Dérivation et étude des fonctions

L'intuition

Imagine que tu conduis ta voiture sur une route sinueuse dans les montagnes de l'Atlas. La route, c'est la courbe de ta fonction.

Quand tu montes une côte, ta voiture prend de la hauteur, c'est comme si la fonction était croissante. Quand tu descends, elle perd de la hauteur, la fonction est décroissante. La vitesse à laquelle tu montes ou descends, c'est la dérivée. Si tu montes vite, la dérivée est grande et positive. Si tu descends vite, elle est grande en valeur absolue mais négative. Si la route est plate, ta vitesse verticale est nulle, la dérivée est zéro.

Maintenant, pense aux virages. Quand tu tournes à gauche, ta voiture penche d'un côté. Quand tu tournes à droite, elle penche de l'autre. Ce changement de "penchant", c'est la concavité de la courbe. La vitesse à laquelle ce penchant change, c'est la dérivée seconde. Si tu passes d'un virage à gauche à un virage à droite (ou inversement), tu traverses un point d'inflexion. C'est là que la dérivée seconde s'annule et change de signe.

Comprendre la dérivation, c'est comme avoir une carte détaillée de cette route, avec toutes les pentes, les virages, les sommets et les creux. Ça te permet de prévoir le comportement de ta voiture (ta fonction) à chaque instant.

Le cours

I. Dérivabilité d'une fonction en un point

1. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite suivante existe et est finie :

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$

Cette limite est appelée le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et est notée $f'(x_0)$.

On peut aussi écrire :

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

2. Interprétation graphique

Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors la courbe représentative de $f$, notée $(C_f)$, admet une tangente au point $M_0(x_0, f(x_0))$. L'équation de cette tangente est donnée par :

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Le nombre dérivé $f'(x_0)$ représente le coefficient directeur (ou la pente) de cette tangente.

3. Dérivabilité à droite et à gauche

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0 \in I$.

• $f$ est dérivable à droite en $x_0$ si $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ existe et est finie. Cette limite est notée $f'_d(x_0)$.
• $f$ est dérivable à gauche en $x_0$ si $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ existe et est finie. Cette limite est notée $f'_g(x_0)$.

Théorème : $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$ et $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$.

4. Relation entre dérivabilité et continuité

Théorème : Si une fonction $f$ est dérivable en $x_0$, alors elle est continue en $x_0$. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (par exemple, la fonction valeur absolue en 0).

II. Fonction dérivée

1. Définition

Si une fonction $f$ est dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$, on dit qu'elle est dérivable sur $I$. La fonction qui à chaque $x \in I$ associe $f'(x)$ est appelée la fonction dérivée de $f$ et est notée $f'$.

2. Opérations sur les fonctions dérivées

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ une constante réelle.

• $(u+v)' = u' + v'$
• $(ku)' = ku'$
• $(uv)' = u'v + uv'$
• $\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ (si $v(x) \neq 0$)
• $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (si $v(x) \neq 0$)
• $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ (pour $n \in \mathbb{Z}^*$)
• $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ (si $u(x) > 0$)
• $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ (si $u(x) > 0$)
• $(e^u)' = u'e^u$
• $(\sin u)' = u'\cos u$
• $(\cos u)' = -u'\sin u$
• $(\tan u)' = u'(1+\tan^2 u) = \frac{u'}{\cos^2 u}$

3. Tableau des dérivées des fonctions usuelles

III. Dérivée seconde et concavité

1. Définition

Si la fonction dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur un intervalle $I$, sa dérivée est appelée la dérivée seconde de $f$ et est notée $f''$.

2. Concavité et points d'inflexion

• Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors la courbe $(C_f)$ est convexe sur $I$ (elle est "tournée vers le haut").
• Si $f''(x) < 0$ sur un intervalle $I$, alors la courbe $(C_f)$ est concave sur $I$ (elle est "tournée vers le bas").
• Un point $M_0(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion si $f''(x_0) = 0$ et $f''$ change de signe en $x_0$. Graphiquement, c'est un point où la courbe traverse sa tangente.

