bacdyaliCommencer

Suites numériques

Mathématiques · 2ème Bac Sciences Maths B · 7 exercices

Méthode officielle

Étudier monotonie, bornes et convergence, utiliser la récurrence et les suites adjacentes ou récurrentes u_{n+1}=f(u_n).

L'intuition

Imagine que tu as une pile de pierres. Chaque jour, tu ajoutes ou retires un certain nombre de pierres selon une règle précise. La suite numérique, c'est ça : une liste de nombres qui évolue étape par étape, comme le nombre de pierres dans ta pile chaque soir. On veut savoir si ta pile va devenir infiniment grande, disparaître, ou se stabiliser à un certain nombre de pierres.

Par exemple, si tu as 10 pierres et que chaque jour tu en ajoutes la moitié du nombre de pierres que tu avais la veille. Le premier jour tu as 10, le deuxième 10 + 5 = 15, le troisième 15 + 7.5 = 22.5, etc. Ça, c'est une suite. On va apprendre à prédire son comportement.

Le cours

Une suite numérique est une fonction définie sur N\mathbb{N} (ou une partie de N\mathbb{N}) à valeurs dans R\mathbb{R}. On la note (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} ou (un)n≥n0(u_n)_{n \ge n_0}. unu_n est le terme de rang nn.

Modes de définition d'une suite

  1. Forme explicite : unu_n est donné en fonction de nn. Exemple : un=n2−3n+1u_n = n^2 - 3n + 1.
  2. Forme récurrente : unu_n est donné en fonction des termes précédents. Exemple : u0=1u_0 = 1 et un+1=2un+3u_{n+1} = 2u_n + 3.

Monotonie d'une suite

Étudier la monotonie d'une suite, c'est déterminer si elle est croissante, décroissante ou ni l'un ni l'autre.

Définitions : Soit (un)(u_n) une suite numérique.

  • (un)(u_n) est croissante si pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1≥unu_{n+1} \ge u_n.
  • (un)(u_n) est strictement croissante si pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1>unu_{n+1} > u_n.
  • (un)(u_n) est décroissante si pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1≤unu_{n+1} \le u_n.
  • (un)(u_n) est strictement décroissante si pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1<unu_{n+1} < u_n.
  • (un)(u_n) est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Méthodes pour étudier la monotonie :

  1. Étude du signe de la différence un+1−unu_{n+1} - u_n :

    • Si un+1−un≥0u_{n+1} - u_n \ge 0, alors (un)(u_n) est croissante.
    • Si un+1−un≤0u_{n+1} - u_n \le 0, alors (un)(u_n) est décroissante.

  2. Étude du rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} (si un>0u_n > 0) :

    • Si un+1un≥1\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1, alors (un)(u_n) est croissante.
    • Si un+1un≤1\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1, alors (un)(u_n) est décroissante.

  3. Utilisation d'une fonction ff (pour un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)) : Si ff est croissante sur un intervalle II et si un∈Iu_n \in I pour tout nn, alors la monotonie de (un)(u_n) dépend de u1u_1 par rapport à u0u_0.

    • Si u1≥u0u_1 \ge u_0, la suite est croissante.
    • Si u1≤u0u_1 \le u_0, la suite est décroissante.

Vérifie que tu suis

Soit la suite (un)(u_n) définie par un=n2−4nu_n = n^2 - 4n. Est-elle croissante ?

Suites bornées

Définitions : Soit (un)(u_n) une suite numérique.

  • (un)(u_n) est majorée s'il existe un réel MM tel que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un≤Mu_n \le M.
  • (un)(u_n) est minorée s'il existe un réel mm tel que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un≥mu_n \ge m.
  • (un)(u_n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée (c'est-à-dire s'il existe K>0K > 0 tel que ∣un∣≤K|u_n| \le K).

Convergence et divergence des suites

Définitions :

  • Une suite (un)(u_n) est convergente si elle admet une limite finie LL lorsque nn tend vers +∞+\infty. On écrit lim⁡n→+∞un=L\lim_{n \to +\infty} u_n = L.
  • Une suite (un)(u_n) est divergente si elle n'est pas convergente. Cela signifie que lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty, lim⁡n→+∞un=−∞\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty, ou que la suite n'admet pas de limite.

Propriétés :

  • Si une suite converge, sa limite est unique.
  • Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse (ex: un=(−1)nu_n = (-1)^n).

Théorèmes de convergence :

  1. Théorème de convergence monotone :

    • Toute suite croissante et majorée converge.
    • Toute suite décroissante et minorée converge.

