Structures algébriques

Q: Soit l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs. On définit sur $\mathbb{Z}$ la loi de composition interne $*$ par : $$\forall (a,b) \in \mathbb{Z}^2, \quad a * b = a + b - 3$$ **1)** Calculer $5 * 2$. **2)** Montrer que la loi $*$ est commutative.

**1)** Pour calculer $5 * 2$, on remplace $a$ par $5$ et $b$ par $2$ dans la définition de la loi : $5 * 2 = 5 + 2 - 3 = 7 - 3 = 4$. **2)** Pour montrer que la loi $*$ est commutative, il faut vérifier que pour tout $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$, $a * b = b * a$. On a $a * b = a + b - 3$. Et $b * a = b + a - 3$. Puisque l'addition dans $\mathbb{Z}$ est commutative ($a+b = b+a$), on peut écrire $a + b - 3 = b + a - 3$. Donc, $a * b = b * a$. La loi $*$ est bien commutative.

Q: Exercice 1 : (3,5 points) Les partis I et II sont indépendantes. I -On munit l'ensemble $I = ]0,+\infty[$ de la loi de composition interne $*$ définie par : $(\forall (a,b)\in I\times I) \quad a* b = e^{\ln(a) \cdot \ln(b)}$ 1) Montrer que la loi $*$ est commutative et associative dans $I$. 2) Montr

Partie I: 1) La loi $*$ est commutative et associative. 2) L'élément neutre est $e = e^1 = e$. 3) a) $(I\setminus\{1\},*)$ est un groupe commutatif. b) $]1, +\infty[$ est un sous-groupe de $(I\setminus\{1\},*)$. 4) a) La loi $*$ est distributive par rapport à la loi $\times$. b) $(I,\times,*)$ est un corps commutatif. Partie II: 1) $A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 4 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. 2) Puisque $A^3 = 0$, la matrice $A$ est nilpotente et donc non inversible.

Mathématiques · 2ème Bac Sciences Maths B · 14 exercices

Méthode officielle

Étudier les lois de composition interne et démontrer qu'un ensemble muni d'une/deux lois est un groupe, anneau ou corps.

L'intuition

Imagine que tu as une collection d'objets, par exemple des nombres entiers, des matrices, ou même des transformations géométriques. Tu as aussi une manière de combiner deux de ces objets pour en obtenir un troisième. Cette manière de combiner, c'est ce qu'on appelle une "loi de composition".

Si le résultat de cette combinaison reste toujours dans ta collection, on parle de "loi de composition interne". Par exemple, si tu additionnes deux nombres entiers, tu obtiens toujours un nombre entier. Mais si tu soustrais deux nombres naturels (positifs), tu peux obtenir un nombre négatif qui n'est plus dans ta collection.

Ces lois peuvent avoir des propriétés intéressantes :

Commutativité : L'ordre dans lequel tu combines les objets n'a pas d'importance (comme $2+3 = 3+2$ ).
Associativité : Si tu combines trois objets, la manière dont tu les groupes n'affecte pas le résultat final (comme $(2+3)+4 = 2+(3+4)$ ).
Élément neutre : Il existe un objet "spécial" qui, combiné avec n'importe quel autre, ne le change pas (comme $0$ pour l'addition, ou $1$ pour la multiplication).
Symétrique : Pour chaque objet, il en existe un autre qui, combiné avec le premier, donne l'élément neutre (comme $-x$ pour $x$ avec l'addition, ou $1/x$ pour $x$ avec la multiplication).

Quand un ensemble et une ou deux lois de composition vérifient certaines de ces propriétés, ils forment une "structure algébrique". Les groupes, les anneaux et les corps sont les structures fondamentales que tu vas étudier. Elles permettent de généraliser des propriétés que tu connais déjà avec les nombres à des ensembles plus abstraits.

Le cours

I. Lois de composition interne

Soit $E$ un ensemble non vide.

Définition 1 : Loi de composition interne (L.C.I) Une loi de composition interne $*$ sur $E$ est une application de $E \times E$ dans $E$ . On note souvent $x * y$ l'image du couple $(x,y)$ par cette application.

$*: E \times E \to E$

$(x,y) \mapsto x * y$

La propriété essentielle est que pour tout $x,y \in E$ , le résultat $x * y$ doit appartenir à $E$ . On dit que $E$ est stable par la loi $*$ .

Vérifie que tu suis

Soit $E = \mathbb{N}$ et la loi $*$ définie par $x * y = x - y$ . Est-ce une loi de composition interne sur $\mathbb{N}$ ?

Définition 2 : Commutativité Une loi $*$ sur $E$ est dite commutative si pour tout $(x,y) \in E \times E$ , on a $x * y = y * x$ .

Définition 3 : Associativité Une loi $*$ sur $E$ est dite associative si pour tout $(x,y,z) \in E^3$ , on a $(x * y) * z = x * (y * z)$ .

