simplifier les expressions et résoudre les équations.

Étude de la fonction $\ln(x)$

Dérivée

La fonction $\ln(x)$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et sa dérivée est : $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $\ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

Sens de variation

Puisque pour tout $x > 0$, $\frac{1}{x} > 0$, la fonction $\ln(x)$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

Limites usuelles

Ces limites sont fondamentales et sont souvent utilisées dans les exercices de croissance comparée.

1. $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
2. $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
3. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$ (croissance comparée)
4. $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$ (croissance comparée)
5. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
6. $\lim_{x \to e} \frac{\ln(x)-1}{x-e} = \frac{1}{e}$ (dérivée de $\ln(x)$ en $e$)

Logarithme de base $a$

Pour tout $a > 0$ et $a \neq 1$, la fonction logarithme de base $a$, notée $\log_a(x)$, est définie par : $\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$

Propriétés :

1. $\log_a(a) = 1$
2. $\log_a(1) = 0$
3. $\log_a(x^n) = n \log_a(x)$
4. $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
5. $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$

La dérivée de $\log_a(x)$ est $(\log_a(x))' = \frac{1}{x \ln(a)}$.

Le logarithme décimal, noté $\log(x)$ ou $\log_{10}(x)$, est un cas particulier où $a=10$. $\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$

Exemple résolu

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]-\infty, 1]$ par : $f(x) = \ln(1-x)$.

1. a) Montrer que la fonction $f$ est continue sur $I$. b) Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. c) Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ et $f(0)$. d) Interpréter graphiquement les résultats obtenus. e) Donner le tableau de variations de $f$.

--- Corrigé détaillé ---

1. a) Continuité : La fonction $x \mapsto 1-x$ est une fonction affine, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur $I = ]-\infty, 1]$. Pour tout $x \in I$, $1-x > 0$. La fonction $\ln(X)$ est continue sur $]0, +\infty[$. Puisque $x \mapsto 1-x$ est continue sur $I$ et que $1-x > 0$ sur $I$, et que $\ln$ est continue sur $]0, +\infty[$, alors par composition, $f(x) = \ln(1-x)$ est continue sur $I$.

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      1. Identifier les fonctions composantes

      $u(x) = 1-x$ et $v(X) = \ln(X)$.

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      2. Vérifier la continuité de chaque composante

   3. 3

      3. Vérifier que l'image de l'intervalle par la fonction intérieure est dans le domaine de la fonction extérieure

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      4. Conclure par composition

   Étape suivante

   Note sur l'énoncé : Si $I = ]-\infty, 1]$, alors $f(1) = \ln(0)$ n'est pas défini. Il est probable que l'intervalle soit $I = ]-\infty, 1[$. Nous allons continuer avec $I = ]-\infty, 1[$.

2. b) Sens de variation : La fonction $f$ est de la forme $\ln(u(x))$ avec $u(x) = 1-x$. $u'(x) = -1$. Pour $x \in ]-\infty, 1[$, $u(x) = 1-x > 0$. La dérivée de $f(x)$ est $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{-1}{1-x}$. Pour $x \in ]-\infty, 1[$, $1-x > 0$, donc $\frac{-1}{1-x} < 0$. Puisque $f'(x) < 0$ sur $I$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

3. c) Calcul des limites et de $f(0)$ :

   • $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \ln(1-x)$ Posons $X = 1-x$. Quand $x \to -\infty$, $X \to +\infty$. Donc $\lim_{x \to -\infty} \ln(1-x) = \lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty$.

   • $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \ln(1-x)$ Posons $X = 1-x$. Quand $x \to 1^-$, $X \to 0^+$. Donc $\lim_{x \to 1^-} \ln(1-x) = \lim_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty$.

   • $f(0) = \ln(1-0) = \ln(1) = 0$.

4. d) Interprétation graphique :

   • $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ signifie que la droite d'équation $x=1$ est une asymptote verticale à la courbe $(C)$ de $f$.
   • $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ ne donne pas d'asymptote horizontale. Il pourrait y avoir une branche parabolique.

5. e) Tableau de variations :

La méthode

Voici les gestes types que tu dois maîtriser pour les fonctions logarithmes.

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ :

   • L'argument du $\ln$ doit toujours être strictement positif.
   • Si $f(x) = \ln(u(x))$, alors tu dois résoudre l'inéquation $u(x) > 0$.
   • N'oublie pas les autres contraintes (dénominateur non nul, racine carrée positive, etc.).
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      1. Identifier l'argument du logarithme

      Soit $f(x) = \ln(x^2-4)$. L'argument est $u(x) = x^2-4$.

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      2. Poser l'inéquation $u(x) > 0$

   3. 3

      3. Résoudre l'inéquation

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      4. Conclure sur $D_f$

   Étape suivante

2. Calculer la dérivée :

   • Utilise la formule $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
   • Assure-toi que $u(x)$ est dérivable et strictement positive sur l'intervalle d'étude.