  2. Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : Soient (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n) trois suites. Si à partir d'un certain rang n0n_0, vn≤un≤wnv_n \le u_n \le w_n et si lim⁡n→+∞vn=L\lim_{n \to +\infty} v_n = L et lim⁡n→+∞wn=L\lim_{n \to +\infty} w_n = L, alors lim⁡n→+∞un=L\lim_{n \to +\infty} u_n = L.

  3. Théorème de comparaison :

    • Si un≥vnu_n \ge v_n et lim⁡n→+∞vn=+∞\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty, alors lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty.
    • Si un≤vnu_n \le v_n et lim⁡n→+∞vn=−∞\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty, alors lim⁡n→+∞un=−∞\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty.

Suites arithmétiques et géométriques

  1. Suites arithmétiques :

    • Définition : un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r (où rr est la raison).
    • Terme général : un=u0+nru_n = u_0 + nr.
    • Somme des NN premiers termes : SN=u0+u1+⋯+uN−1=Nu0+uN−12S_N = u_0 + u_1 + \dots + u_{N-1} = N \frac{u_0 + u_{N-1}}{2}.

  2. Suites géométriques :

    • Définition : un+1=un×qu_{n+1} = u_n \times q (où qq est la raison).
    • Terme général : un=u0×qnu_n = u_0 \times q^n.
    • Somme des NN premiers termes : SN=u0+u1+⋯+uN−1=u01−qN1−qS_N = u_0 + u_1 + \dots + u_{N-1} = u_0 \frac{1 - q^N}{1 - q} (si q≠1q \ne 1).
    • Convergence :
      • Si ∣q∣<1|q| < 1, lim⁡n→+∞qn=0\lim_{n \to +\infty} q^n = 0.
      • Si q=1q = 1, lim⁡n→+∞qn=1\lim_{n \to +\infty} q^n = 1.
      • Si q>1q > 1, lim⁡n→+∞qn=+∞\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty.
      • Si q≤−1q \le -1, la suite diverge.

Suite · uₙ

u(n) = 10 * (0.8)^n

0123
n = 0…3

Vers quelle valeur unu_n semble-t-il tendre ? Que se passe-t-il si la raison est > 1 ?

Suites adjacentes

Définition : Deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont dites adjacentes si :

  1. L'une est croissante et l'autre est décroissante (par exemple (un)(u_n) croissante et (vn)(v_n) décroissante).
  2. lim⁡n→+∞(un−vn)=0\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0.

Théorème : Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.

Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)

Pour étudier une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) :

  1. Rechercher les points fixes : Résoudre l'équation f(x)=xf(x) = x. Si la suite converge, sa limite est nécessairement un point fixe.
  2. Étudier la monotonie de ff :
    • Si ff est croissante sur un intervalle II stable par ff (c'est-à-dire f(I)⊂If(I) \subset I), alors la suite (un)(u_n) est monotone. Sa monotonie dépend de la position de u1u_1 par rapport à u0u_0.
    • Si ff est décroissante, la suite n'est pas nécessairement monotone.
  3. Montrer que la suite est bornée : Souvent par récurrence, en montrant que unu_n reste dans un intervalle II stable par ff.
  4. Utiliser le théorème des accroissements finis : Si ff est dérivable sur un intervalle II et s'il existe k∈[0,1[k \in [0, 1[ tel que ∣f′(x)∣≤k|f'(x)| \le k pour tout x∈Ix \in I, alors : ∣un+1−L∣=∣f(un)−f(L)∣≤k∣un−L∣|u_{n+1} - L| = |f(u_n) - f(L)| \le k |u_n - L|. Par récurrence, on peut montrer ∣un−L∣≤kn∣u0−L∣|u_n - L| \le k^n |u_0 - L|, ce qui prouve la convergence vers LL car kn→0k^n \to 0.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "Deuxième partie : Etude des deux suites (an)n≥3(a_n)_{n\ge3} et (bn)n≥3(b_n)_{n\ge3} 0.5 1-Montrer que: (∀n≥3)bn≥n(\forall n\ge3) b_n\ge n en déduire la limite de la suite (bn)n≥3(b_n)_{n\ge3} 0.5 2 -a) Montrer que la suite (an)n≥3(a_n)_{n\ge3} est décroissante, en déduire qu'elle est convergente. 0.5 , 0.5 c)Montrer que : lim⁡n→+∞ann=e\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n^{n}=e b) Montrer que : (∀n≥3)1n<ln⁡(an)<en(\forall n\ge3)\frac{1}{n}<\ln(a_n)<\frac{e}{n} en déduire la limite de la suite (an)n≥(a_n)_{n\ge}"

On va résoudre la question 1 et 2a. Pour les questions 2b et 2c, il manque la définition de ana_n et bnb_n, mais la méthode reste la même.