Vérifie que tu suis

Soit $E = \mathbb{R}$ et la loi $*$ définie par $x * y = x + y + xy$ . Cette loi est-elle associative ?

Définition 4 : Élément neutre Un élément $e \in E$ est appelé élément neutre pour la loi $*$ si pour tout $x \in E$ , on a $x * e = e * x = x$ . S'il existe, l'élément neutre est unique.

Définition 5 : Élément symétrisable et symétrique Soit une loi $*$ sur $E$ admettant un élément neutre $e$ . Un élément $x \in E$ est dit symétrisable s'il existe un élément $x' \in E$ tel que $x * x' = x' * x = e$ . L'élément $x'$ est appelé le symétrique de $x$ . Si la loi est associative, le symétrique d'un élément, s'il existe, est unique.

II. Structures algébriques fondamentales

1. Groupe

Définition 6 : Groupe Un ensemble $G$ non vide muni d'une loi de composition interne $*$ est un groupe si :

La loi $*$ est associative.
La loi $*$ admet un élément neutre $e \in G$ .
Tout élément $x \in G$ admet un symétrique $x' \in G$ .

Si de plus la loi $*$ est commutative, le groupe $(G,*)$ est appelé groupe commutatif ou groupe abélien.

Vérifie que tu suis

L'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels, $M_2(\mathbb{R})$ , muni de la multiplication matricielle, est-il un groupe commutatif ?

Définition 7 : Sous-groupe Soit $(G,*)$ un groupe et $H$ une partie non vide de $G$ ( $H \subseteq G$ , $H \neq \emptyset$ ). $H$ est un sous-groupe de $(G,*)$ si $(H,*)$ est lui-même un groupe. Cela implique que $H$ est stable par $*$ , contient l'élément neutre de $G$ , et que tout élément de $H$ a son symétrique dans $H$ .

Théorème (caractérisation d'un sous-groupe) : $H$ est un sous-groupe de $(G,*)$ si et seulement si :

$H \neq \emptyset$ .
Pour tout $(x,y) \in H^2$ , $x * y' \in H$ (où $y'$ est le symétrique de $y$ dans $G$ ).

1
Démonstration du théorème de caractérisation d'un sous-groupe :
2
Sens direct ( $\Rightarrow$ ) : Si $H$ est un sous-groupe.
3
1. $H \neq \emptyset$ par définition d'un sous-groupe.
4
1. Soient $x,y \in H$ . Puisque $H$ est un groupe, $y$ a un symétrique $y'$ dans $H$ .
5
1. Puisque $H$ est stable par $*$ , $x * y' \in H$ .
6
Sens réciproque ( $\Leftarrow$ ) : Si $H \neq \emptyset$ et $\forall (x,y) \in H^2, x * y' \in H$ .
7
1. $H$ contient l'élément neutre $e$ :
8
Puisque $H \neq \emptyset$ , il existe $x \in H$ . En prenant $y=x$ , on a $x * x' = e \in H$ .
9
1. Tout élément de $H$ a son symétrique dans $H$ :
10
Soit $x \in H$ . On sait que $e \in H$ . En prenant $y=x$ , on a $e * x' = x' \in H$ .
11
1. $H$ est stable par $*$ :
12
Soient $x,y \in H$ . On sait que $y' \in H$ . En prenant $y'$ comme deuxième élément, on a $x * (y')' = x * y \in H$ .
13
1. La loi $*$ est associative sur $H$ :
14
L'associativité est héritée de $G$ car $H \subseteq G$ .
15
Donc $(H,*)$ est un groupe, et $H$ est un sous-groupe de $(G,*)$ .

Définition 8 : Homomorphisme de groupes Soient $(G,*)$ et $(G', \circ)$ deux groupes. Une application $f: G \to G'$ est un homomorphisme de groupes si pour tout $(x,y) \in G^2$ , on a $f(x * y) = f(x) \circ f(y)$ .

2. Anneau

Définition 9 : Anneau Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition interne, une addition $+$ et une multiplication $\times$ , est un anneau si :

$(A,+)$ est un groupe commutatif.
La loi $\times$ est associative.
La loi $\times$ est distributive par rapport à la loi $+$ : Pour tout $(x,y,z) \in A^3$ , $x \times (y+z) = (x \times y) + (x \times z)$ et $(y+z) \times x = (y \times x) + (z \times x)$ .

L'élément neutre de l'addition est noté $0_A$ (ou $0$ ). Si la multiplication admet un élément neutre $1_A$ (ou $1$ ), on dit que l'anneau est unitaire. Si la multiplication est commutative, l'anneau est commutatif. Un anneau est dit intègre si $1_A \neq 0_A$ et si pour tout $(x,y) \in A^2$ , $x \times y = 0_A \Rightarrow x = 0_A$ ou $y = 0_A$ .

Vérifie que tu suis

L'ensemble $\mathbb{Z}$ muni de l'addition et de la multiplication habituelles $(\mathbb{Z},+, \times)$ est-il un anneau ?

