Équations différentielles

L'intuition

Imagine que tu es en train de remplir un réservoir d'eau. La vitesse à laquelle le niveau d'eau monte dépend de plusieurs facteurs : le débit du robinet, la taille du réservoir, et peut-être même la pression de l'eau. Si tu veux prédire le niveau d'eau à un instant $t$, tu as besoin d'une relation entre le niveau d'eau et sa vitesse de variation. C'est exactement ça, une équation différentielle : une équation qui relie une fonction (le niveau d'eau $y(t)$) à ses dérivées (la vitesse de variation $y'(t)$).

En physique, en chimie, en économie, partout où il y a des phénomènes qui évoluent, on tombe sur des équations différentielles. Par exemple, la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence de température entre le corps et le milieu ambiant. Ça se traduit par une équation différentielle. La croissance d'une population, la désintégration radioactive, le mouvement d'un pendule... tout ça, c'est des équations différentielles.

Ce chapitre, c'est ta première rencontre avec ces outils puissants. On va se concentrer sur deux types d'équations différentielles qui sont fondamentales et qui reviennent souvent à l'examen.

Le cours

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions qui vérifient cette équation.

I. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Ce sont les équations de la forme $y' + ay = b$, où $a$ et $b$ sont des fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Au Bac, $a$ et $b$ seront des constantes.

1. Équation sans second membre : $y' + ay = 0$

Soit $a$ une constante réelle. On cherche les fonctions $y$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que $y'(x) + ay(x) = 0$.

Théorème 1.1 : Les solutions de l'équation différentielle $y' + ay = 0$, où $a$ est une constante réelle, sont les fonctions de la forme $y(x) = K e^{-ax}$, où $K$ est une constante réelle quelconque.

Démonstration : Soit $y(x) = K e^{-ax}$. Alors $y'(x) = K (-a) e^{-ax} = -a K e^{-ax}$. En remplaçant dans l'équation : $y'(x) + ay(x) = -a K e^{-ax} + a (K e^{-ax}) = 0$. Donc, toute fonction de cette forme est solution.

Réciproquement, soit $y$ une solution de $y' + ay = 0$. Considérons la fonction $f(x) = y(x) e^{ax}$. Calculons sa dérivée : $f'(x) = y'(x) e^{ax} + y(x) (a e^{ax})$ $f'(x) = e^{ax} (y'(x) + ay(x))$ Puisque $y'(x) + ay(x) = 0$, on a $f'(x) = e^{ax} \times 0 = 0$. Si $f'(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$, alors $f(x)$ est une constante. Soit $f(x) = K$. Donc $y(x) e^{ax} = K$, ce qui implique $y(x) = K e^{-ax}$. Ainsi, toutes les solutions sont de cette forme.

2. Équation avec second membre : $y' + ay = b$

Soit $a, b$ des constantes réelles. On cherche les fonctions $y$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que $y'(x) + ay(x) = b$.

Théorème 1.2 : Les solutions de l'équation différentielle $y' + ay = b$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, sont la somme de la solution générale de l'équation sans second membre associée ($y' + ay = 0$) et d'une solution particulière de l'équation complète.

Si $a \neq 0$, une solution particulière est $y_p(x) = \frac{b}{a}$. La solution générale est alors $y(x) = K e^{-ax} + \frac{b}{a}$, où $K$ est une constante réelle quelconque.

Démonstration :

1. Recherche d'une solution particulière $y_p$ : Si $a \neq 0$, on peut chercher une solution particulière constante $y_p(x) = C$. Alors $y_p'(x) = 0$. En remplaçant dans l'équation $y' + ay = b$ : $0 + aC = b$, donc $C = \frac{b}{a}$. Ainsi, $y_p(x) = \frac{b}{a}$ est une solution particulière.

2. Structure de la solution générale : Soit $y_g(x)$ la solution générale de $y' + ay = 0$, c'est-à-dire $y_g(x) = K e^{-ax}$. Soit $y(x)$ une solution quelconque de $y' + ay = b$. Alors $y'(x) + ay(x) = b$. On sait que $y_p'(x) + ay_p(x) = b$. En soustrayant les deux équations : $(y'(x) + ay(x)) - (y_p'(x) + ay_p(x)) = b - b$ $(y'(x) - y_p'(x)) + a(y(x) - y_p(x)) = 0$ Soit $z(x) = y(x) - y_p(x)$. Alors $z'(x) = y'(x) - y_p'(x)$. L'équation devient $z'(x) + az(x) = 0$. Ceci est une équation sans second membre, dont la solution générale est $z(x) = K e^{-ax}$. Donc $y(x) - y_p(x) = K e^{-ax}$, ce qui implique $y(x) = K e^{-ax} + y_p(x)$. En remplaçant $y_p(x) = \frac{b}{a}$, on obtient la solution générale $y(x) = K e^{-ax} + \frac{b}{a}$.