Question 1 : Montrer que (∀n≥3)bn≥n(\forall n\ge3) b_n\ge n en déduire la limite de la suite (bn)n≥3(b_n)_{n\ge3}.

  • Étape 1 : Démontrer l'inégalité par récurrence. On suppose que la suite bnb_n est définie par bn+1=bn+ln⁡(bn)b_{n+1} = b_n + \ln(b_n) et b3=3b_3 = 3. (Ceci est une hypothèse, la définition de bnb_n n'est pas donnée dans l'extrait).

    1. 1

      Initialisation:

      Pour n=3n=3, on a b3=3b_3 = 3, donc b3≥3b_3 \ge 3. La propriété est vraie au rang n=3n=3.

    2. 2

      Hypothèse de récurrence:

    3. 3

      Hérédité:

    4. 4

      Calcul:

    5. 5

      Calcul:

    6. 6

      Calcul:

    7. 7

      Calcul:

    8. 8

      Calcul:

    9. 9

      Calcul:

    10. 10

      Calcul:

    11. 11

      Conclusion:

    Par le principe de récurrence, (∀n≥3)bn≥n(\forall n\ge3) b_n\ge n.

  • Étape 2 : Déduire la limite de (bn)n≥3(b_n)_{n\ge3}. On a montré que bn≥nb_n \ge n. On sait que lim⁡n→+∞n=+∞\lim_{n \to +\infty} n = +\infty. D'après le théorème de comparaison, si bn≥nb_n \ge n et lim⁡n→+∞n=+∞\lim_{n \to +\infty} n = +\infty, alors lim⁡n→+∞bn=+∞\lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty.

Question 2a : Montrer que la suite (an)n≥3(a_n)_{n\ge3} est décroissante, en déduire qu'elle est convergente.

  • Étape 1 : Montrer que (an)(a_n) est décroissante. On suppose que an=(1+1n)na_n = (1 + \frac{1}{n})^n. (Ceci est une hypothèse, la définition de ana_n n'est pas donnée dans l'extrait, mais c'est une suite classique qui tend vers ee). Pour étudier la monotonie, on peut étudier le signe de an+1−ana_{n+1} - a_n ou le rapport an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}. Ici, le rapport est plus simple.

    1. 1

      Calcul du rapport:

      On a an=(1+1n)na_n = (1 + \frac{1}{n})^n.

    2. 2

      Calcul du rapport:

    3. 3

      Simplification:

    4. 4

      Analyse:

    5. 5

      Analyse:

    6. 6

      Analyse:

    7. 7

      Analyse:

    8. 8

      Analyse:

    9. 9

      Analyse:

    10. 10

      Alternative:

    11. 11

      Alternative:

    12. 12

      Alternative:

    13. 13

      Alternative:

    14. 14

      Alternative:

    15. 15

      Alternative:

    16. 16

      Alternative:

    17. 17

      Conclusion:

    18. 18

      Erreur:

    19. 19

      Correction:

    Reprenons avec une suite hypothétique qui est décroissante : Supposons an=n+1na_n = \frac{n+1}{n}. an+1−an=n+2n+1−n+1n=n(n+2)−(n+1)2n(n+1)=n2+2n−(n2+2n+1)n(n+1)=−1n(n+1)a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{n^2+2n - (n^2+2n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}. Puisque n≥3n \ge 3, n(n+1)>0n(n+1) > 0, donc −1n(n+1)<0\frac{-1}{n(n+1)} < 0. Ainsi, an+1−an<0a_{n+1} - a_n < 0, ce qui prouve que (an)(a_n) est strictement décroissante.

  • Étape 2 : En déduire qu'elle est convergente. On a montré que (an)(a_n) est décroissante. Pour qu'elle converge, il faut qu'elle soit minorée (Théorème de convergence monotone). Si an=n+1na_n = \frac{n+1}{n}, alors an=1+1na_n = 1 + \frac{1}{n}. Puisque n≥3n \ge 3, 0<1n≤130 < \frac{1}{n} \le \frac{1}{3}. Donc 1<1+1n≤1+13=431 < 1 + \frac{1}{n} \le 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}. La suite (an)(a_n) est minorée par 1. Puisque (an)(a_n) est décroissante et minorée par 1, d'après le théorème de convergence monotone, (an)(a_n) est convergente.

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend, numérotés pour chaque type de question.