3. Corps

Définition 10 : Corps Un ensemble $K$ muni de deux lois de composition interne, une addition $+$ et une multiplication $\times$ , est un corps si :

$(K,+, \times)$ est un anneau unitaire.
$1_K \neq 0_K$ .
Tout élément non nul de $K$ admet un symétrique pour la multiplication. C'est-à-dire, $(K \setminus \{0_K\}, \times)$ est un groupe.

Si la multiplication est commutative, le corps est dit commutatif.

Vérifie que tu suis

L'ensemble $\mathbb{Z}$ muni de l'addition et de la multiplication habituelles $(\mathbb{Z},+, \times)$ est-il un corps ?

III. Morphismes de structures

Définition 11 : Isomorphisme Un homomorphisme $f: G \to G'$ est un isomorphisme si $f$ est bijectif. Si $f: G \to G'$ est un isomorphisme, on dit que les groupes $(G,*)$ et $(G', \circ)$ sont isomorphes, et on note $G \cong G'$ . Les groupes isomorphes ont la même structure algébrique.

Définition 12 : Endomorphisme et Automorphisme Un homomorphisme $f: G \to G$ est un endomorphisme. Un isomorphisme $f: G \to G$ est un automorphisme.

Des définitions similaires existent pour les anneaux et les corps.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : On munit l'ensemble $I = ]0,+\infty[$ de la loi de composition interne $*$ définie par : $(\forall (a,b)\in I\times I) \quad a* b = e^{\ln(a) \cdot \ln(b)}$

Montrer que la loi $*$ est commutative et associative dans $I$ .
Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre $e$ que l'on déterminera.
a-Montrer que $(I\setminus\{1\},*)$ est un groupe commutatif.

1
1. Montrer la commutativité et l'associativité :
2
Commutativité :
3
Soient $a,b \in I$ .
4
$a * b = e^{\ln(a) \cdot \ln(b)}$
5
$b * a = e^{\ln(b) \cdot \ln(a)}$
6
Puisque la multiplication des réels est commutative ( $\ln(a) \cdot \ln(b) = \ln(b) \cdot \ln(a)$ ), on a $a * b = b * a$ .
7
Donc la loi $*$ est commutative.
8
Associativité :
9
Soient $a,b,c \in I$ .
10
$(a * b) * c = (e^{\ln(a) \cdot \ln(b)}) * c$
11
$= e^{\ln(e^{\ln(a) \cdot \ln(b)}) \cdot \ln(c)}$
12
$= e^{(\ln(a) \cdot \ln(b)) \cdot \ln(c)}$
13
$a * (b * c) = a * (e^{\ln(b) \cdot \ln(c)})$
14
$= e^{\ln(a) \cdot \ln(e^{\ln(b) \cdot \ln(c)})}$
15
$= e^{\ln(a) \cdot (\ln(b) \cdot \ln(c))}$
16
Puisque la multiplication des réels est associative, $(\ln(a) \cdot \ln(b)) \cdot \ln(c) = \ln(a) \cdot (\ln(b) \cdot \ln(c))$ .
17
Donc $(a * b) * c = a * (b * c)$ . La loi $*$ est associative.
18
1. Déterminer l'élément neutre $e$ :
19
Recherche de $e \in I$ tel que pour tout $a \in I$ , $a * e = e * a = a$ .
20
Puisque la loi est commutative, il suffit de vérifier $a * e = a$ .
21
$a * e = e^{\ln(a) \cdot \ln(e)} = a$
22
En appliquant $\ln$ aux deux membres : $\ln(a) \cdot \ln(e) = \ln(a)$
23
Deux cas :
24
- Si $\ln(a) = 0$ , c'est-à-dire $a=1$ . Alors $1 * e = e^{\ln(1) \cdot \ln(e)} = e^{0 \cdot \ln(e)} = e^0 = 1$ . Cela est vérifié pour tout $e$ .
25
- Si $\ln(a) \neq 0$ . Alors $\ln(e) = 1$ , ce qui implique $e = e^1 = e$ .
26
Vérifions que $e$ est bien l'élément neutre : Pour tout $a \in I$ , $a * e = e^{\ln(a) \cdot \ln(e)} = e^{\ln(a) \cdot 1} = e^{\ln(a)} = a$ .
27
L'élément neutre est $e$ .
28
1. a- Montrer que $(I\setminus\{1\},*)$ est un groupe commutatif.
29
On pose $G = I\setminus\{1\} = ]0,1[ \cup ]1,+\infty[$ .
30
1. Stabilité : Soient $a,b \in G$ . On a $a \neq 1$ et $b \neq 1$ .
31
$a * b = e^{\ln(a) \cdot \ln(b)}$ . Pour que $a*b \in G$ , il faut que $a*b \neq 1$ .
32
$e^{\ln(a) \cdot \ln(b)} = 1 \Leftrightarrow \ln(a) \cdot \ln(b) = 0$ .
33
Ceci implique $\ln(a)=0$ ou $\ln(b)=0$ , soit $a=1$ ou $b=1$ .
34
Or $a \neq 1$ et $b \neq 1$ . Donc $\ln(a) \neq 0$ et $\ln(b) \neq 0$ .
35
Par conséquent, $\ln(a) \cdot \ln(b) \neq 0$ , donc $a*b \neq 1$ .
36
De plus, $a,b \in I \Rightarrow \ln(a), \ln(b) \in \mathbb{R}$ . Donc $\ln(a) \cdot \ln(b) \in \mathbb{R}$ .
37
$e^{\ln(a) \cdot \ln(b)} \in ]0,+\infty[ = I$ .
38
Donc $G$ est stable par $*$ .
39
1. Associativité : La loi $*$ est associative sur $I$ , donc elle l'est aussi sur $G \subset I$ .
40
1. Élément neutre : L'élément neutre $e$ (le nombre d'Euler) appartient à $G$ car $e \approx 2.718 \neq 1$ .
41
1. Symétrique : Soit $a \in G$ . On cherche $a' \in G$ tel que $a * a' = e$ .
42
$e^{\ln(a) \cdot \ln(a')} = e$
43
$\ln(a) \cdot \ln(a') = \ln(e) = 1$
44
Puisque $a \in G$ , $a \neq 1$ , donc $\ln(a) \neq 0$ .
45
On peut diviser par $\ln(a)$ : $\ln(a') = \frac{1}{\ln(a)}$ .
46
Donc $a' = e^{\frac{1}{\ln(a)}}$ .
47
Vérifions que $a' \in G$ .
48
$a' = e^{\frac{1}{\ln(a)}} \in I = ]0,+\infty[$ est toujours vrai.
49
Il faut aussi que $a' \neq 1$ .
50
$e^{\frac{1}{\ln(a)}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\ln(a)} = 0$ , ce qui est impossible.
51
Donc $a' \neq 1$ , et $a' \in G$ .
52
1. Commutativité : La loi $*$ est commutative sur $I$ , donc elle l'est aussi sur $G \subset I$ .
53
Conclusion : $(I\setminus\{1\},*)$ est un groupe commutatif.