Cas particulier : Si $a=0$, l'équation devient $y' = b$. Les solutions sont $y(x) = bx + K$.

II. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Ce sont les équations de la forme $ay'' + by' + cy = 0$, où $a, b, c$ sont des constantes réelles et $a \neq 0$.

1. Équation caractéristique

Pour résoudre $ay'' + by' + cy = 0$, on associe une équation algébrique appelée équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$.

Les solutions de l'équation différentielle dépendent de la nature des racines de cette équation caractéristique. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

2. Cas $\Delta > 0$ : Deux racines réelles distinctes

Si $\Delta > 0$, l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Théorème 2.1 : La solution générale de l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ est $y(x) = K_1 e^{r_1 x} + K_2 e^{r_2 x}$, où $K_1, K_2$ sont des constantes réelles quelconques.

Démonstration (idée) : On peut vérifier que $e^{r_1 x}$ et $e^{r_2 x}$ sont des solutions. $y(x) = e^{rx} \implies y'(x) = r e^{rx} \implies y''(x) = r^2 e^{rx}$. En substituant dans l'équation différentielle : $a(r^2 e^{rx}) + b(r e^{rx}) + c(e^{rx}) = 0$ $e^{rx} (ar^2 + br + c) = 0$. Puisque $e^{rx} \neq 0$, il faut que $ar^2 + br + c = 0$. Donc $r$ doit être une racine de l'équation caractéristique. Si $r_1$ et $r_2$ sont deux racines distinctes, alors $e^{r_1 x}$ et $e^{r_2 x}$ sont deux solutions linéairement indépendantes. La solution générale est une combinaison linéaire de ces deux solutions.

3. Cas $\Delta = 0$ : Une racine réelle double

Si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ admet une racine réelle double $r_0 = \frac{-b}{2a}$.

Théorème 2.2 : La solution générale de l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ est $y(x) = (K_1 x + K_2) e^{r_0 x}$, où $K_1, K_2$ sont des constantes réelles quelconques.

Démonstration (idée) : On sait que $e^{r_0 x}$ est une solution. On peut montrer que $x e^{r_0 x}$ est aussi une solution. Soit $y(x) = x e^{r_0 x}$. $y'(x) = e^{r_0 x} + r_0 x e^{r_0 x} = (1 + r_0 x) e^{r_0 x}$. $y''(x) = r_0 e^{r_0 x} + r_0 (1 + r_0 x) e^{r_0 x} = (r_0 + r_0 + r_0^2 x) e^{r_0 x} = (2r_0 + r_0^2 x) e^{r_0 x}$. En substituant dans $ay'' + by' + cy = 0$ et en utilisant le fait que $ar_0^2 + br_0 + c = 0$ et $2ar_0 + b = 0$ (car $r_0$ est une racine double), on trouve que $x e^{r_0 x}$ est bien une solution. Ces deux solutions $e^{r_0 x}$ et $x e^{r_0 x}$ sont linéairement indépendantes, d'où la forme de la solution générale.

4. Cas $\Delta < 0$ : Deux racines complexes conjuguées

Si $\Delta < 0$, l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ admet deux racines complexes conjuguées $r_1 = p + iq$ et $r_2 = p - iq$, où $p = \frac{-b}{2a}$ et $q = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Théorème 2.3 : La solution générale de l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ est $y(x) = e^{px} (K_1 \cos(qx) + K_2 \sin(qx))$, où $K_1, K_2$ sont des constantes réelles quelconques.

Démonstration (idée) : Les solutions complexes sont de la forme $e^{(p+iq)x}$ et $e^{(p-iq)x}$. En utilisant la formule d'Euler ($e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$), on a : $e^{(p+iq)x} = e^{px} e^{iqx} = e^{px} (\cos(qx) + i\sin(qx))$ $e^{(p-iq)x} = e^{px} e^{-iqx} = e^{px} (\cos(qx) - i\sin(qx))$ Par combinaison linéaire de ces solutions complexes, on peut obtenir des solutions réelles : $\frac{1}{2} (e^{(p+iq)x} + e^{(p-iq)x}) = e^{px} \cos(qx)$ $\frac{1}{2i} (e^{(p+iq)x} - e^{(p-iq)x}) = e^{px} \sin(qx)$ Ces deux solutions réelles $e^{px} \cos(qx)$ et $e^{px} \sin(qx)$ sont linéairement indépendantes. La solution générale est donc une combinaison linéaire de ces deux fonctions.