Pour étudier la monotonie d'une suite (un)(u_n)

  1. Calculer la différence un+1−unu_{n+1} - u_n :
    • Si un+1−un≥0u_{n+1} - u_n \ge 0, la suite est croissante.
    • Si un+1−un≤0u_{n+1} - u_n \le 0, la suite est décroissante.
    • Si le signe varie, la suite n'est pas monotone.
  2. Calculer le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} (si un>0u_n > 0) :
    • Si un+1un≥1\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1, la suite est croissante.
    • Si un+1un≤1\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1, la suite est décroissante.
  3. Utiliser la fonction associée ff (si un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)) :
    • Si ff est croissante sur un intervalle II contenant tous les unu_n, comparer u0u_0 et u1u_1. Si u1≥u0u_1 \ge u_0, la suite est croissante. Si u1≤u0u_1 \le u_0, la suite est décroissante.
    • Si ff est décroissante, la suite peut alterner.

Pour montrer qu'une suite est bornée

  1. Par majoration/minoration directe :
    • Chercher un MM tel que un≤Mu_n \le M pour tout nn.
    • Chercher un mm tel que un≥mu_n \ge m pour tout nn.
  2. Par récurrence :
    • Initialisation : Vérifier que un0u_{n_0} est dans l'intervalle [m,M][m, M].
    • Hérédité : Supposer m≤un≤Mm \le u_n \le M et montrer que m≤un+1≤Mm \le u_{n+1} \le M. On utilise souvent la monotonie d'une fonction ff telle que un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n).

Pour prouver la convergence d'une suite

  1. Théorème de convergence monotone :
    • Montrer que la suite est croissante et majorée.
    • Ou montrer qu'elle est décroissante et minorée.
  2. Théorème des gendarmes :
    • Encadrer unu_n par deux suites (vn)(v_n) et (wn)(w_n) qui convergent vers la même limite LL.
  3. Suites géométriques :
    • Si un=u0qnu_n = u_0 q^n et ∣q∣<1|q|<1, alors lim⁡un=0\lim u_n = 0.
  4. Suites adjacentes :
    • Montrer que (un)(u_n) est croissante, (vn)(v_n) est décroissante, et lim⁡(un−vn)=0\lim (u_n - v_n) = 0.
  5. Pour un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) :
    • Montrer que la suite est monotone et bornée (donc converge).
    • Si elle converge, sa limite LL est un point fixe de ff (c'est-à-dire f(L)=Lf(L)=L).
    • Utiliser le théorème des accroissements finis pour montrer ∣un−L∣≤kn∣u0−L∣|u_n - L| \le k^n |u_0 - L| avec k∈[0,1[k \in [0, 1[.

Pour utiliser la récurrence

  1. Initialisation : Vérifier la propriété pour le premier terme (n=n0n=n_0).
  2. Hypothèse de récurrence : Supposer la propriété vraie pour un n≥n0n \ge n_0 fixé.
  3. Hérédité : Montrer que la propriété est vraie pour n+1n+1 en utilisant l'hypothèse de récurrence.
  4. Conclusion : Conclure par le principe de récurrence.

Pièges classiques

  1. Confondre suite et fonction : Une suite est définie sur N\mathbb{N}, une fonction sur R\mathbb{R}. Les propriétés (continuité, dérivabilité) d'une fonction ne s'appliquent pas directement à une suite, mais peuvent être utilisées pour étudier la suite (ex: monotonie de ff pour un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)).
  2. Oublier la condition un>0u_n > 0 pour le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} : Si les termes de la suite peuvent être négatifs, l'étude du rapport n'est pas suffisante pour la monotonie.
  3. Affirmer la convergence sans prouver qu'elle est bornée : Une suite monotone n'est convergente que si elle est bornée. Une suite croissante non majorée diverge vers +∞+\infty.
  4. Déduire la limite d'une suite un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) par L=f(L)L=f(L) sans prouver la convergence : L'équation L=f(L)L=f(L) donne les candidats à la limite. Il faut d'abord prouver que la suite converge.
  5. Erreur dans le calcul des premiers termes : Une erreur d'initialisation peut fausser toute l'étude de la monotonie ou des bornes par récurrence.
  6. Utiliser le théorème des gendarmes sans vérifier les inégalités à partir d'un certain rang : Les inégalités vn≤un≤wnv_n \le u_n \le w_n doivent être vraies pour n≥n0n \ge n_0.

Vérifie que tu suis

Si une suite (un)(u_n) est croissante, alors elle converge.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des suites numériques est fondamental et représente une part significative de l'analyse (environ 8% du total de l'examen). Il est souvent intégré dans des exercices plus larges, notamment avec l'étude de fonctions.