La méthode

Pour démontrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe, un anneau ou un corps, suis ces étapes :

Vérifier que la loi est une L.C.I. :
- Pour tout $x,y$ dans l'ensemble, $x*y$ doit être dans l'ensemble. C'est la première chose à faire. Si ce n'est pas le cas, ce n'est même pas la peine de continuer.
Pour un groupe $(G,*)$ :
- Associativité : Montre que $(x*y)*z = x*(y*z)$ pour tout $x,y,z \in G$ .
- Élément neutre : Cherche $e \in G$ tel que $x*e = e*x = x$ pour tout $x \in G$ .
- Symétrique : Pour chaque $x \in G$ , cherche $x' \in G$ tel que $x*x' = x'*x = e$ .
- Commutativité (si demandé) : Montre que $x*y = y*x$ pour tout $x,y \in G$ .
Pour un anneau $(A,+, \times)$ :
- $(A,+)$ est un groupe commutatif : Applique les étapes pour un groupe à la loi $+$ .
- Associativité de $\times$ : Montre que $(x \times y) \times z = x \times (y \times z)$ .
- Distributivité de $\times$ sur $+$ : Montre que $x \times (y+z) = (x \times y) + (x \times z)$ et $(y+z) \times x = (y \times x) + (z \times x)$ .
- Unitaire (si demandé) : Cherche $1_A \in A$ tel que $x \times 1_A = 1_A \times x = x$ .
- Commutatif (si demandé) : Montre que $x \times y = y \times x$ .
- Intègre (si demandé) : Montre que $1_A \neq 0_A$ et que $x \times y = 0_A \Rightarrow x = 0_A$ ou $y = 0_A$ .
Pour un corps $(K,+, \times)$ :
- $(K,+, \times)$ est un anneau unitaire : Applique les étapes pour un anneau.
- $1_K \neq 0_K$ .
- $(K \setminus \{0_K\}, \times)$ est un groupe : Pour tout $x \in K \setminus \{0_K\}$ , cherche $x^{-1} \in K \setminus \{0_K\}$ tel que $x \times x^{-1} = x^{-1} \times x = 1_K$ .