3. Calculer les limites :

   • En $+\infty$ et aux bornes du domaine.
   • Utilise les limites usuelles et les croissances comparées.
   • N'hésite pas à faire un changement de variable si l'argument du $\ln$ est complexe.

4. Résoudre des équations ou inéquations avec $\ln$ :

   • Équations : $\ln(A) = \ln(B) \iff A=B$ (avec $A>0, B>0$). $\ln(A) = k \iff A = e^k$ (avec $A>0$).
   • Inéquations : $\ln(A) < \ln(B) \iff A < B$ (avec $A>0, B>0$ car $\ln$ est croissante). $\ln(A) > k \iff A > e^k$ (avec $A>0$).
   • Toujours commencer par déterminer l'ensemble de validité des expressions (les arguments des $\ln$ doivent être positifs).
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      1. Déterminer l'ensemble de validité

      Pour $\ln(x-1) + \ln(x+1) = \ln(3)$, il faut $x-1 > 0$ et $x+1 > 0$, donc $x > 1$. L'ensemble de validité est $]1, +\infty[$.

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      2. Appliquer les propriétés du $\ln$

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      3. Résoudre l'équation

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      4. Vérifier les solutions par rapport à l'ensemble de validité

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      5. Conclure

   Étape suivante

Pièges classiques

1. Domaine de définition : C'est l'erreur la plus fréquente. L'argument du $\ln$ doit être strictement positif.

   • Exemple : $f(x) = \ln(x^2)$. Le domaine n'est pas $\mathbb{R}^*$ mais $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, car $x^2 > 0$ pour tout $x \neq 0$.
   • Contre-exemple : $f(x) = \ln(x^2)$ est définie pour $x \neq 0$. Si tu écris $2\ln(x)$, tu restreins le domaine à $x>0$. Attention ! $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$.

2. Croissance comparée : Ne pas confondre les limites.

   • $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (le $x$ l'emporte sur le $\ln(x)$).
   • $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$ (le $x$ l'emporte sur le $\ln(x)$).
   • Contre-exemple : $\lim_{x \to +\infty} x \ln(x) = +\infty \times +\infty = +\infty$.

3. Simplification des expressions :

   • $\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)$.
   • $(\ln(x))^2 \neq \ln(x^2)$.
   • Contre-exemple : $\ln(1+1) = \ln(2) \approx 0.69$. $\ln(1) + \ln(1) = 0+0 = 0$.

4. Dérivation : Oublier la règle de la chaîne.

   • $(\ln(2x+1))' = \frac{2}{2x+1}$, pas $\frac{1}{2x+1}$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des fonctions logarithmes est un pilier de l'analyse et est systématiquement évalué. Il représente environ 7% de la note finale.

Format des questions :

• Étude complète de fonction : C'est le grand classique. Tu auras une fonction $f(x)$ impliquant $\ln(x)$ et tu devras :

  • Déterminer son ensemble de définition.
  • Calculer les limites aux bornes du domaine.
  • Calculer la dérivée et étudier son signe pour en déduire le tableau de variations.
  • Étudier les branches infinies (asymptotes verticales, horizontales, obliques, branches paraboliques).
  • Tracer la courbe (avec les points d'intersection avec les axes, les tangentes particulières).
  • Exemple d'annale : "On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]-\infty, 1]$ par : $f(x) = \ln(1-x)$". (Voir l'exemple résolu plus haut).

• Calcul de dérivées : Des questions directes sur la dérivation de fonctions composées avec $\ln$.

  • Exemple d'annale : "Soit $f$ définie sur $]-\infty,2[$ par $f(x)=\ln(2-x)$. Calculer $f'(x)$."

• Résolution d'équations ou d'inéquations : Utilisation des propriétés algébriques du $\ln$.

  • Exemple : Résoudre $\ln(x+5) = \ln(2x-1)$.

• Limites : Souvent des limites avec des formes indéterminées nécessitant les croissances comparées ou les équivalents.

  • Exemple : Calculer $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x)$.

• Continuité : Appliquer la définition de la continuité, souvent par composition.

  • Exemple d'annale : "Montrer que la fonction $f$ est continue sur $I$."

Pondération et attendus :

• Application directe des connaissances (~40%) : Définition du domaine, calcul de dérivée simple, application des propriétés algébriques. Ces points sont "faciles" à obtenir si tu connais ton cours.
• Mobilisation en situation familière (~40%) : Étude de variations, calcul de limites plus complexes, interprétation graphique. Il faut savoir enchaîner les étapes.
• Situations non familières (synthèse) (~20%) : Souvent des questions de fin d'exercice qui demandent de combiner plusieurs notions (par exemple, étude d'une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$).

Conseils pour la rédaction :

• Rigueur : Toujours justifier chaque étape. Par exemple, pour le domaine de définition, écris clairement "Pour que $\ln(u(x))$ soit défini, il faut que $u(x) > 0$."
• Clarté : Utilise des phrases complètes et une notation mathématique correcte.
• Barème : Le barème est souvent par étape. Même si le résultat final est faux, une démarche correcte peut te rapporter des points. Ne laisse jamais une question vide si tu as une idée de la méthode.