Nombres complexes

L'intuition

Imagine que tu es un architecte et que tu dois concevoir des bâtiments. Parfois, tu as besoin de mesurer des longueurs, des surfaces, des volumes. Ce sont des nombres réels. Mais que se passe-t-il si tu dois représenter des rotations, des transformations, des symétries dans un plan ? Les nombres réels seuls ne suffisent pas.

Les nombres complexes, c'est comme ajouter une dimension "imaginaire" à tes nombres habituels. C'est un outil super puissant pour décrire des mouvements et des positions dans un plan, bien au-delà de ce que les nombres réels peuvent faire sur une simple ligne. C'est un peu comme passer d'une carte routière 1D (une ligne) à une carte 2D (un plan) pour mieux naviguer.

Le cours

1. Forme algébrique d'un nombre complexe

Un nombre complexe $z$ s'écrit sous la forme $z = x + iy$, où :

• $x$ est la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
• $y$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.
• $i$ est l'unité imaginaire, telle que $i^2 = -1$.

L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$.

Propriétés :

• $z \in \mathbb{R} \iff \text{Im}(z) = 0$.
• $z$ est un imaginaire pur $\iff \text{Re}(z) = 0$.
• Deux nombres complexes $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ sont égaux si et seulement si $x = x'$ et $y = y'$.

Opérations dans $\mathbb{C}$ : Soient $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$.

• Addition : $z + z' = (x + x') + i(y + y')$.
• Soustraction : $z - z' = (x - x') + i(y - y')$.
• Multiplication : $z \cdot z' = (x + iy)(x' + iy') = xx' + ixy' + iyx' + i^2yy' = (xx' - yy') + i(xy' + yx')$.
• Division : Pour $z' \neq 0$, $\frac{z}{z'} = \frac{z \cdot \bar{z'}}{z' \cdot \bar{z'}} = \frac{(x + iy)(x' - iy')}{(x' + iy')(x' - iy')} = \frac{(xx' + yy') + i(yx' - xy')}{(x')^2 + (y')^2}$.

2. Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué d'un nombre complexe $z = x + iy$ est $\bar{z} = x - iy$.

Propriétés :

• $\overline{\bar{z}} = z$.
• $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$.
• $z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z)$.
• $z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2 = |z|^2$.
• $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$.
• $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$.
• $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ pour $z' \neq 0$.
• $z \in \mathbb{R} \iff z = \bar{z}$.
• $z$ est un imaginaire pur $\iff z = -\bar{z}$.

3. Module et argument d'un nombre complexe

a) Module

Le module d'un nombre complexe $z = x + iy$ est le réel positif $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Géométriquement, $|z|$ représente la distance du point $M(z)$ à l'origine $O$ dans le plan complexe.

Propriétés :

• $|z| = 0 \iff z = 0$.
• $|z| = |\bar{z}| = |-z|$.
• $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$.
• $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$ pour $z' \neq 0$.
• $|z + z'| \le |z| + |z'|$ (inégalité triangulaire).
• $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$.

b) Argument

Pour tout nombre complexe $z \neq 0$, il existe un réel $\theta$ appelé argument de $z$, noté $\arg(z)$, tel que $x = |z|\cos\theta$ et $y = |z|\sin\theta$. L'argument est défini à $2k\pi$ près ($k \in \mathbb{Z}$). On utilise souvent l'argument principal $\theta \in ]-\pi, \pi]$.

Propriétés :

• $\arg(z \cdot z') = \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$.
• $\arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi}$.
• $\arg(z^n) = n\arg(z) \pmod{2\pi}$.
• $\arg(\bar{z}) = -\arg(z) \pmod{2\pi}$.
• $\arg(-z) = \arg(z) + \pi \pmod{2\pi}$.

