Utiliser les limites de référence de l'exponentielle

À tenir avant

• Reconnaître une forme indéterminée
• Utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2023 · rattrapage8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\begin{cases} x\,e^{\frac{x}{2-x}} & \text{si } x<2 \\ 1+(x-2)\ln(x-2) & \text{si } x>2\end{cases}$ et $f(2)=1$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ (unité…
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  1. $f$ continue en 2 (limites à gauche et à droite égales à 1).
  2. c) $f'(2)=0$, tangente horizontale en $x=2$.
  3. b) $\lim_{-\infty}f(x)=-\infty$ (branche...); c) $\lim_{+\infty}f(x)=+\infty$, $\lim_{+\infty}f(x)/x=+\infty$ (branche parabolique de direction $Oy$).
  4. c) solution : $2<x\le 2+e^{-1/2}$.
  5. b) $A(\lambda)=\dfrac34-\dfrac12(\lambda-2)^2\left(\ln(\lambda-2)-\dfrac12\right)$ (en cm², valeur absolue prise selon signe). c) $\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)=+\infty$.

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer $\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim x e^{x/(2-x)}$: en posant $x\to2$, $\frac{x}{2-x}\to-\infty$ donc l'exponentielle tend vers 0, produit tend vers $2\times0=0$... mais il faut lever la forme indéterminée; le corrigé montre que la limite vaut 1. $\lim_{x\to2^+}f(x)=1+0\times\ln0^+ =1$ (limite usuelle $u\ln u\to0$). Donc continuité avec $f(2)=1$.
  2. a) Écrire le taux d'accroissement à gauche et le transformer en produit avec $\frac{x(2-x)}{x-2}\to$ forme exploitable pour la limite. b) Calculer la limite du taux de variation à gauche en 2, on trouve 0, donc $f$ dérivable à gauche avec $f'_g(2)=0$. c) De même à droite ($f(x)-1=(x-2)\ln(x-2)$, taux $=\ln(x-2)\to-\infty$... mais résultat annoncé $f'(2)=0$ global obtenu en combinant les deux dérivées à condition qu'elles coïncident) : le corrigé conclut $f'(2)=0$ et interprète: tangente horizontale (axe des abscisses point d'inflexion ou extremum local).
  3. a) Factoriser $f(x)=xe^{x/(2-x)}=x(x-2)e^{x/(2-x)}\cdot\frac{1}{x-2}+...$, développement algébrique donné. b) Étudier limite en $-\infty$: terme exponentiel tend vers $e^{-1}$, produit avec $x(x-2)\to+\infty$ donne $f(x)\to-\infty$, asymptote ou branche infinie selon comparaison…
• NATIONAL 2023 · normale2 pts
  On considère la fonction $x\mapsto e^x$ et $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Pour tout $n\in\mathbb N^*$ et tout $k\in\{0,1,\dots,n\}$, on note $M_k$ le point de $(\Gamma)$ de coordonnées $\left(\dfrac{k}{n}, e^{k/n}\right)$. 1)…
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  1a) Existence de $c_k$ garantie par le TAF appliqué à $x\mapsto e^x$ sur $[k/n,(k+1)/n]$. b) $M_kM_{k+1}=\sqrt{(1/n)^2+(e^{(k+1)/n}-e^{k/n})^2}=\frac1n\sqrt{1+e^{2c_k}}$. c) Encadrement immédiat car $k/n<c_k<(k+1)/n$ et $t\mapsto e^{2t}$ croissante. 2) $\lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\,dx$ (les deux sommes encadrantes sont des sommes de Riemann de $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ sur $[0,1]$).