III. Conditions initiales

Dans tous les cas, les constantes $K$, $K_1$, $K_2$ sont déterminées par des conditions initiales. Pour une équation du premier ordre, on donne généralement $y(x_0) = y_0$. Pour une équation du second ordre, on donne $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_0'$. Ces deux conditions sont nécessaires pour déterminer les deux constantes $K_1$ et $K_2$.

Exemple résolu

Résolvons l'équation différentielle $y'' - 5y' + 6y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$.

1. 1

   1. Écrire l'équation caractéristique

   L'équation différentielle est $y'' - 5y' + 6y = 0$. L'équation caractéristique associée est $r^2 - 5r + 6 = 0$.

2. 2

   2. Résoudre l'équation caractéristique

3. 3

   Puisque $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes :

4. 4

   $r_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

5. 5

   $r_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

6. 6

   3. Écrire la solution générale

7. 7

   Donc $y(x) = K_1 e^{2x} + K_2 e^{3x}$.

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   4. Utiliser les conditions initiales

9. 9

   D'abord, calculons $y'(x)$ : $y'(x) = 2K_1 e^{2x} + 3K_2 e^{3x}$.

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    Appliquons la première condition : $y(0) = 1$.

11. 11

    $K_1 e^{2(0)} + K_2 e^{3(0)} = 1 \implies K_1 e^0 + K_2 e^0 = 1 \implies K_1 + K_2 = 1$. (Équation 1)

12. 12

    Appliquons la deuxième condition : $y'(0) = 2$.

13. 13

    $2K_1 e^{2(0)} + 3K_2 e^{3(0)} = 2 \implies 2K_1 e^0 + 3K_2 e^0 = 2 \implies 2K_1 + 3K_2 = 2$. (Équation 2)

14. 14

    5. Résoudre le système d'équations pour trouver $K_1$ et $K_2$

15. 15

    $\begin{cases} K_1 + K_2 = 1 \\ 2K_1 + 3K_2 = 2 \end{cases}$

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    De la première équation, $K_1 = 1 - K_2$.

17. 17

    Substituons dans la deuxième équation : $2(1 - K_2) + 3K_2 = 2$.

18. 18

    $2 - 2K_2 + 3K_2 = 2$.

19. 19

    $2 + K_2 = 2 \implies K_2 = 0$.

20. 20

    Alors $K_1 = 1 - 0 = 1$.

21. 21

    6. Écrire la solution particulière

22. 22

    $y(x) = 1 \cdot e^{2x} + 0 \cdot e^{3x}$.

23. 23

    Donc $y(x) = e^{2x}$.

Étape suivante

La méthode

Voici les étapes types pour résoudre les équations différentielles que tu rencontreras au Bac.

Pour $y' + ay = b$ (avec $a, b$ constantes)

1. Identifier le type d'équation : C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre.
2. Si $b=0$ (équation sans second membre) :
   1. La solution générale est $y(x) = K e^{-ax}$.
   2. Si des conditions initiales $y(x_0) = y_0$ sont données, remplace $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$ pour trouver la valeur de $K$.
3. Si $b \neq 0$ (équation avec second membre) :
   1. Cherche une solution particulière constante $y_p(x) = C$. En remplaçant dans l'équation, tu trouveras $aC = b$, donc $C = b/a$ (si $a \neq 0$).
   2. La solution générale est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre ($y' + ay = 0$) et de cette solution particulière : $y(x) = K e^{-ax} + b/a$.
   3. Si des conditions initiales $y(x_0) = y_0$ sont données, remplace $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$ pour trouver la valeur de $K$.

