Limites et continuité

L'intuition

Imagine que tu es un pilote de drone. Tu dois faire atterrir ton drone sur une cible précise.

La continuité, c'est quand ton drone peut se poser en douceur sur la cible, sans jamais la rater, sans faire de saut brusque. Si tu dois faire un saut pour atteindre la cible, ou si la cible disparaît juste avant que tu n'y arrives, ce n'est pas continu.

La limite, c'est la position vers laquelle ton drone tend quand il s'approche de la cible, même s'il ne l'atteint jamais vraiment, ou si la cible est un point "vide" dans l'espace.

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), c'est comme si tu savais que ton drone, en allant d'un point A à un point B, va forcément passer par toutes les altitudes intermédiaires entre l'altitude de A et l'altitude de B, sans jamais "téléporter".

La fonction réciproque, c'est comme si tu avais une télécommande qui te permet de contrôler l'altitude de ton drone, et une autre télécommande qui, à partir de l'altitude, te dit où il est horizontalement. Si la première télécommande est "bien réglée" (continue et strictement monotone), alors la deuxième fonction existe et est aussi "bien réglée".

Le cours

I. Limites d'une fonction

Tu as déjà manipulé les limites en 1ère année. Ici, on va consolider et appliquer ces notions.

Définition 1 : Limite finie en un point Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ (sauf peut-être en $a \in I$). On dit que $f$ admet une limite $L \in \mathbb{R}$ en $a$ si pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\alpha > 0$ tel que si $0 < |x-a| < \alpha$, alors $|f(x)-L| < \epsilon$. On note $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

Définition 2 : Limite infinie en un point On dit que $f$ admet une limite $+\infty$ en $a$ si pour tout $M > 0$, il existe $\alpha > 0$ tel que si $0 < |x-a| < \alpha$, alors $f(x) > M$. On note $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$. (Définition similaire pour $-\infty$).

Définition 3 : Limite en l'infini On dit que $f$ admet une limite $L \in \mathbb{R}$ en $+\infty$ si pour tout $\epsilon > 0$, il existe $A > 0$ tel que si $x > A$, alors $|f(x)-L| < \epsilon$. On note $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$. (Définitions similaires pour $-\infty$ et pour une limite infinie en l'infini).

Limites usuelles à connaître :

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissances comparées)
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissances comparées)
• $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissances comparées)

II. Continuité d'une fonction

La continuité est une propriété locale (en un point) ou globale (sur un intervalle).

Définition 4 : Continuité en un point Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Cela implique trois choses :

1. $f(a)$ est définie.
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et est finie.
3. Ces deux valeurs sont égales.

Définition 5 : Continuité à droite/à gauche

• $f$ est continue à droite en $a$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue à gauche en $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$. $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en $a$.

Définition 6 : Continuité sur un intervalle

• $f$ est continue sur un intervalle ouvert $]a,b[$ si elle est continue en tout point de cet intervalle.
• $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.

Propriétés 1 : Opérations sur les fonctions continues Si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, alors :

• $f+g$, $f-g$, $f \times g$ sont continues sur $I$.
• $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$ pour tout $x \in I$ tel que $g(x) \neq 0$.
• $|f|$ est continue sur $I$.
• Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.

Propriétés 2 : Fonctions usuelles continues

• Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition.
• Les fonctions trigonométriques ($\sin$, $\cos$, $\tan$) sont continues sur leur domaine de définition.
• La fonction racine carrée $\sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.
• Les fonctions exponentielle $e^x$ et logarithme népérien $\ln(x)$ sont continues sur leur domaine de définition.

III. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

C'est un théorème clé qui te permet de prouver l'existence de solutions à des équations.

Théorème 1 : Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

Corollaire du TVI : Cas particulier de l'équation $f(x)=0$ Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (c'est-à-dire $f(a) \cdot f(b) < 0$), alors il existe au moins un réel $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

Corollaire du TVI : Cas de la stricte monotonie Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

IV. Image d'un intervalle par une fonction continue

Théorème 2 : Image d'un intervalle fermé par une fonction continue Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle fermé et borné $[a,b]$, alors l'image $f([a,b])$ est un intervalle fermé et borné. Plus précisément :

• Si $f$ est croissante sur $[a,b]$, alors $f([a,b]) = [f(a), f(b)]$.
• Si $f$ est décroissante sur $[a,b]$, alors $f([a,b]) = [f(b), f(a)]$.
• Si $f$ n'est pas monotone, alors $f([a,b]) = [m, M]$ où $m$ est le minimum de $f$ sur $[a,b]$ et $M$ est le maximum de $f$ sur $[a,b]$.

Théorème 3 : Image d'un intervalle quelconque par une fonction continue L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Le type de l'intervalle image dépend de la monotonie de la fonction et du type de l'intervalle de départ (ouvert, fermé, borné ou non).