Pièges classiques

Oublier la stabilité : Toujours commencer par vérifier que la loi est bien une L.C.I. sur l'ensemble donné. Si $x*y$ sort de l'ensemble, ce n'est pas une L.C.I.
Confondre l'élément neutre et le symétrique : L'élément neutre est unique pour la loi, le symétrique dépend de l'élément.
Oublier la condition $1_A \neq 0_A$ pour un anneau unitaire ou un corps : C'est une condition essentielle.
Ne pas vérifier que le symétrique appartient à l'ensemble : Quand tu trouves un symétrique $x'$ , assure-toi qu'il est bien dans l'ensemble de départ (ou le sous-ensemble considéré). Par exemple, pour un groupe $(G,*)$ , si $x \in G$ , son symétrique $x'$ doit être dans $G$ .
Erreur de calcul dans les démonstrations d'associativité ou de distributivité : Ces calculs peuvent être longs et fastidieux, mais une erreur peut invalider toute la démonstration. Sois méthodique.
Oublier la commutativité pour les groupes abéliens ou les corps commutatifs : C'est une propriété supplémentaire à démontrer.
Pour les matrices, supposer la commutativité : La multiplication matricielle n'est généralement pas commutative.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des structures algébriques est un exercice quasi systématique au baccalauréat, représentant environ 3.5 points. Il est souvent indépendant des autres exercices.

Les questions typiques sont :

Vérifier les propriétés d'une L.C.I. : Commutativité, associativité, existence d'un élément neutre. (1 à 1.5 points)
Démontrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe (souvent commutatif). (1.5 à 2 points)
Démontrer qu'un ensemble muni de deux lois est un anneau (souvent unitaire et/ou commutatif). (2 à 2.5 points)
Démontrer qu'un ensemble muni de deux lois est un corps (souvent commutatif). (2.5 à 3 points)
Étudier un sous-groupe ou un sous-anneau. (0.5 à 1 point)
Étudier un homomorphisme ou un isomorphisme entre deux structures. (0.5 à 1 point)

La rédaction doit être rigoureuse. Chaque étape de la démonstration doit être justifiée. Par exemple, pour l'associativité, tu dois écrire les deux expressions $(x*y)*z$ et $x*(y*z)$ et montrer qu'elles sont égales, en citant les propriétés des opérations sous-jacentes (comme la multiplication des réels est associative).

Voici un exemple de barème typique pour un exercice de 3.5 points :

Partie I : Étude d'une L.C.I.
- Commutativité : 0.5 pt
- Associativité : 0.5 pt
- Élément neutre (existence et détermination) : 0.5 pt
Partie II : Étude d'un groupe
- Stabilité de l'ensemble (si c'est un sous-ensemble) : 0.25 pt
- Vérification des axiomes du groupe (associativité héritée, neutre, symétrique) : 1 pt
- Commutativité du groupe (si demandé) : 0.25 pt
Partie III : Étude d'un homomorphisme ou d'un anneau/corps
- Homomorphisme : 0.5 pt
- Isomorphisme (si bijectivité) : 0.25 pt
- Ou pour un anneau/corps, les propriétés restantes : 0.5 à 1 pt

La clé est de bien connaître les définitions et les méthodes de démonstration pour chaque propriété. Entraîne-toi avec les annales, c'est le meilleur moyen de maîtriser ce chapitre.

Exercices corrigés

Exercice 1·Facile

Soit l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels. On considère la loi de composition interne $\top$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad x \top y = x + y + xy$

Déterminer, s'il existe, l'élément neutre $e$ de la loi $\top$ dans $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

Un élément $e \in \mathbb{R}$ est l'élément neutre de la loi $\top$ si et seulement si pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $x \top e = x$ et $e \top x = x$ .

Commençons par l'équation $x \top e = x$ : $x + e + xe = x$ $e + xe = 0$ $e(1+x) = 0$ Pour que cette égalité soit vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$ (par exemple pour $x=1$ , $e(1+1)=0 \implies 2e=0 \implies e=0$ ), il faut que $e=0$ .

Maintenant, vérifions si $e=0$ est bien l'élément neutre en testant les deux conditions : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $x \top 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x + 0 + 0 = x$ . $0 \top x = 0 + x + 0 \cdot x = 0 + x + 0 = x$ .

Les deux conditions sont satisfaites. Donc, l'élément neutre de la loi $\top$ est $e=0$ .

Écrire la définition de l'élément neutre : $x \top e = x$ et $e \top x = x$ .
Résoudre l'équation $x \top e = x$ pour trouver une valeur candidate pour $e$ .
Vérifier que cette valeur candidate satisfait les deux conditions de l'élément neutre pour tout $x$ .

Exercice 2·Facile

Soit l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs. On définit sur $\mathbb{Z}$ la loi de composition interne $*$ par :

$\forall (a,b) \in \mathbb{Z}^2, \quad a * b = a + b - 3$

1) Calculer $5 * 2$ . 2) Montrer que la loi $*$ est commutative.

Voir la correction

1) Pour calculer $5 * 2$ , on remplace $a$ par $5$ et $b$ par $2$ dans la définition de la loi : $5 * 2 = 5 + 2 - 3 = 7 - 3 = 4$ .

2) Pour montrer que la loi $*$ est commutative, il faut vérifier que pour tout $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ , $a * b = b * a$ . On a $a * b = a + b - 3$ . Et $b * a = b + a - 3$ . Puisque l'addition dans $\mathbb{Z}$ est commutative ( $a+b = b+a$ ), on peut écrire $a + b - 3 = b + a - 3$ . Donc, $a * b = b * a$ . La loi $*$ est bien commutative.