4. Forme trigonométrique et exponentielle

a) Forme trigonométrique

Tout nombre complexe $z \neq 0$ peut s'écrire sous la forme $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$, où $\theta = \arg(z)$.

b) Forme exponentielle

En utilisant la formule d'Euler, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, la forme trigonométrique devient la forme exponentielle : $z = |z|e^{i\theta}$.

Formule de Moivre : Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$, soit $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.

5. Racines $n$-ièmes d'un nombre complexe

Soit $Z = Re^{i\alpha}$ un nombre complexe non nul. Les racines $n$-ièmes de $Z$ sont les nombres complexes $z$ tels que $z^n = Z$. Elles sont données par la formule :

$z_k = R^{1/n}e^{i\frac{\alpha + 2k\pi}{n}} \quad \text{pour } k = 0, 1, \dots, n-1$

Géométriquement, les images des racines $n$-ièmes de $Z$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $R^{1/n}$ centré à l'origine.

6. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

L'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{C}$ et $a \neq 0$. Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Si $\Delta = 0$, il y a une solution double $z = -\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta \neq 0$, il y a deux solutions distinctes $z_1 = \frac{-b - \delta}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + \delta}{2a}$, où $\delta$ est une racine carrée complexe de $\Delta$ (c'est-à-dire $\delta^2 = \Delta$).

7. Interprétation géométrique

Le plan complexe est un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$.

• Le point $M$ d'affixe $z = x + iy$ a pour coordonnées $(x, y)$.
• Le vecteur $\vec{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$.
• La distance $AB = |z_B - z_A|$.
• L'angle $(\vec{u}, \vec{AB})$ a pour mesure $\arg(z_B - z_A) \pmod{2\pi}$.
• L'angle $(\vec{AB}, \vec{CD})$ a pour mesure $\arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \pmod{2\pi}$.

Transformations complexes :

• Translation : $z' = z + b$. Le vecteur de translation a pour affixe $b$.
• Homothétie de centre $\Omega(w)$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$ : $z' - w = k(z - w)$.
• Rotation de centre $\Omega(w)$ et d'angle $\alpha$ : $z' - w = e^{i\alpha}(z - w)$.
• Similitude directe de centre $\Omega(w)$, de rapport $k > 0$ et d'angle $\alpha$ : $z' - w = ke^{i\alpha}(z - w) = a(z - w)$ avec $a = ke^{i\alpha}$. Si $a \neq 1$, le centre $w$ est le point fixe de la transformation : $w = \frac{b}{1-a}$ pour $z' = az+b$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : Partie I : Soit $m\in\mathbb{C}^*$. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E) : z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0$

1-a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=(im)^2$. b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$. 2- Soient $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de $(E)$. Mettre sous la forme exponentielle $z_1z_2$ dans le cas où $m=re^{i\theta}$ ($r\in\mathbb{R}^{*}_+$, $\theta\in\mathbb{R}$).

Solution :

1-a) Vérification du discriminant : L'équation est de la forme $az^2 + bz + c = 0$ avec $a=1$, $b=-(2+i)m$ et $c=m^2(1+i)$. Le discriminant $\Delta$ est donné par la formule $\Delta = b^2 - 4ac$.

Le discriminant est bien $\Delta=(im)^2$.

1-b) Résolution de l'équation $(E)$ : On a $\Delta = (im)^2$. Une racine carrée de $\Delta$ est $\delta = im$. Les solutions de l'équation $(E)$ sont données par $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$.

Les solutions de l'équation $(E)$ sont $z_1 = m$ et $z_2 = m(1+i)$.

2) Forme exponentielle de $z_1z_2$ : On a $z_1 = m$ et $z_2 = m(1+i)$. Donc $z_1z_2 = m \cdot m(1+i) = m^2(1+i)$. On nous donne $m=re^{i\theta}$. Donc $m^2 = (re^{i\theta})^2 = r^2e^{i2\theta}$. Il faut mettre $(1+i)$ sous forme exponentielle. $|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. $\arg(1+i) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$ (car $1+i$ est dans le premier quadrant). Donc $1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$. Alors,

La forme exponentielle de $z_1z_2$ est $\sqrt{2}r^2e^{i(2\theta + \frac{\pi}{4})}$.