V. Fonction réciproque

Théorème 4 : Théorème de la fonction réciproque Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$. La fonction réciproque $f^{-1}$ de $f$ est définie sur $J$ et à valeurs dans $I$. De plus, $f^{-1}$ est continue sur $J$ et a le même sens de variation que $f$.

Propriétés de la fonction réciproque :

• $f^{-1}(f(x)) = x$ pour tout $x \in I$.
• $f(f^{-1}(y)) = y$ pour tout $y \in J$.
• Les courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation $y=x$.

Exemples de fonctions réciproques :

• $\exp(x)$ est la réciproque de $\ln(x)$ sur $]0, +\infty[$.
• $\sqrt{x}$ est la réciproque de $x^2$ sur $[0, +\infty[$.
• $\arcsin(x)$ est la réciproque de $\sin(x)$ sur $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Exemple résolu

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I = [0,+\infty[$ par :

$f(0)=1 \quad \text{et} \quad \forall x\in ]0,+\infty[ \quad f(x) = \frac{\arctan(x)}{x}$

1- Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $I$. 2-a) Soit $x$ dans $I$. Montrer que : $\forall t\in [0,x] \quad \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{1+t^2} \leq 1$ b) Montrer que : $\forall x\in [0,+\infty[ \quad \frac{x}{1+x^2} \leq \arctan(x) \leq x$ c) Montrer que $f$ est dérivable à droite en $0$.

--- Résolution pas à pas ---

1- Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $I$

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   Étape 1: Continuité sur $]0, +\infty[$

   Sur $]0, +\infty[$, $f(x) = \frac{\arctan(x)}{x}$. La fonction $\arctan(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc sur $]0, +\infty[$. La fonction $x \mapsto x$ est continue sur $\mathbb{R}$ et non nulle sur $]0, +\infty[$. Donc, $f$ est le quotient de deux fonctions continues, le dénominateur étant non nul. Ainsi, $f$ est continue sur $]0, +\infty[$.

2. 2

   Étape 2: Continuité en $x=0$

3. 3

   Étape 3: Calcul de la limite à droite en $0$

4. 4

   Étape 4: Utilisation de la limite usuelle

5. 5

   Étape 5: Conclusion sur la continuité en $0$

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   Étape 6: Conclusion générale

Étape suivante

2-a) Soit $x$ dans $I$. Montrer que : $\forall t\in [0,x] \quad \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{1+t^2} \leq 1$

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   Étape 1: Analyse de l'inégalité

   On doit montrer une double inégalité. On va partir de $t \in [0,x]$.

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   Étape 2: Majoration de $t^2$

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   Étape 3: Ajout de 1

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   Étape 4: Passage à l'inverse

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   Étape 5: Simplification

Étape suivante

2-b) Montrer que : $\forall x\in [0,+\infty[ \quad \frac{x}{1+x^2} \leq \arctan(x) \leq x$

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   Étape 1: Rappel de la formule intégrale de $\arctan(x)$

   On sait que $\arctan(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt$. (C'est la primitive de $\frac{1}{1+x^2}$ qui s'annule en 0).

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   Étape 2: Utilisation de l'inégalité précédente

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   Étape 3: Intégration de l'inégalité

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   Étape 4: Calcul des intégrales

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   Étape 5: Évaluation des intégrales

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   Étape 6: Conclusion

Étape suivante

2-c) Montrer que $f$ est dérivable à droite en $0$

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   Étape 1: Définition de la dérivabilité à droite

   $f$ est dérivable à droite en $0$ si $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ existe et est finie.

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   Étape 2: Substitution de $f(x)$ et $f(0)$

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   Étape 3: Expression du taux d'accroissement

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   Étape 4: Utilisation de l'encadrement de 2-b)

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   Étape 5: Manipulation de l'inégalité pour obtenir $\arctan(x) - x$

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   Étape 6: Simplification

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   Étape 7: Poursuite de la simplification

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   Étape 8: Résultat intermédiaire

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   Étape 9: Division par $x^2$ (pour $x>0$)

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    Étape 10: Simplification finale de l'encadrement

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    Étape 11: Calcul des limites des bornes de l'encadrement

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    Étape 12: Application du théorème des gendarmes

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    Étape 13: Conclusion sur la dérivabilité

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que tu dois maîtriser pour ce chapitre.

Pour étudier la continuité en un point $a$ :

1. 1

   Geste 1: Vérifier si $f(a)$ est définie

   Calcule $f(a)$. Si $f(a)$ n'est pas définie, $f$ n'est pas continue en $a$.

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   Geste 2: Calculer la limite de $f(x)$ quand $x \to a$

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   Geste 3: Comparer la limite et $f(a)$

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   Geste 4: Cas des fonctions définies par morceaux

Étape suivante

Pour étudier la continuité sur un intervalle $I$ :

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   Geste 1: Identifier la nature de la fonction

   Est-ce un polynôme, une fonction rationnelle, trigonométrique, exponentielle, logarithme, ou une composition/somme/produit/quotient de celles-ci ?