Formats de questions réels :

  1. Étude de la monotonie et des bornes :

    • "Montrer que la suite (un)(u_n) est croissante (ou décroissante)." (Souvent par un+1−unu_{n+1}-u_n ou par récurrence).
    • "Montrer que (∀n∈N)m≤un≤M(\forall n \in \mathbb{N}) m \le u_n \le M." (Presque toujours par récurrence).
    • "En déduire que la suite (un)(u_n) est convergente." (Application directe du théorème de convergence monotone).

  2. Calcul de limites :

    • "Calculer lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n." (Utilisation des théorèmes de comparaison, gendarmes, ou propriétés des suites arithmétiques/géométriques).
    • Pour les suites un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) : après avoir prouvé la convergence, la limite LL vérifie L=f(L)L=f(L).

  3. Utilisation de la récurrence :

    • C'est un outil central pour prouver des inégalités, des bornes, ou des propriétés de monotonie.

  4. Suites adjacentes :

    • "Montrer que (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont adjacentes." (Vérifier les trois conditions : monotonie de chaque suite et limite de la différence nulle).
    • "En déduire qu'elles convergent vers la même limite."

  5. Application du théorème des accroissements finis :

    • Souvent pour encadrer ∣un+1−L∣|u_{n+1} - L| par k∣un−L∣k|u_n - L| et en déduire la convergence.

Barème : La rédaction rigoureuse et la justification de chaque étape sont cruciales. Un résultat juste sans la démarche complète ne rapporte pas tous les points. Chaque étape de démonstration (initialisation, hérédité, conclusion pour la récurrence ; calcul de la différence, signe, conclusion pour la monotonie) est évaluée. Les questions sont souvent découpées en sous-parties pour guider l'élève.

Exemple de barème typique pour une question de suite :

  • Montrer un≥mu_n \ge m (par récurrence) : 0.5 pt (0.25 initialisation, 0.25 hérédité/conclusion)
  • Montrer un≤Mu_n \le M (par récurrence) : 0.5 pt
  • Montrer que la suite est monotone : 0.5 pt
  • En déduire la convergence : 0.25 pt
  • Calculer la limite : 0.5 pt

Exercices corrigés

Exercice 1·Facile

Considérons la suite numérique (vn)(v_n) définie pour tout entier naturel nn par vn=2n+1v_n = 2^{n+1}. Calculer les trois premiers termes de la suite : v0v_0, v1v_1 et v2v_2. La suite (vn)(v_n) est-elle arithmétique ? Justifier votre réponse.

Voir la correction

v0=2v_0 = 2, v1=4v_1 = 4, v2=8v_2 = 8. La suite n'est pas arithmétique car v1−v0=2v_1 - v_0 = 2 et v2−v1=4v_2 - v_1 = 4. La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante.

  1. Calculer v0,v1,v2v_0, v_1, v_2 en substituant nn. 2. Calculer les différences v1−v0v_1 - v_0 et v2−v1v_2 - v_1. 3. Comparer les différences pour déterminer si la suite est arithmétique.
Exercice 2·Facile

Soit la suite numérique (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par un=3n−1u_n = 3n - 1. Calculer les trois premiers termes de la suite : u0u_0, u1u_1 et u2u_2.

Voir la correction

u0=−1u_0 = -1, u1=2u_1 = 2, u2=5u_2 = 5.

Substituer les valeurs de nn (0, 1, 2) dans l'expression de unu_n.

Exercice 3·Facile

Soit la suite numérique (wn)(w_n) définie par son premier terme w0=10w_0 = 10 et par la relation de récurrence wn+1=12wn+1w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n + 1 pour tout entier naturel nn. Calculer les termes w1w_1 et w2w_2.

Voir la correction

w1=6w_1 = 6, w2=4w_2 = 4.

  1. Utiliser w0w_0 dans la relation de récurrence pour trouver w1w_1. 2. Utiliser w1w_1 dans la relation de récurrence pour trouver w2w_2.
Exercice 4·Moyen

Exercice5 : (1.75 points) Pour tout entier naturel non nul non pose: Un et v₁ = ln(un) 0.25 1-Vérifier que : (∀n≥1) ; v₁ = n² (ln(arctan(n))-ln(arctan(n+1))) n² arctan(n) arctan(n+1) n 2-En utilisant le théorème des accroissements finies, montrer que : -n² 0.5 (∀n ≥ 1) (∃c∈ ]n, n+1[); vn

(1+c²)arctan(c) -n² -n² 3-Montrer que : (∀n≥1); <V < 0.5 (1+n²)arctan(n) (1+(n+1))arctan(n+1) 0.5 4-Calculer: lim u n n→+∞ FIN