Substituer les valeurs données dans la définition de la loi.
Comparer $a*b$ et $b*a$ en utilisant la commutativité de l'addition dans $\mathbb{Z}$ .

Exercice 3·Moyen

On munit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de la loi de composition interne $*$ définie par :

$\forall (x,y),(x',y')\in\mathbb{R}^2:\quad (x+iy)*(x'+iy')=(xx'+yx')+iy'$

(c'est-à-dire pour $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ , $z*z'=(xx'+yx')+iy'$ ).

Partie I : 1-a) Vérifier que $1*2=2$ . b) Montrer que la loi $*$ n'est pas commutative.

2- Montrer que la loi $*$ est associative.

3-a) Vérifier que $1*(1+2i)=2$ . b) En déduire que $(\mathbb{C},*)$ n'est pas un groupe.

4- Soit $E$ le sous-ensemble de $\mathbb{C}$ défini par $E=\{x+iy\,/\,x\in\mathbb{R}^*, y\in\mathbb{R}\}$ . a) Montrer que $E$ est stable pour la loi $*$ dans $\mathbb{C}$ . b) Montrer que $(E,*)$ est un groupe non commutatif.

Partie II : On considère les sous-ensembles de $E$ définis par : $F=\{yi\,/\,y\in\mathbb{R}^*\}$ (à préciser selon condition d'appartenance à $E$ ) et $G=\{x+i\,/\,x\in\mathbb{R}\}$ .

1- Montrer que $F$ est un sous-groupe de $(E,*)$ .

2- On considère l'application $\varphi$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{C}$ par $\forall x\in\mathbb{R}, \varphi(x)=x+i$ . a) Montrer que $\varphi(\mathbb{R})=G$ . b) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(\mathbb{C},*)$ . c) En déduire que $(G,*)$ est un groupe commutatif.

Voir la correction

1-a) $1*2=2$ (vérifié par calcul direct). b) $*$ non commutative (contre-exemple avec $1*i \ne i*1$ ou similaire). 2) $*$ est associative. 3) $1*(1+2i)=2$ , et comme $2$ n'a pas d'inverse (ou l'élément neutre pose problème), $(\mathbb{C},*)$ n'est pas un groupe. 4) $E$ stable, $(E,*)$ groupe non commutatif d'élément neutre $1$ . II-1) $F$ sous-groupe de $(E,*)$ . 2) $\varphi(\mathbb{R})=G$ , $\varphi$ homomorphisme, donc $(G,*)$ groupe commutatif isomorphe à $(\mathbb{R},+)$ .

I-1-a) Appliquer la définition avec $x=1,y=0,x'=2,y'=0$ : $1*2=(1\cdot2+0)+i\cdot0=2$ . b) Calculer $2*1$ et comparer à $1*2$ pour montrer une différence. 2) Développer $(z*z')*z''$ et $z*(z'*z'')$ en coordonnées et vérifier l'égalité algébrique. 3-a) Calculer avec $x=1,y=0,x'=1,y'=2$ . b) Montrer que l'élément neutre à droite/gauche n'existe pas de façon cohérente (ou qu'un élément n'a pas d'inverse), concluant que $(\mathbb{C},*)$ n'est pas un groupe (absence d'élément neutre unique valable pour tous les éléments, notamment $0$ n'a pas d'inverse). 4-a) Montrer que si $x\neq0$ et $x'\neq0$ , alors la partie réelle du résultat $xx'+yx'=x'(x+y)$ ... vérifier que la composante réelle reste non nulle car $x'\neq0$ (et la structure du produit garde $x\ne 0$ ). b) Trouver l'élément neutre $e=1$ (i.e. $1+0i$ ), montrer que chaque élément de $E$ admet un inverse, associativité héritée de $\mathbb{C}$ , non commutativité déjà montrée en I-1-b. II-1) Vérifier que $F$ contient l'élément neutre convenable, est stable par $*$ , et que chaque élément a son inverse dans $F$ . 2-a) Montrer par double inclusion que l'image de $\varphi$ est exactement $G$ . b) Vérifier $\varphi(a+b)=\varphi(a)*\varphi(b)$ pour tous $a,b\in\mathbb{R}$ en utilisant la définition de $*$ . c) Comme $(\mathbb{R},+)$ est commutatif et $\varphi$ est un homomorphisme bijectif vers $G$ , $(G,*)$ hérite de la commutativité et de la structure de groupe.

