Fonctions exponentielles

L'intuition

Imagine que tu as une bactérie qui se divise en deux toutes les heures. Au début, tu en as une. Après 1 heure, tu en as 2. Après 2 heures, 4. Après 3 heures, 8. Le nombre de bactéries double à chaque heure.

Si tu veux savoir combien de bactéries tu as après $x$ heures, la formule est $2^x$. C'est une croissance exponentielle.

Maintenant, imagine une croissance continue, pas juste à chaque heure, mais à chaque instant. C'est le cas de l'intérêt composé en banque, ou de la désintégration radioactive. La fonction exponentielle $e^x$ décrit exactement ce type de croissance. Le nombre $e$ (environ 2.718) est la base de cette croissance continue. C'est comme si la bactérie se divisait en permanence, et non pas par paliers.

La fonction exponentielle, c'est la fonction qui, quand tu la dérives, reste la même. C'est la fonction reine de la croissance et de la décroissance continue.

Le cours

I. Définition et propriétés fondamentales

La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien $\ln(x)$.

Définition 1 : La fonction exponentielle est l'unique fonction $f: \mathbb{R} \to ]0, +\infty[$ telle que $f'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f(0) = 1$. On la note $e^x$ ou $\exp(x)$.

Propriétés immédiates :

1. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$.
2. $e^0 = 1$.
3. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
4. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $y \in ]0, +\infty[$, $y = e^x \iff x = \ln(y)$.

II. Propriétés algébriques

Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle sont analogues à celles des puissances.

Théorème 1 : Pour tous réels $a$ et $b$ :

1. $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$
2. $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
3. $(e^a)^b = e^{ab}$
4. $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$

Démonstration (pour $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$) : Soit $a$ un réel fixé. On considère la fonction $g(x) = \frac{e^{a+x}}{e^a}$.

1. On calcule la dérivée de $g(x)$: $g'(x) = \frac{(e^{a+x})' \cdot e^a - e^{a+x} \cdot (e^a)'}{(e^a)^2} = \frac{e^{a+x} \cdot e^a - e^{a+x} \cdot 0}{(e^a)^2} = \frac{e^{a+x} \cdot e^a}{(e^a)^2} = \frac{e^{a+x}}{e^a}$. Or, $(e^{a+x})' = e^{a+x}$ (par la règle de dérivation des fonctions composées, si on pose $u(x) = a+x$, alors $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)} = 1 \cdot e^{a+x}$). Donc $g'(x) = \frac{e^{a+x}}{e^a}$.
2. On calcule $g(0)$: $g(0) = \frac{e^{a+0}}{e^a} = \frac{e^a}{e^a} = 1$.
3. On sait que la fonction $e^x$ est l'unique fonction $f$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$. On a $g'(x) = g(x)$ et $g(0) = 1$. Donc $g(x) = e^x$.
4. Par conséquent, $\frac{e^{a+x}}{e^a} = e^x$, ce qui implique $e^{a+x} = e^a \cdot e^x$. En remplaçant $x$ par $b$, on obtient $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$.

Les autres propriétés se démontrent de manière similaire ou en utilisant la première.

III. Limites usuelles

Les limites de la fonction exponentielle aux bornes de son domaine de définition sont essentielles.

Théorème 2 :

1. $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
2. $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

Démonstration (pour $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$) : On sait que pour $x > 0$, $e^x > 1+x$. Comme $\lim_{x \to +\infty} (1+x) = +\infty$, alors par le théorème de comparaison, $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

Démonstration (pour $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$) : On pose $t = -x$. Lorsque $x \to -\infty$, $t \to +\infty$. Alors $\lim_{x \to -\infty} e^x = \lim_{t \to +\infty} e^{-t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t}$. Puisque $\lim_{t \to +\infty} e^t = +\infty$, alors $\lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t} = 0$. Donc $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

Limites de croissance comparée : Ces limites sont cruciales pour lever les formes indéterminées.

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ en $+\infty$).
2. $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ en $-\infty$).
3. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$. (C'est la définition de la dérivée de $e^x$ en $0$).

Sur ce graphique, tu vois que pour $x$ suffisamment grand, $e^x$ croît beaucoup plus vite que $x^2$. C'est ce que les limites de croissance comparée te disent.

IV. Dérivation et intégration

Théorème 3 :

1. La fonction $x \mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $x \mapsto e^x$.
2. Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est $x \mapsto u'(x)e^{u(x)}$.