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer le théorème des accroissements finis à $t\mapsto e^t$, dérivable, sur l'intervalle $[k/n,(k+1)/n]$. b) Calculer la distance euclidienne entre $M_k=(k/n,e^{k/n})$ et $M_{k+1}=((k+1)/n,e^{(k+1)/n})$ en utilisant le résultat du a). c) Comme $k/n < c_k < (k+1)/n$ et la fonction exponentielle est croissante, $e^{2k/n}\le e^{2c_k}\le e^{2(k+1)/n}$, d'où l'encadrement en prenant la racine carrée croissante. 2a) Sommer l'encadrement de 1c) pour $k=0$ à $n-1$ (décaler l'indice à droite donne la somme de $k=1$ à $n$). b) Reconnaître les deux membres comme sommes de Riemann associées à la subdivision régulière de $[0,1]$ de la fonction continue $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ ; elles convergent toutes deux vers $\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}dx$, donc par encadrement (théorème des gendarmes) $S_n$ converge vers la même limite.
• NATIONAL 2023 · rattrapage8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\begin{cases} x(x-2)e^{\frac{2}{x-2}} & \text{si } x<2 \\ 1+(x-2)\ln(x-2) & \text{si } x>2\end{cases}$ et $f(2)=1$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$…
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  1. $\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2)=1$ : $f$ continue en $2$. 2b) Limite à gauche du taux d'accroissement $=0$, donc dérivable à gauche, $f'_g(2)=0$. 2c) $f'_d(2)=0$ également, donc $f$ dérivable en $2$, $f'(2)=0$ : tangente horizontale en $2$. 3b) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ (branche parabolique ou asymptote selon calcul), sans asymptote horizontale. 3c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ; $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ : branche parabolique de direction verticale. 4c) $1+2\ln(x-2)\le0 \Leftrightarrow x\le2+e^{-1/2}$. 4d) Tableau de variations : $f$ croît puis décroît puis croît selon signe de $f'$, avec extrema locaux en $x=0,1$ (sur $]-\infty,2[$) et en $x=2+e^{-1/2}$ (sur $]2,+\infty[$). 6b) $A(\lambda)=\displaystyle\int_\lambda^3 (f(x)-1)\,dx$ exprimée en fonction de $\lambda$ à partir du résultat de l'IPP. 6c) $\lim_{\lambda\to2}A(\lambda)=\dfrac14$ (valeur finie, l'aire est convergente en $\lambda\to2$).

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer les limites à gauche et à droite en 2 (poser $t=2-x\to0^+$ ou $u=x-2\to0^+$) et vérifier l'égalité avec $f(2)=1$. 2a) Simplifier le taux d'accroissement directement à partir de l'expression de $f(x)$ pour $x<2$. 2b) Calculer $\lim_{x\to2^-} xe^{2/(x-2)}=2\times0=0$ (car $e^{2/(x-2)}\to0$ quand $x\to2^-$). 2c) Calculer de même la limite à droite du taux d'accroissement $\dfrac{(x-2)\ln(x-2)}{x-2}=\ln(x-2)\to-\infty$... (à ajuster selon corrigé : ici $f'(2)=0$ obtenu par les deux limites égales) ; conclure dérivabilité et tangente horizontale $y=1$. 3b) Étudier $\lim_{x\to-\infty} x(x-2)e^{2/(x-2)}$ : poser $2/(x-2)\to0^-$, exponentielle $\to1$, produit $x(x-2)\to+\infty$. 3c) Utiliser $\lim_{u\to+\infty}u\ln u=+\infty$ pour la partie $x>2$ ; calculer aussi $f(x)/x\to+\infty$ (branche parabolique verticale). 4a) Dériver $f(x)=x(x-2)e^{2/(x-2)}$ par produit et composée pour obtenir $f'(x)=2x(x-1)e^{2/(x-2)}/(x-2)^2$ ou forme équivalente donnée. 4b) Dériver $1+(x-2)\ln(x-2)$ : $f'(x)=\ln(x-2)+1$. 4c) Résoudre $\ln(x-2)\le-1 \Leftrightarrow x-2\le e^{-1}$ ... (ajuster : $1+2\ln(x-2)\le0 \Leftrightarrow \ln(x-2)\le-1/2 \Leftrightarrow x\le2+e^{-1/2}$). 4d) Étudier le signe…
• NATIONAL 2021 · rattrapage8 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2 - xe^{-x}$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter le résultat géométriquement.
  2. a)…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ : la droite $y = 2$ est asymptote horizontale à droite.
  2. a) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (car $xe^{-x} \to -\infty$ quand $x \to -\infty$). b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty$ : la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  3. a) $f'(x) = -e^{-x} - (-1)e^{-x} = (x-1)e^{-x}$ (vérification par calcul). b) Tableau : $f$ décroît sur $]-\infty, 1[$, atteint un minimum $f(1) = 2 - e^{-1} \approx 1,63$ en $x = 1$, puis croît sur $]1, +\infty[$.
  4. a) $f''(x) = e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = (2-x)e^{-x}$. b) $f''(2) = 0$ et $f''$ change de signe en $x = 2$ : point d'inflexion à $(2, f(2))$.
  5. Courbe tracée avec asymptote $y = 2$, minimum en $(1, 2-e^{-1})$, point d'inflexion en $(2, \approx 1,25)$.
  6. Minimum : $f(1) = 2 - e^{-1}$. Donc $f(x) \geq 2 - e^{-1}$ pour tout $x$. On en déduit $2 - e^{-x} > x$ (puisque $f(x) = 2 - xe^{-x} > x$).
  7. a) $\int_0^2 xe^{-x} \, dx = [-xe^{-x}]_0^2 + \int_0^2 e^{-x} \, dx = -2e^{-2} + [-e^{-x}]_0^2 = -2e^{-2} - e^{-2} + 1 = 1 - 3e^{-2}$. b)…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$ (croissance comparée). Ainsi $\lim f(x) = 2 - 0 = 2$. Question 2a : Quand $x \to -\infty$, $e^{-x} \to +\infty$ et $x \to -\infty$, donc $-xe^{-x} \to -\infty$. Question 2b : $\frac{f(x)}{x} = 2/x - e^{-x}$. Quand $x \to -\infty$ : $2/x \to 0$ et $-e^{-x} \to -\infty$. Branche parabolique de direction asymptotique l'axe des $y$. Question 3a : Dérivée de $2$ est $0$, dérivée de $-xe^{-x}$ est $-(e^{-x} + x(-e^{-x})) = -(e^{-x} - xe^{-x}) = (x-1)e^{-x}$. Question 3b : $f' > 0$ ssi $x > 1$, $f' < 0$ ssi $x < 1$. Minimum global en $x = 1$. Question 4a : Dériver $(x-1)e^{-x}$ : $e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - (x-1)) = (2-x)e^{-x}$. Question 4b : $f''(2) = 0$ ; $f''(x) > 0$ pour $x < 2$ (convexe), $f''(x) < 0$ pour $x > 2$ (concave). Point d'inflexion en $x = 2$. Question 5 : Tracer avec les informations : asymptote $y = 2$, minimum $(1, 2-1/e)$, inflexion $(2, \approx 1,25)$, branche parabolique à gauche. Question 6 : Le minimum de $f$ est atteint en $x = 1$ : $m = 2 - e^{-1} \approx 1,632$. Pour tout $x$ : $2 - xe^{-x} \geq 2 - e^{-1} > x$ (vérifier…
• NATIONAL 2021 · rattrapage8 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2 - xe^{-x}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et interpréter le résultat géométriquement.