IV. Applications de la dérivation à l'étude des fonctions

1. Sens de variation

Théorème : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est constante sur $I$.

2. Extremums locaux

Un extremum local est un minimum local ou un maximum local. Théorème : Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et si $f$ admet un extremum local en $x_0 \in I$, alors $f'(x_0) = 0$. La réciproque n'est pas toujours vraie : $f'(x_0) = 0$ n'implique pas nécessairement un extremum local (exemple : $f(x)=x^3$ en $x=0$). Pour qu'il y ait un extremum local en $x_0$, il faut que $f'(x_0) = 0$ et que $f'$ change de signe en $x_0$.

3. Théorème de Rolle et Théorème des Accroissements Finis (TAF)

Théorème de Rolle : Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. Si $f(a) = f(b)$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c) = 0$.

Théorème des Accroissements Finis (TAF) : Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que :

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Ce théorème est très utile pour encadrer des fonctions ou des suites.

4. Bijection

Théorème : Si une fonction $f$ est continue et strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur un intervalle $I$, alors elle réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$. Cela signifie que pour tout $y \in f(I)$, l'équation $f(x) = y$ admet une unique solution $x \in I$. La fonction réciproque $f^{-1}$ est alors définie sur $f(I)$.

V. Asymptotes et branches paraboliques

Ces notions sont cruciales pour le tracé de la courbe.

1. Asymptote verticale

Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.

2. Asymptote horizontale

Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un réel), alors la droite d'équation $y=L$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.

3. Asymptote oblique

Si $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$ avec $a \neq 0$, alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$. Pour trouver $a$ et $b$ :

• $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$
• $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax)$

4. Branches paraboliques

Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ :

• Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$, alors $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe $(Oy)$.
• Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, alors $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe $(Ox)$.
• Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a$ ($a \neq 0$) et $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax) = \pm\infty$, alors $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite $y=ax$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x + \ln x$. 1- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to 0^+} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$. 2-a) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. b) Montrer que $f$ est une bijection de $]0, +\infty[$ vers un intervalle à déterminer.

La méthode

La méthode officielle pour l'étude d'une fonction est un enchaînement logique d'étapes. Chaque étape est une question qui doit être posée et résolue.

1. 1

   1. Déterminer le domaine de définition $D_f$.

   C'est la première chose à faire pour savoir où la fonction existe.

2. 2

   2. Calculer les limites aux bornes de $D_f$.

3. 3

   3. Étudier la dérivabilité de $f$ sur $D_f$ et calculer $f'(x)$.

4. 4

   4. Étudier le signe de $f'(x)$.

5. 5

   5. Dresser le tableau de variations de $f$.

6. 6

   6. Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ et étudier son signe.

7. 7

   7. Chercher les asymptotes et les branches paraboliques.

8. 8

   8. Calculer les coordonnées de quelques points particuliers (intersections avec les axes, extremums, points d'inflexion).

9. 9

   9. Tracer la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé.

Étape suivante

Pièges classiques

1. Confondre dérivabilité et continuité : Une fonction continue n'est pas forcément dérivable. La fonction $f(x) = |x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.

2. Erreur de calcul de dérivée : Les erreurs de signe, d'application des formules (surtout pour les quotients et les composées) sont fréquentes. Exemple : Dériver $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$. Erreur fréquente : $f'(x) = \frac{1}{2x}$. (Oubli de la formule $(\frac{1}{v})'$ ou de la dérivée de la fonction composée). Correction : $f'(x) = -\frac{(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

3. Oublier de vérifier le domaine de validité des formules de dérivation : Par exemple, $(\sqrt{u})'$ n'est valable que si $u(x) > 0$.

4. Ne pas étudier le signe de la dérivée sur le bon intervalle : Le signe de $f'(x)$ doit être étudié sur le domaine de dérivabilité de $f$.