Exemple : Si $f(x) = e^{3x}$, alors $u(x) = 3x$, donc $u'(x) = 3$. La dérivée de $f(x)$ est $f'(x) = 3e^{3x}$.

Théorème 4 (Primitives) :

1. Une primitive de $x \mapsto e^x$ est $x \mapsto e^x + C$.
2. Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors une primitive de $x \mapsto u'(x)e^{u(x)}$ est $x \mapsto e^{u(x)} + C$.

V. Fonctions puissances $x^a$

Pour $a \in \mathbb{R}$, la fonction puissance $x^a$ est définie pour $x > 0$ par $x^a = e^{a \ln(x)}$.

Propriétés :

1. Domaine de définition : $]0, +\infty[$.
2. Dérivée : La fonction $x \mapsto x^a$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et sa dérivée est $x \mapsto ax^{a-1}$. Démonstration : $(x^a)' = (e^{a \ln(x)})'$. On pose $u(x) = a \ln(x)$, donc $u'(x) = a \cdot \frac{1}{x}$. Alors $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)} = \frac{a}{x} e^{a \ln(x)} = \frac{a}{x} x^a = a x^{-1} x^a = a x^{a-1}$.
3. Limites :
   • Si $a > 0$, $\lim_{x \to +\infty} x^a = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} x^a = 0$.
   • Si $a < 0$, $\lim_{x \to +\infty} x^a = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^a = +\infty$.
   • Si $a = 0$, $x^0 = 1$ pour $x > 0$.

Exemple résolu

Extrait d'annale réelle : Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to -\infty} e^x$. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^5$. Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = e^{3x}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Résolution pas à pas :

1. Calcul de la limite : $\lim_{x \to -\infty} e^x$

1. 1

   Identifier la forme de la limite

   C'est une limite fondamentale de la fonction exponentielle.

2. 2

   Appliquer la propriété directe

Étape suivante

Réponse : $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

2. Résolution de l'équation : $e^{2x-1} = e^5$

1. 1

   Utiliser la propriété d'injectivité de l'exponentielle

   Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, $e^A = e^B \iff A = B$.

2. 2

   Appliquer cette propriété à l'équation

3. 3

   Résoudre l'équation linéaire

4. 4

   Donner l'ensemble des solutions

Étape suivante

Réponse : L'ensemble des solutions est $S = \{3\}$.

3. Calcul de la dérivée : $f(x) = e^{3x}$

1. 1

   Identifier la forme de la fonction

   C'est une fonction de la forme $e^{u(x)}$.

2. 2

   Identifier la fonction $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$

3. 3

   Appliquer la formule de dérivation $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$

Étape suivante

Réponse : La dérivée de $f(x) = e^{3x}$ est $f'(x) = 3e^{3x}$.

La méthode

Voici les gestes types attendus par les correcteurs pour les questions fréquentes sur les fonctions exponentielles.

1. Résoudre une équation ou inéquation avec des exponentielles :

• Équation $e^{f(x)} = e^{g(x)}$ :
  1. Utilise l'injectivité de $e^x$: $e^{f(x)} = e^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$.
  2. Résous l'équation $f(x) = g(x)$.
• Inéquation $e^{f(x)} < e^{g(x)}$ :
  1. Utilise la stricte croissance de $e^x$: $e^{f(x)} < e^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$.
  2. Résous l'inéquation $f(x) < g(x)$.
• Équation $e^{f(x)} = k$ (avec $k > 0$) :
  1. Applique $\ln$ aux deux membres: $e^{f(x)} = k \iff f(x) = \ln(k)$.
  2. Résous l'équation $f(x) = \ln(k)$.
• Équation du type $Ae^{2x} + Be^x + C = 0$ :
  1. Pose $X = e^x$. Note que $X > 0$.
  2. L'équation devient $AX^2 + BX + C = 0$.
  3. Résous cette équation du second degré en $X$.
  4. Pour chaque solution $X_0 > 0$, résous $e^x = X_0 \implies x = \ln(X_0)$.

2. Calculer une limite :

• Limites fondamentales : Applique directement $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ ou $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
• Formes indéterminées ($\infty/\infty$, $0 \cdot \infty$) :
  1. Factorise par le terme dominant (souvent $e^x$ ou $x^n$).
  2. Utilise les limites de croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ ou $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$.
  3. Utilise $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ si la limite est en $0$.