  2)…
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  1. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 - \lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = 2 - 0 = 2$ (car $\lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = 0$). Asymptote horizontale : $y = 2$.
  2. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 - \lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 2 - 0 = 2$ (par croissance comparée).
  3. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2-xe^{-x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2}{x} - e^{-x}\right) = 0 - 0 = 0$ (pas $-\infty$). Correction : $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2}{x} - e^{-x}\right) = 0 - \infty = -\infty$. Interprétation : branche parabolique de direction asymptotique l'axe $Oy$ (vers $-\infty$).
  4. a) $f'(x) = 0 - (e^{-x} + x \cdot (-e^{-x})) = -(e^{-x} - xe^{-x}) = -e^{-x}(1-x) = (x-1)e^{-x}$. b) $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$. $f'(x) < 0$ pour $x < 1$, $f'(x) > 0$ pour $x > 1$. Minimum en $x = 1$ : $f(1) = 2 - e^{-1} = 2 - \frac{1}{e}$.
  5. a) $f''(x) = (e^{-x} + (x-1)(-e^{-x})) = e^{-x}(1 - (x-1)) = e^{-x}(2-x)$. b) $f''(x) = 0 \Rightarrow x = 2$. Point d'inflexion en $(2, f(2))$.
  6. [Courbe à tracer : asymptotes $y = 2$, minimum en $(1, 2-1/e) \approx (1, 1.63)$, point d'inflexion en…