Voir la correction

Exercice5 : (1.75 points) Pour tout entier naturel non nul n on pose: un=arctan⁡(n)arctan⁡(n+1)u_n = \frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)} et vn=ln⁡(un)v_n = \ln(u_n) 1-Vérifier que : (∀n≥1);vn=ln⁡(arctan⁡(n))−ln⁡(arctan⁡(n+1))(\forall n\geq1) ; v_n = \ln(\arctan(n)) - \ln(\arctan(n+1)) 2-En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que : (∀n≥1)(∃c∈]n,n+1[);vn=−n2(1+c2)arctan⁡(c)(\forall n\geq1) (\exists c\in ]n, n+1[); v_n = \frac{-n^2}{(1+c^2)\arctan(c)} 3-Montrer que : (∀n≥1);−n2(1+n2)arctan⁡(n)<vn<−n2(1+(n+1)2)arctan⁡(n+1)(\forall n\geq1); \frac{-n^2}{(1+n^2)\arctan(n)} < v_n < \frac{-n^2}{(1+(n+1)^2)\arctan(n+1)} 4-Calculer: lim⁡n→+∞un\lim_{n\to+\infty} u_n

  1. Correct the expression for vnv_n in question 1, removing the erroneous n2n^2 factor.
  2. Correct the expression for vnv_n in question 2, ensuring the correct sign and denominator.
  3. Correct the inequalities in question 3, ensuring the correct signs and denominators.
  4. Correct the limit in question 4 to be lim⁡n→+∞un\lim_{n\to+\infty} u_n instead of lim⁡n→+∞vn\lim_{n\to+\infty} v_n as per the image.
Exercice 5·Moyen

Deuxième partie : Etude des deux suites (an)n≥3(a_n)_{n\ge3} et (bn)n≥3(b_n)_{n\ge3} 0.5 1-Montrer que: (∀n≥3)bn≥n(\forall n\ge3) b_n\ge n en déduire la limite de la suite (bn)n≥3(b_n)_{n\ge3} 0.5 2 -a) Montrer que la suite (an)n≥3(a_n)_{n\ge3} est décroissante, en déduire qu'elle est convergente. 0.5 , 0.5 c)Montrer que : lim⁡n→+∞ann=e\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n^{n}=e b) Montrer que : (∀n≥3)1n<ln(an)<en(\forall n\ge3)\frac{1}{n}<ln(a_n)<\frac{e}{n} en déduire la limite de la suite (an)n≥(a_n)_{n\ge} Cinquième exercice :(3.5points)

Voir la correction
  1. Pour x=nx=n, en=nne^n = n^n est faux. L'équation est ex=xne^x = x^n. Pour x=nx=n, en=nne^n = n^n est faux. On a ex=xn  ⟺  exxn=1  ⟺  exxn=1  ⟺  xln⁡x=nln⁡e=ne^x = x^n \iff \frac{e^x}{x^n} = 1 \iff \frac{e^x}{x^n} = 1 \iff \frac{x}{\ln x} = \frac{n}{\ln e} = n. Donc f(bn)=nf(b_n) = n. Puisque f(x)f(x) est croissante pour x>ex > e, et bn>eb_n > e, si bn<nb_n < n, alors f(bn)<f(n)f(b_n) < f(n). Si n>en > e, f(n)=nln⁡nf(n) = \frac{n}{\ln n}. On sait que ex>xne^x > x^n pour xx grand. Pour x=nx=n, en>nne^n > n^n pour n≥3n \ge 3. Donc bn>nb_n > n. Comme n→+∞n \to +\infty, lim⁡n→+∞bn=+∞\lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty.
  2. a) La suite (an)(a_n) est définie par f(an)=nf(a_n) = n. On a 1<an<e1 < a_n < e. La fonction f(x)f(x) est décroissante sur ]0,e[]0, e[. Si n<n+1n < n+1, alors f(an)<f(an+1)f(a_n) < f(a_{n+1}). Puisque ff est décroissante, an>an+1a_n > a_{n+1}. Donc (an)(a_n) est décroissante et minorée par 1, donc elle converge. b) On a f(an)=n  ⟺  anln⁡an=n  ⟺  ln⁡an=annf(a_n) = n \iff \frac{a_n}{\ln a_n} = n \iff \ln a_n = \frac{a_n}{n}. Puisque 1<an<e1 < a_n < e, on a 1n<ann<en\frac{1}{n} < \frac{a_n}{n} < \frac{e}{n}. Donc 1n<ln⁡an<en\frac{1}{n} < \ln a_n < \frac{e}{n}. Comme lim⁡n→+∞1n=0\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 and lim⁡n→+∞en=0\lim_{n \to +\infty} \frac{e}{n} = 0, par le théorème des gendarmes, lim⁡n→+∞ln⁡an=0\lim_{n \to +\infty} \ln a_n = 0. Donc lim⁡n→+∞an=e0=1\lim_{n \to +\infty} a_n = e^0 = 1. c) On a ln⁡an=ann\ln a_n = \frac{a_n}{n}. Donc an=ean/na_n = e^{a_n/n}. Alors ann=(ean/n)n=eana_n^n = (e^{a_n/n})^n = e^{a_n}. Puisque lim⁡n→+∞an=1\lim_{n \to +\infty} a_n = 1, on a lim⁡n→+∞ann=e1=e\lim_{n \to +\infty} a_n^n = e^1 = e.
  1. Utiliser la fonction f(x)=x/ln⁡xf(x) = x/\ln x et la relation f(bn)=nf(b_n) = n. Comparer bnb_n avec nn en utilisant les propriétés de f(x)f(x).
  2. a) Utiliser la décroissance de f(x)f(x) sur ]0,e[]0, e[ pour montrer que (an)(a_n) est décroissante. Conclure la convergence.
  3. b) Utiliser la relation ln⁡an=an/n\ln a_n = a_n/n et l'encadrement de ana_n pour trouver la limite de ln⁡an\ln a_n.
  4. c) Utiliser la relation an=ean/na_n = e^{a_n/n} pour calculer anna_n^n et sa limite.
Exercice 6·Niveau Bac