La méthode

Pour aborder les exercices de nombres complexes, suis ces étapes clés :

1. Identifier la forme la plus adaptée :

   • Forme algébrique ($x+iy$) : Pour les additions, soustractions, calcul de $\text{Re}(z)$, $\text{Im}(z)$, conjugué, et pour résoudre des équations du type $z=z'$.
   • Forme trigonométrique ($|z|(\cos\theta + i\sin\theta)$) ou exponentielle ($|z|e^{i\theta}$) : Pour les multiplications, divisions, puissances, racines $n$-ièmes, et pour les interprétations géométriques (rotations, homothéties, angles).

2. Passer d'une forme à l'autre :

   • Algébrique $\to$ Exponentielle :
     • Calculer le module $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$.
     • Calculer l'argument $\theta$ en résolvant $\cos\theta = x/|z|$ et $\sin\theta = y/|z|$. Attention au quadrant !
   • Exponentielle $\to$ Algébrique :
     • Calculer $x = |z|\cos\theta$ et $y = |z|\sin\theta$.

3. Pour les équations du second degré $az^2+bz+c=0$ :

   • Calculer $\Delta = b^2-4ac$.
   • Si $\Delta$ est un réel positif, les racines sont réelles.
   • Si $\Delta$ est un réel négatif, $\Delta = -|\Delta| = i^2|\Delta| = (i\sqrt{|\Delta|})^2$. Les racines sont complexes conjuguées.
   • Si $\Delta$ est un complexe non réel, trouver une racine carrée $\delta$ de $\Delta$ (poser $\delta = u+iv$ et résoudre $(u+iv)^2 = \Delta$). Les solutions sont alors $\frac{-b \pm \delta}{2a}$.

4. Interprétation géométrique :

   • Affixe d'un point $M(x,y)$ : $z = x+iy$.
   • Affixe d'un vecteur $\vec{AB}$ : $z_B - z_A$.
   • Distance $AB$ : $|z_B - z_A|$.
   • Angle $(\vec{u}, \vec{AB})$ : $\arg(z_B - z_A)$.
   • Angle $(\vec{AB}, \vec{CD})$ : $\arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right)$.
   • Alignement de points $A, B, C$ : $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = 0 \pmod{\pi}$ (le rapport est réel).
   • Orthogonalité de droites $(AB)$ et $(CD)$ : $\arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) = \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$ (le rapport est un imaginaire pur).

5. Transformations :

   • Translation : $z' = z + b$.
   • Rotation : $z' - w = e^{i\alpha}(z - w)$.
   • Homothétie : $z' - w = k(z - w)$.
   • Similitude directe : $z' - w = a(z - w)$ ou $z' = az+b$.

1. 1

   Pour trouver l'argument principal d'un nombre complexe $z = x+iy$ :

2. 2

   1. Calculer le module $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$.

3. 3

   2. Déterminer $\cos\theta = x/|z|$ et $\sin\theta = y/|z|$.

4. 4

   3. Placer le point $M(x,y)$ dans le plan complexe pour identifier le quadrant.

5. 5

   4. Utiliser les valeurs remarquables pour trouver $\theta \in ]-\pi, \pi]$.

Étape suivante

Pièges classiques

1. Oublier le $2k\pi$ pour l'argument : L'argument est défini à $2k\pi$ près. C'est crucial pour les racines $n$-ièmes.

   • Exemple : $\arg(i) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Si tu oublies le $2k\pi$, tu risques de manquer des solutions pour les racines.

2. Confondre $\text{Im}(z)$ et $iy$ : Si $z = x+iy$, alors $\text{Im}(z) = y$, pas $iy$.

   • Exemple : Si $z = 3 - 2i$, $\text{Im}(z) = -2$. L'erreur serait de dire $\text{Im}(z) = -2i$.