Pour $ay'' + by' + cy = 0$ (avec $a, b, c$ constantes, $a \neq 0$)

1. Identifier le type d'équation : C'est une équation différentielle linéaire du second ordre homogène à coefficients constants.
2. Écrire l'équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$.
3. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et déterminer les racines :
   • Si $\Delta > 0$ : Deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$. La solution générale est $y(x) = K_1 e^{r_1 x} + K_2 e^{r_2 x}$.
   • Si $\Delta = 0$ : Une racine réelle double $r_0$. La solution générale est $y(x) = (K_1 x + K_2) e^{r_0 x}$.
   • Si $\Delta < 0$ : Deux racines complexes conjuguées $p \pm iq$, où $p = \frac{-b}{2a}$ et $q = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$. La solution générale est $y(x) = e^{px} (K_1 \cos(qx) + K_2 \sin(qx))$.
4. Utiliser les conditions initiales (si données) :
   • Tu auras deux conditions : $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_0'$.
   • Dérive la solution générale pour obtenir $y'(x)$.
   • Remplace $x$ par $x_0$, $y(x)$ par $y_0$ et $y'(x)$ par $y_0'$ dans les expressions de $y(x)$ et $y'(x)$.
   • Tu obtiendras un système linéaire de deux équations à deux inconnues ($K_1$ et $K_2$). Résous ce système pour trouver les valeurs de $K_1$ et $K_2$.
   • Écris la solution particulière en remplaçant $K_1$ et $K_2$ dans la solution générale.

Pièges classiques

• Erreurs de signe : C'est la source la plus fréquente d'erreurs. Dans $y' + ay = 0$, la solution est $K e^{-ax}$. Si l'équation est $y' - 2y = 0$, alors $a = -2$, et la solution est $K e^{-(-2)x} = K e^{2x}$. Fais très attention !
• Oubli de la solution particulière : Pour $y' + ay = b$ avec $b \neq 0$, la solution générale n'est pas juste $K e^{-ax}$. Il faut ajouter la solution particulière $b/a$.
• Confusion des cas pour le second ordre : Les trois cas ($\Delta > 0$, $\Delta = 0$, $\Delta < 0$) donnent des formes de solutions très différentes. Assure-toi de bien identifier le cas et d'appliquer la bonne formule.
• Erreurs de calcul de dérivées : Quand tu as des conditions initiales pour une équation du second ordre, tu dois dériver la solution générale pour utiliser $y'(x_0)$. Une erreur ici faussera tout le système pour $K_1, K_2$.
• Mauvaise résolution du système linéaire : Le système de deux équations à deux inconnues pour $K_1$ et $K_2$ doit être résolu correctement. Une petite erreur de calcul peut te coûter tous les points de la détermination des constantes.
• Oublier les constantes d'intégration : Chaque fois que tu résous une équation différentielle, il doit y avoir des constantes arbitraires ($K$, $K_1$, $K_2$) dans la solution générale. Si tu oublies de les mentionner, ta solution est incomplète.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des équations différentielles est un classique à l'examen national, généralement intégré dans la partie "Analyse". Sa pondération est faible (~5%), mais les questions sont souvent directes et permettent de gagner des points facilement si tu maîtrises la méthode.

Format des questions :

• Application directe des connaissances (~40%) :

  • "Résoudre l'équation différentielle $y' - 5y = 0$." (1er ordre, sans second membre)
  • "Résoudre l'équation différentielle $y' + 2y = 4$." (1er ordre, avec second membre)
  • "Résoudre l'équation différentielle $y'' - 5y' + 6y = 0$." (2e ordre, homogène)
  • Ces questions peuvent être accompagnées de conditions initiales pour déterminer les constantes.

• Mobilisation en situation familière (~40%) :

  • Parfois, l'équation différentielle est donnée dans un contexte (physique, chimie, etc.) ou tu dois la modéliser à partir d'un énoncé simple.
  • On peut te demander de vérifier qu'une fonction donnée est solution d'une équation différentielle.
  • On peut te demander d'étudier le comportement asymptotique des solutions (limites en $\pm \infty$).

• Situations non familières (synthèse) (~20%) :

  • Plus rarement, une équation différentielle peut être une étape dans un problème plus vaste, par exemple pour trouver une fonction qui sera ensuite étudiée (limites, dérivées, intégrales).
  • Il pourrait y avoir une légère variation de la forme standard, mais cela reste rare pour ce chapitre au niveau Bac.

Barème : Le barème est détaillé et valorise chaque étape.

• Identification de l'équation caractéristique (pour le 2e ordre) : quelques points.
• Calcul des racines : quelques points.
• Écriture de la solution générale (avec les constantes) : la majorité des points pour la résolution.
• Dérivation de la solution générale (si conditions initiales) : quelques points.
• Mise en place et résolution du système pour les constantes : quelques points.
• Écriture de la solution particulière finale : quelques points.

La rigueur de la rédaction est essentielle. Chaque étape de calcul doit être justifiée. Ne saute pas d'étapes, même si elles te semblent évidentes.