3. Calculer une dérivée :

• Fonction $e^x$ : $(e^x)' = e^x$.
• Fonction $e^{u(x)}$ : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$. Identifie clairement $u(x)$ et $u'(x)$.
• Fonction $x^a$ : $(x^a)' = ax^{a-1}$.

Pièges classiques

1. Confondre $e^x$ et $x^e$ :

   • $e^x$ est la fonction exponentielle (base $e$, variable $x$ en exposant).
   • $x^e$ est une fonction puissance (variable $x$ en base, exposant $e$ est une constante).
   • Exemple : $(e^x)' = e^x$ mais $(x^e)' = e x^{e-1}$.

2. Erreurs de signe dans les exposants :

   • $e^{-x}$ n'est pas $-e^x$. C'est $\frac{1}{e^x}$.
   • Exemple : $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0$, et non $-\infty$.

3. Oublier le domaine de définition de $\ln(x)$ :

   • Pour résoudre $e^{f(x)} = k$, si $k \le 0$, il n'y a pas de solution car $e^{f(x)}$ est toujours strictement positif.
   • Pour résoudre $\ln(f(x)) = g(x)$, il faut d'abord s'assurer que $f(x) > 0$.

4. Erreurs dans les propriétés algébriques :

   • $e^{a+b} = e^a e^b$, pas $e^a + e^b$.
   • $(e^a)^b = e^{ab}$, pas $e^{a^b}$.

5. Dérivation de $e^{u(x)}$ :

   • Ne pas oublier de multiplier par $u'(x)$. C'est l'erreur la plus fréquente.
   • Exemple : $(e^{x^2})' = 2x e^{x^2}$, pas seulement $e^{x^2}$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des fonctions exponentielles est fondamental et est évalué dans la partie "Analyse" (environ 50% de la note). Tu peux t'attendre à des questions qui testent les niveaux d'habileté suivants :

• Application directe des connaissances (~40%) :

  • Calcul de limites simples (comme $\lim_{x \to -\infty} e^x$).
  • Résolution d'équations ou inéquations de base ($e^{f(x)} = k$, $e^{f(x)} < e^{g(x)}$).
  • Calcul de dérivées de fonctions simples ($e^{ax+b}$, $e^{u(x)}$).
  • Utilisation des propriétés algébriques pour simplifier des expressions.

• Mobilisation en situation familière (~40%) :

  • Étude complète d'une fonction impliquant des exponentielles (domaine de définition, limites, dérivée, tableau de variations, asymptotes, branches paraboliques).
  • Calcul d'intégrales utilisant des primitives de la forme $u'(x)e^{u(x)}$.
  • Problèmes d'optimisation ou de modélisation où l'exponentielle intervient.
  • Questions sur la continuité et la dérivabilité en un point.

• Situations non familières (synthèse) (~20%) :

  • Exercices plus complexes combinant l'exponentielle avec d'autres fonctions (logarithme, fonctions trigonométriques, suites).
  • Démonstrations de propriétés ou d'inégalités.
  • Problèmes nécessitant une analyse approfondie et la combinaison de plusieurs concepts.

Format des questions réelles (extraits d'annales) :

• "Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to -\infty} e^x$." (Application directe)
• "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^5$." (Application directe)
• "Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = e^{3x}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$." (Application directe)
• "Étudier les variations de la fonction $f(x) = (x-1)e^x$." (Mobilisation)
• "Calculer l'intégrale $\int_0^1 x e^{x^2} dx$." (Mobilisation, nécessite de reconnaître $u'(x)e^{u(x)}$)
• "Démontrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x \ge 1+x$." (Synthèse/Démonstration)

Consignes de correction (attendus) :

• Barème par étape : Chaque étape de ton raisonnement rapporte des points. Ne saute pas d'étapes.
• Démarche et justification : Le résultat seul ne suffit pas. Explique comment tu arrives au résultat. Par exemple, pour une limite, mentionne les propriétés utilisées (croissance comparée, composition). Pour une équation, justifie l'équivalence des étapes.
• Rédaction rigoureuse : Utilise un langage mathématique précis. Les symboles ($\forall$, $\exists$, $\iff$, $\implies$) sont tes amis.

En résumé, maîtrise les définitions, les propriétés algébriques et les limites usuelles. Entraîne-toi à dériver et à intégrer des fonctions avec des exponentielles. La clé est la pratique régulière des exercices types et des annales pour bien comprendre les attentes de l'examen.