2. 2

   Geste 2: Utiliser les propriétés de continuité des fonctions usuelles

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   Geste 3: Appliquer les règles d'opérations sur les fonctions continues

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   Geste 4: Examiner les points "problématiques"

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   Geste 5: Pour les bornes incluses

Étape suivante

Pour appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :

1. 1

   Geste 1: Vérifier la continuité de $f$

   Assure-toi que $f$ est continue sur l'intervalle $[a,b]$ donné. C'est une condition indispensable.

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   Geste 2: Calculer les images des bornes

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   Geste 3: Vérifier que $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$

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   Geste 4: Conclure sur l'existence

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   Geste 5: Pour l'unicité (Corollaire du TVI)

Étape suivante

Pour appliquer le théorème de la fonction réciproque :

1. 1

   Geste 1: Vérifier la continuité de $f$

   Assure-toi que $f$ est continue sur l'intervalle $I$.

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   Geste 2: Vérifier la stricte monotonie de $f$

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   Geste 3: Déterminer l'intervalle image $J=f(I)$

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   Geste 4: Conclure sur l'existence de $f^{-1}$

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   Geste 5: Préciser les propriétés de $f^{-1}$

Étape suivante

Pièges classiques

• Oublier de vérifier le domaine de définition pour la continuité. Une fonction n'est continue que là où elle est définie. Par exemple, $\frac{1}{x}$ n'est pas continue en $0$ car elle n'y est pas définie, même si les limites à gauche et à droite sont infinies.
• Confondre $\lim_{x \to a} f(x)$ et $f(a)$. Pour la continuité, il faut que ces deux valeurs existent et soient ÉGALES.
• Oublier la condition de continuité pour le TVI. Le TVI ne s'applique que si la fonction est continue sur l'intervalle donné.
• Oublier la condition de stricte monotonie pour l'unicité dans le TVI. Sans stricte monotonie, il peut y avoir plusieurs solutions.
• Ne pas préciser l'intervalle $J=f(I)$ pour la fonction réciproque. La fonction réciproque est définie sur l'image de l'intervalle de départ.
• Erreurs de calcul de limites. Les formes indéterminées sont des pièges classiques. Pense aux factorisations, aux quantités conjuguées, aux développements limités (si tu les as vus), ou aux limites usuelles.

  Vérifie que tu suis

  La fonction $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 1 \\ x+1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$ est-elle continue en $x=1$ ?

  OuiNon
• Ne pas justifier la continuité des fonctions usuelles. Dans une rédaction, il faut toujours mentionner que "la fonction $x \mapsto \sin(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$", ou "la fonction $x \mapsto x^2+1$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$".

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des limites et de la continuité est un pilier de l'analyse et est systématiquement évalué. Il représente environ 6% de la note finale.

Formats de questions réels :

1. Étude de la continuité en un point ou sur un intervalle :

   • Souvent pour des fonctions définies par morceaux, ou des fonctions avec une valeur particulière en un point (comme $f(0)=1$ et $f(x) = \frac{\arctan(x)}{x}$ pour $x>0$).
   • Cela implique le calcul de limites (souvent des limites usuelles ou des formes indéterminées).
   • Exemple d'annale : "Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $I$". (Voir l'exemple résolu).

2. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ou de son corollaire :

   • Pour prouver l'existence (et parfois l'unicité) de solutions à une équation $f(x)=k$ ou $f(x)=0$.
   • Il faut impérativement vérifier les conditions du théorème (continuité, intervalle, encadrement de $k$).
   • Exemple d'annale : "Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans un intervalle donné."

3. Application du théorème de la fonction réciproque :

   • Pour montrer qu'une fonction admet une réciproque sur un intervalle donné.
   • Il faut vérifier la continuité et la stricte monotonie.
   • Déterminer l'intervalle de définition de la réciproque.
   • Exemple d'annale : "Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera."

4. Calcul de limites complexes :

   • Souvent des formes indéterminées nécessitant des techniques spécifiques (factorisation, conjugué, changement de variable, limites usuelles, croissances comparées).
   • Parfois des limites impliquant des intégrales ou des suites.
   • Exemple d'annale : "Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^{2}+x} - x)$."

Barème et attendus de correction :

• La démarche et la justification comptent autant que le résultat. Un simple résultat sans explication ne rapporte pas tous les points.
• Chaque étape de vérification des théorèmes doit être explicitée. Par exemple, pour le TVI, il faut écrire " $f$ est continue sur $[a,b]$ " et " $f(a) \cdot f(b) < 0$ ".
• Les limites usuelles doivent être citées.
• La rigueur de la rédaction est primordiale. Utilise un langage mathématique précis.

En général, les questions sur les limites et la continuité sont souvent les premières d'un exercice d'analyse, servant de base pour la suite (dérivabilité, étude de fonction, intégrales). Maîtriser ce chapitre te donnera une bonne lancée pour l'épreuve.