Exercice 4·Moyen

Exercice 1 : (3,5 points) Les partis I et II sont indépendantes. I -On munit l'ensemble $I = ]0,+\infty[$ de la loi de composition interne $*$ définie par : $(\forall (a,b)\in I\times I) \quad a* b = e^{\ln(a) \cdot \ln(b)}$

Montrer que la loi $*$ est commutative et associative dans $I$ .
Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre $e$ que l'on déterminera.
a-Montrer que $(I\setminus\{1\},*)$ est un groupe commutatif. $(I \setminus \{1\}$ désigne l'ensemble $I$ privé de 1). b-Montrer que $]1, +\infty[$ est un sous-groupe de $(I\setminus\{1\},*)$ . 4)On munit $I$ de la loi de composition interne $\times$ ( $\times$ est la multiplication dans $\mathbb{R}$ ) a-Montrer que la loi $*$ est distributive par rapport à la loi $\times$ b-Montrer que $(I,\times,*)$ est un corps commutatif. II-On considère la matrice : $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$
Calculer $A^2$ et $A^3$
En déduire que la matrice $A$ est non inversible.

Voir la correction

Partie I:

La loi $*$ est commutative et associative.
L'élément neutre est $e = e^1 = e$ .
a) $(I\setminus\{1\},*)$ est un groupe commutatif. b) $]1, +\infty[$ est un sous-groupe de $(I\setminus\{1\},*)$ .
a) La loi $*$ est distributive par rapport à la loi $\times$ . b) $(I,\times,*)$ est un corps commutatif. Partie II:
$A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 4 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .
Puisque $A^3 = 0$ , la matrice $A$ est nilpotente et donc non inversible.

Vérifier les propriétés de commutativité et associativité pour la loi $*$ .
Trouver l'élément $e$ tel que $a*e = e*a = a$ .
Vérifier les axiomes du groupe pour $(I\setminus\{1\},*)$ et la condition de sous-groupe pour $]1, +\infty[$ .
Vérifier la distributivité et les axiomes du corps pour $(I,\times,*)$ .
Effectuer les calculs matriciels pour $A^2$ et $A^3$ .
Utiliser le résultat de $A^3$ pour déduire l'inversibilité de $A$ .

Exercice 5·Moyen

On rappelle que $(\mathbb{R}, +, \times)$ est un corps commutatif, que $(M_2(\mathbb{R}), +)$ est un espace vectoriel réel et que $(M_2(\mathbb{R}), +, \times)$ est un anneau unitaire, non commutatif et non intègre.

On pose :

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

et pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ :

$M(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$

On définit l'ensemble :

$E = \{M(x,y) \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2\}$

1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $(M_2(\mathbb{R}), +)$ de dimension 2.

2.a) Montrer que $E$ est stable pour la multiplication matricielle dans $(M_2(\mathbb{R}), \times)$ .

2.b) Montrer que $(E, +, \times)$ est un anneau unitaire et commutatif.

3. On pose $E^* = E \setminus \{M(0,0)\}$ et on considère l'application $\varphi$ de $\mathbb{C}^*$ vers $E^*$ définie par :

$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad \varphi(x + iy) = M\left(x, y\right)$

3.a) Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme de groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$ sur $(E^*, \times)$ .

3.b) En déduire que $(E^*, \times)$ est un groupe commutatif.

3.c) Montrer que $J^{2017} = I$ . Puis déterminer l'inverse de la matrice $M(3, 3i)$ dans $(E^*, \times)$ .

4. Montrer que $(E, +, \times)$ est un corps commutatif.

Voir la correction

1. $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de $(M_2(\mathbb{R}), +)$ avec base $\{I, J\}$ .

2.a) Pour $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2$ : $M(x_1, y_1) \times M(x_2, y_2) = M(x_1x_2 + y_1y_2, x_1y_2 + y_1x_2) \in E$

2.b) $(E, +, \times)$ est un anneau unitaire commutatif avec élément unité $I$ et multiplication commutative.

3.a) $\varphi$ est un isomorphisme de groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$ sur $(E^*, \times)$ car : $\varphi((x_1+iy_1)(x_2+iy_2)) = \varphi(x_1+iy_1) \times \varphi(x_2+iy_2)$ et $\varphi$ est bijective.

3.b) $(E^*, \times)$ est un groupe commutatif isomorphe à $(\mathbb{C}^*, \times)$ .

3.c) $J^2 = I$ donc $J^{2017} = J^{2016} \times J = I \times J = J$ . L'inverse de $M(3, 3i)$ est $M\left(\frac{3}{18}, \frac{-3}{18}\right) = M\left(\frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\right)$ .

4. $(E, +, \times)$ est un corps commutatif : pour tout $M(x,y) \neq M(0,0)$ , il existe un inverse dans $E^*$ qui, par associativité avec la structure d'anneau, en fait un corps.

Étapes complètes :

Sous-espace vectoriel : Montrer que $E$ contient $M(0,0)$ , est stable par addition ( $M(x_1,y_1) + M(x_2,y_2) = M(x_1+x_2, y_1+y_2) \in E$ ) et par multiplication scalaire. Base : $\{I, J\}$ car $M(x,y) = xI + yJ$ .