3. Erreurs de signe lors du calcul du conjugué ou du module :

   • Exemple : Le conjugué de $3-2i$ est $3+2i$. Le module de $3-2i$ est $\sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$. Une erreur fréquente est de calculer $\sqrt{3^2 - 2^2}$.

4. Mauvaise application des propriétés des modules et arguments :

   • Exemple : $|z+z'| = |z|+|z'|$ est faux en général (c'est une inégalité). $\arg(z+z')$ n'a pas de formule simple.

5. Calcul des racines carrées d'un nombre complexe non réel : C'est une étape où beaucoup d'erreurs se produisent. Il faut poser $\delta = u+iv$ et résoudre $\delta^2 = \Delta$.

   • Exemple : Trouver les racines carrées de $3+4i$. Posons $(u+iv)^2 = 3+4i$. $u^2 - v^2 + 2uiv = 3+4i$. On a donc le système : $\begin{cases} u^2 - v^2 = 3 \\ 2uv = 4 \implies uv = 2 \end{cases}$ On ajoute aussi $|u+iv|^2 = |3+4i|$, donc $u^2+v^2 = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. On résout le système : $\begin{cases} u^2 - v^2 = 3 \\ u^2 + v^2 = 5 \end{cases}$ En additionnant les deux équations : $2u^2 = 8 \implies u^2 = 4 \implies u = \pm 2$. En soustrayant la première de la deuxième : $2v^2 = 2 \implies v^2 = 1 \implies v = \pm 1$. Comme $uv = 2 > 0$, $u$ et $v$ doivent avoir le même signe. Donc les racines carrées sont $2+i$ et $-2-i$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des nombres complexes est un pilier de l'examen national, avec une pondération significative en Algèbre & Géométrie. Les questions sont souvent structurées en plusieurs parties, mêlant calculs et interprétations géométriques.

Format des questions typiques :

1. Calculs de base (Application directe des connaissances) :

   • Mettre un nombre complexe sous forme algébrique, trigonométrique ou exponentielle.
   • Calculer le module, l'argument, le conjugué d'un nombre complexe.
   • Résoudre des équations du second degré dans $\mathbb{C}$.
   • Calculer des puissances de nombres complexes (souvent avec la formule de Moivre).
   • Calculer des racines $n$-ièmes.

2. Interprétations géométriques (Mobilisation en situation familière) :

   • Déterminer la nature d'un triangle (isocèle, équilatéral, rectangle) à partir des affixes de ses sommets.
   • Montrer l'alignement de points ou l'orthogonalité de droites.
   • Caractériser une transformation (translation, rotation, homothétie, similitude directe) à partir de son écriture complexe.
   • Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant une certaine condition (par exemple, $|z-a|=|z-b|$ pour une médiatrice, ou $\arg\left(\frac{z-a}{z-b}\right) = k\pi$ pour une droite).

3. Problèmes de synthèse (Situations non familières) :

   • Ces questions combinent souvent plusieurs notions. Par exemple, résoudre une équation, puis utiliser les solutions pour caractériser une figure géométrique ou une transformation.
   • Démontrer des propriétés géométriques complexes en utilisant les nombres complexes.
   • Les annales montrent une forte présence de questions sur les similitudes directes et les rotations.

Conseils pour la rédaction :

• Rigueur : Chaque étape de calcul ou de raisonnement doit être justifiée.
• Clarté : Utilise des notations claires et une présentation aérée.
• Précision : Ne confonds pas $\text{Im}(z)$ et $iy$, ou l'argument principal avec l'argument général.
• Connaître les formules par cœur : Formule de Moivre, d'Euler, résolution des équations du second degré, propriétés du module et de l'argument.
• Maîtriser les racines carrées complexes : C'est un point technique qui revient souvent.

Le barème accorde des points à la démarche et à la justification, pas seulement au résultat final. Entraîne-toi sur les annales pour bien comprendre les attentes.