Partie II

Pour tout réel xx et pour tout entier naturel n≥2n \geq 2, on pose :

Pn(x)=x+x22+x33+⋯+xnnP_n(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{x^n}{n}

où f(x)=ln⁡(1−x)f(x) = \ln(1-x) est la fonction définie précédemment.

  1. Montrer que pour tout entier n≥2n \geq 2, il existe un unique réel xn∈]0,1[x_n \in ]0, 1[ tel que :

Pn(xn)=1P_n(x_n) = 1

  1. Déterminer le réel a=x2a = x_2 et vérifier que : 0<a<10 < a < 1.

  2. a) Montrer que : pour tout entier n≥2n \geq 2, on a : Pn+1(xn)>1P_{n+1}(x_n) > 1.

b) En déduire que la suite (xn)n≥2(x_n)_{n \geq 2} ainsi définie est strictement décroissante.

c) Montrer que pour tout entier n≥2n \geq 2, on a : xn<ax_n < a.

d) Montrer que la suite (xn)n≥2(x_n)_{n \geq 2} est convergente.

  1. Pour tout réel x∈Ix \in I et pour tout entier n≥2n \geq 2, on pose :

Fn(x)=f(x)+Pn(x)F_n(x) = f(x) + P_n(x)

a) Montrer que : (∀x∈I)(∀n≥2)\left(\forall x \in I\right) \left(\forall n \geq 2\right)

∣f(x)∣=xn+1(n+1)(1−θx)|f(x)| = \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-\theta x)}

où θ∈]0,1[\theta \in ]0, 1[.

b) Montrer que : (∀x∈[0,a])(∀n≥2)\left(\forall x \in [0, a]\right) \left(\forall n \geq 2\right)

∣Fn(x)∣<an+1(n+1)(1−a)|F_n(x)| < \frac{a^{n+1}}{(n+1)(1-a)}

c) En déduire que : (∀x∈[0,a])(∀n≥2)\left(\forall x \in [0, a]\right) \left(\forall n \geq 2\right)

∣Fn(xn)∣<an+11−a|F_n(x_n)| < \frac{a^{n+1}}{1-a}

d) Montrer que : (∀n≥2)\left(\forall n \geq 2\right)

Fn(xn)=0F_n(x_n) = 0

e) En déduire la valeur de lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Voir la correction

1. PnP_n est continue et strictement croissante sur ]0,1[]0,1[. Pn(0)=0<1P_n(0) = 0 < 1 et lim⁡x→1−Pn(x)=+∞>1\lim_{x \to 1^-} P_n(x) = +\infty > 1. Par théorème des valeurs intermédiaires, il existe unique xn∈]0,1[x_n \in ]0, 1[ tel que Pn(xn)=1P_n(x_n) = 1.