5. Confondre $f'(x)=0$ avec un extremum : $f'(x_0)=0$ est une condition nécessaire mais non suffisante pour un extremum. Il faut que $f'$ change de signe en $x_0$. Exemple : $f(x) = x^3$. $f'(x) = 3x^2$. $f'(0)=0$, mais $f$ n'a pas d'extremum en $0$.

6. Interprétation incorrecte des limites pour les asymptotes/branches paraboliques : Exemple : Si $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, ce n'est pas une asymptote horizontale, mais une branche parabolique de direction l'axe $(Ox)$.

7. Oublier les croissances comparées : Elles sont essentielles pour calculer certaines limites impliquant $\ln x$, $e^x$ et $x^n$. Rappels :

   • $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$.
   • $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n > 0$.
   • $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n > 0$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur la dérivation et l'étude des fonctions est un pilier de l'examen national, représentant environ 9% des points, inclus dans la partie "Analyse" qui pèse 50%. Les questions sont très structurées et suivent la méthode officielle.

Formats de questions réels

Tu retrouveras systématiquement des questions comme celles-ci :

1. Calcul de limites et interprétation graphique :

   • $\lim_{x \to a} f(x)$ (pour les asymptotes verticales).
   • $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ (pour les asymptotes horizontales).
   • $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ et $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax)$ (pour les asymptotes obliques ou branches paraboliques).
   • Exemple d'annale : "Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$." (Bac 2023)

2. Étude de la dérivabilité en un point (souvent en 0 ou aux bornes du domaine) :

   • Calcul de $f'_d(x_0)$ ou $f'_g(x_0)$.
   • Interprétation graphique (demi-tangente, point anguleux).
   • Exemple d'annale : "Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $0$. Calculer $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ et interpréter le résultat graphiquement." (Bac 2024)

3. Calcul de la dérivée $f'(x)$ et étude de son signe :

   • Application des formules de dérivation.
   • Factorisation et étude de signe pour déterminer les variations.
   • Exemple d'annale : "Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$." (Bac 2024)

4. Dresser le tableau de variations :

   • Synthèse des limites et du sens de variation.
   • Exemple d'annale : "Dresser le tableau de variations de la fonction $f$." (Bac 2023)

5. Étude de la dérivée seconde $f''(x)$ :

   • Calcul de $f''(x)$.
   • Étude de son signe pour la concavité et les points d'inflexion.
   • Exemple d'annale : "Calculer $f''(x)$ et étudier la concavité de la courbe $(C_f)$." (Question fréquente, même si non explicite dans les extraits fournis, elle est attendue dans l'étude complète).

6. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) ou bijection :

   • Montrer l'existence d'une solution à $f(x)=k$.
   • Montrer que $f$ est une bijection et déterminer l'intervalle image.
   • Exemple d'annale : "Montrer que $f$ est une bijection de $]0, +\infty[$ vers un intervalle à déterminer." (Bac 2023)

7. Tracé de la courbe :

   • Représenter la fonction en tenant compte de toutes les informations (asymptotes, tangentes, extremums, points d'inflexion, sens de variation).
   • Exemple d'annale : "Tracer la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé." (Bac 2023)

Barème

Le barème est détaillé par étape. Chaque calcul de limite, chaque étape de dérivation, chaque point du tableau de variations, chaque justification de bijection, etc., rapporte des points.

• Calcul de limites : 0.25 à 0.5 point par limite, avec 0.25 point pour l'interprétation graphique si demandée.
• Dérivabilité et calcul de $f'(x)$ : 0.5 à 0.75 point.
• Signe de $f'(x)$ et tableau de variations : 0.5 à 0.75 point.
• Concavité et points d'inflexion : 0.5 à 0.75 point.
• Asymptotes/branches paraboliques : 0.25 à 0.5 point par élément.
• Bijection/TVI : 0.5 à 0.75 point.
• Tracé de la courbe : 0.75 à 1 point, incluant la précision des asymptotes et des points remarquables.

La rigueur de la rédaction et la justification des étapes sont aussi importantes que le résultat final. Ne saute aucune étape, même si elle te semble évidente. Par exemple, pour une bijection, il faut toujours mentionner la continuité et la stricte monotonie.