2.a) Stabilité multiplicative :

$M(x_1,y_1) \times M(x_2,y_2) = \begin{pmatrix} x_1x_2+y_1y_2 & x_1y_2+y_1x_2 \\ x_1y_2+y_1x_2 & x_1x_2+y_1y_2 \end{pmatrix} = M(x_1x_2+y_1y_2, x_1y_2+y_1x_2) \in E$

2.b) Anneau commutatif : $(E,+)$ est groupe abélien ; distributivité héritée de $M_2(\mathbb{R})$ ; $I \in E$ est élément unité ; $M(x_1,y_1) \times M(x_2,y_2) = M(x_2,y_2) \times M(x_1,y_1)$ (commutativité du produit en $\mathbb{R}$ ).

3.a) Isomorphisme : $\varphi(z_1z_2) = M(\text{Re}(z_1z_2), \text{Im}(z_1z_2)) = M(\text{Re}(z_1), \text{Im}(z_1)) \times M(\text{Re}(z_2), \text{Im}(z_2)) = \varphi(z_1) \times \varphi(z_2)$ ; bijection évidente.

3.b) Groupe commutatif : Image de groupe commutatif par isomorphisme.

3.c) Puissance : $J^2 = I \Rightarrow J^{2017} = J^{2 \times 1008 + 1} = J$ . Pour l'inverse de $M(3,3i)$ , noter que dans $\mathbb{C}^*$ , $(3+3i\cdot i)^{-1} = (3-3i)/(9+9) = (3-3i)/18$ , d'où l'inverse est $M(1/6, -1/6)$ .

Corps : Tout élément non nul de $E$ admet un inverse dans $E^*$ (par isomorphisme avec $\mathbb{C}^*$ qui est un corps).

Exercice 6·Moyen

On considère dans $\mathbb C\times\mathbb C^*$ la loi de composition interne $\top$ définie par :

$\forall (a,b),(c,d)\in\mathbb C\times\mathbb C^*:\quad (a,b)\top(c,d)=(ad+b\bar c,\ bd)$

où $\bar c$ est le conjugué du nombre complexe $c$ .

a) Vérifier que $(i,2)\top(1,i)=(2,2i)$ , puis calculer $(1,i)\top(i,2)$ . b) En déduire que la loi $\top$ n'est pas commutative dans $\mathbb C\times\mathbb C^*$ .
Montrer que la loi $\top$ est associative dans $\mathbb C\times\mathbb C^*$ .
Vérifier que $(0,1)$ est l'élément neutre pour $\top$ dans $\mathbb C\times\mathbb C^*$ .
a) Vérifier que $\forall (a,b)\in\mathbb C\times\mathbb C^*$ : $(a,b)\top\left(-\dfrac{a}{b\bar b},\dfrac{1}{\bar b}\right)=(0,1)$ . b) Montrer que $(\mathbb C\times\mathbb C^*,\top)$ est un groupe non commutatif.
a) Montrer que $\mathbb R\times\mathbb R^*$ est stable par la loi de composition interne $\top$ . b) Montrer que $\mathbb R\times\mathbb R^*$ est un sous-groupe du groupe $(\mathbb C\times\mathbb C^*,\top)$ .

Voir la correction

$(i,2)\top(1,i)=(2,2i)$ ; $(1,i)\top(i,2)=(2,2i)$ donc pas égal à $(i,2)\top(1,i)$ (loi non commutative) ; élément neutre $(0,1)$ ; symétrique de $(a,b)$ est $\left(-\frac{a}{b\bar b},\frac1{\bar b}\right)$ ; $(\mathbb C\times\mathbb C^*,\top)$ est un groupe non commutatif ; $\mathbb R\times\mathbb R^*$ est un sous-groupe.

1a) Appliquer directement la formule pour les deux calculs et comparer. 1b) Les deux résultats étant différents (ou en tout cas non nécessairement égaux en général), la loi n'est pas commutative — donner un contre-exemple concret si les deux calculs diffèrent. 2) Calculer $((a,b)\top(c,d))\top(e,f)$ et $(a,b)\top((c,d)\top(e,f))$ et vérifier l'égalité des deux composantes en développant. 3) Vérifier $(a,b)\top(0,1)=(a,b)$ et $(0,1)\top(a,b)=(a,b)$ par calcul direct. 4a) Calculer $(a,b)\top(-\frac{a}{b\bar b},\frac1{\bar b})$ et vérifier que cela donne $(0,1)$ . 4b) Combiner stabilité (implicite), associativité, élément neutre, existence de symétrique pour conclure à la structure de groupe ; non commutatif d'après 1b). 5a) Vérifier que si $a,c\in\mathbb R$ et $b,d\in\mathbb R^*$ alors $ad+b\bar c=ad+bc\in\mathbb R$ et $bd\in\mathbb R^*$ . 5b) $\mathbb R\times\mathbb R^*$ est non vide (contient le neutre $(0,1)$ ), stable par $\top$ (5a), et stable par passage au symétrique (vérifier que le symétrique d'un élément réel reste dans $\mathbb R\times\mathbb R^*$ ) : c'est donc un sous-groupe.

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