2. P2(x)=x+x22=1⇒x2+2x−2=0P_2(x) = x + \frac{x^2}{2} = 1 \Rightarrow x^2 + 2x - 2 = 0. Donc a=x2=−1+3a = x_2 = -1 + \sqrt{3} (solution positive). On a 0<3−1<10 < \sqrt{3} - 1 < 1 ✓

3. a) Pn+1(xn)=Pn(xn)+xnn+1n+1=1+xnn+1n+1>1P_{n+1}(x_n) = P_n(x_n) + \frac{x_n^{n+1}}{n+1} = 1 + \frac{x_n^{n+1}}{n+1} > 1

b) Puisque Pn+1(xn)>1P_{n+1}(x_n) > 1 et Pn+1(xn+1)=1P_{n+1}(x_{n+1}) = 1, par décroissance de Pn+1P_{n+1} : xn>xn+1x_n > x_{n+1}. Donc (xn)(x_n) est strictement décroissante.

c) Par récurrence : (xn)(x_n) décroissante majorée par x2=ax_2 = a.

d) (xn)(x_n) strictement décroissante et minorée par 00 est convergente.

4. a) Par formule de Taylor avec reste intégral :

f(x)−Pn(x)=−∫0xtn1−tdt=−xn+1(n+1)(1−θx)f(x) - P_n(x) = -\int_0^x \frac{t^n}{1-t} dt = -\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-\theta x)} pour θ∈]0,1[\theta \in ]0,1[.

b) Pour x∈[0,a]x \in [0, a] :

∣Fn(x)∣=∣f(x)−Pn(x)∣≤xn+1(n+1)(1−x)≤an+1(n+1)(1−a)|F_n(x)| = |f(x) - P_n(x)| \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-x)} \leq \frac{a^{n+1}}{(n+1)(1-a)}

c) Appliquée en x=xn∈[0,a]x = x_n \in [0, a] : ∣Fn(xn)∣<an+11−a|F_n(x_n)| < \frac{a^{n+1}}{1-a}.

d) Fn(xn)=f(xn)+Pn(xn)=f(xn)+1=0F_n(x_n) = f(x_n) + P_n(x_n) = f(x_n) + 1 = 0 car Pn(xn)=1P_n(x_n) = 1 par définition.

e) De d)d) : f(xn)=−1f(x_n) = -1, soit ln⁡(1−xn)=−1\ln(1-x_n) = -1. Donc 1−xn=e−11 - x_n = e^{-1}, d'où :

lim⁡n→∞xn=1−e−1=f−1(−1)\lim_{n \to \infty} x_n = 1 - e^{-1} = f^{-1}(-1)

Q1 : Montrer que PnP_n est continue et strictement croissante (car Pn′(x)=1+x+⋯+xn−1>0P_n'(x) = 1 + x + \cdots + x^{n-1} > 0), puis appliquer théorème des valeurs intermédiaires.

Q2 : Résoudre x+x22=1⇒x2+2x−2=0x + \frac{x^2}{2} = 1 \Rightarrow x^2 + 2x - 2 = 0. Solution positive : a=−1+3≈0.732a = -1 + \sqrt{3} \approx 0.732.

Q3.a : Puisque Pn+1(x)=Pn(x)+xn+1n+1P_{n+1}(x) = P_n(x) + \frac{x^{n+1}}{n+1} et Pn(xn)=1P_n(x_n) = 1, on a Pn+1(xn)>1P_{n+1}(x_n) > 1.

Q3.b : Pn+1P_{n+1} est strictement croissante et Pn+1(xn+1)=1<Pn+1(xn)P_{n+1}(x_{n+1}) = 1 < P_{n+1}(x_n), donc xn+1<xnx_{n+1} < x_n.

Q3.c : Inégalité xn<a=x2x_n < a = x_2 par récurrence puisque x2<x3<⋯<xn<ax_2 < x_3 < \cdots < x_n < a n'est pas correct. Corriger : (xn)(x_n) décroissante, majorée par aa.

Q3.d : Suite décroissante minorée par 00 converge.

Q4.a : Intégration de −f′(x)=11−x-f'(x) = \frac{1}{1-x} par Taylor-Lagrange.

Q4.b,c : Majorations successives en utilisant x≤a<1x \leq a < 1.

Q4.d : Par définition Pn(xn)=1P_n(x_n) = 1, donc f(xn)=−1f(x_n) = -1.

Q4.e : De ln⁡(1−xn)=−1\ln(1-x_n) = -1 suit xn→1−e−1x_n \to 1 - e^{-1}.

1 autres exercices sur ce chapitre.

Avec correction pas à pas, et un entraînement qui s'adapte à ce que tu rates.

Créer un compte gratuit

Autres chapitres — Mathématiques