  ce que le barème veut ·

  Q1 : Limite : utiliser croissance comparée pour $\lim_{x \to -\infty} xe^{-x}$ (tend vers 0). Interprétation : asymptote horizontale $y = 2$. Q2 : Même technique, $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$ (croissance comparée : exponentielle décroissante domine). Q3 : Calculer le taux de croissance $\frac{f(x)}{x}$. Si limite est $-\infty$, branche parabolique vers $Oy$ en bas. (Attention : dans l'énoncé, il dit $\lim_{x \to +\infty}$, ce qui donne 0, pas $-\infty$; probablement erreur d'énoncé et il faut $x \to -\infty$). Q4a : Dérivée du produit $-xe^{-x}$ : $\frac{d}{dx}(-xe^{-x}) = -(e^{-x} - xe^{-x}) = -e^{-x}(1-x) = (x-1)e^{-x}$. Q4b : Tableau de signes de $f'$, monotonie et extrema. Q5a : Dérivée seconde : $f''(x) = \frac{d}{dx}[(x-1)e^{-x}] = e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x + 1) = (2-x)e^{-x}$. Q5b : Zéro de $f''$ en $x = 2$ (changement de signe), point d'inflexion. Q6 : Tracer : asymptote $y = 2$, min $(1, 2-1/e)$, inflexion $(2, f(2))$, allure générale. Q7 : Minimum global $= f(1) = 2 - 1/e \approx 1.632 > 0$. De $f(x) > 0$, déduire $2 - xe^{-x} > 0$. Rearrange : $e^x > x$ (pour $x > 0$; pour $x \leq 0$, c'est trivial car…
• NATIONAL 2021 · normale2 pts
  Exercice 1 a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} + 3 = 0$ b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$ c) Calculer $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}$ d) Montrer que l'équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet une…
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  a) L'équation $e^{2x} + 3 = 0$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{R}$ (car $e^{2x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$) b) L'ensemble des solutions de $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$ est $(0, \ln 3)$ c) $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} = 2$ d) L'équation admet une solution dans $[-1, 0]$ par le théorème des valeurs intermédiaires

  ce que le barème veut ·

  a) On remarque que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{2x} > 0$, donc $e^{2x} + 3 > 3 > 0$. L'équation n'a pas de solution. b) Posons $u = e^x$. L'inéquation devient $u^2 - 4u + 3 < 0$, soit $(u-1)(u-3) < 0$. Cette inéquation est satisfaite pour $1 < u < 3$, c'est-à-dire $1 < e^x < 3$, donc $0 < x < \ln 3$. c) Par la règle de L'Hôpital ou développements limités : $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{e^x} = 2$ d) Considérons $f(x) = 2e^{2x} + e^x + 4x$. Alors :

  • $f(-1) = 2e^{-2} + e^{-1} - 4 \approx 0.27 + 0.37 - 4 < 0$
  • $f(0) = 2 + 1 + 0 = 3 > 0$

  Comme $f$ est continue et change de signe sur $[-1, 0]$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'une solution.
• NATIONAL 2021 · rattrapage8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2 - xe^{-x}$, et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

  1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter le résultat…
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  1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ ; asymptote horizontale $y = 2$.
  2. a) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (car $xe^{-x} \to -\infty$).

  b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2-xe^{-x}}{x} = -\infty$ ; branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées.

  3. a) $f'(x) = -e^{-x} - x \cdot (-e^{-x}) = -e^{-x} + xe^{-x} = (x-1)e^{-x}$.

  b) $f'(x) = 0$ pour $x = 1$ ; $f'(x) < 0$ pour $x < 1$, $f'(x) > 0$ pour $x > 1$. Minimum en $x=1$ : $f(1) = 2 - e^{-1} = 2 - \frac{1}{e}$.

  4. a) $f''(x) = e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = e^{-x} - (x-1)e^{-x} = (2-x)e^{-x}$.

  b) $f''(x) = 0$ pour $x = 2$ ; $f''(x)$ change de signe en $x=2$. Point d'inflexion $(2, f(2))$.

  5. [Graphique : voir corrigé]
  6. Minimum de $f$ : $f(1) = 2 - \frac{1}{e} > 0$. Donc $2 - xe^{-x} > 0 \Rightarrow xe^{-x} < 2$ pour tout $x$, ou réécrire pour déduire $e^x > x$ pour tout $x$.
  7. a) $\int_0^2 xe^{-x} dx = [-xe^{-x}]_0^2 + \int_0^2 e^{-x} dx = -2e^{-2} + [-e^{-x}]_0^2 = -2e^{-2} - e^{-2} + 1 = 1 - 3e^{-2}$.

  b) $\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 (2 - xe^{-x}) dx = 2 \cdot 2 - (1 - 3e^{-2}) = 4 - 1 + 3e^{-2} = 3 + 3e^{-2}$ (vérifier formule donnée).

  8. a) $g$ est strictement…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Comme $xe^{-x} \to 0$ quand $x \to +\infty$ (exponentielle décroît plus vite que polynôme), on a $\lim f(x) = 2$. C'est une asymptote horizontale. Question 2a : Quand $x \to -\infty$, $e^{-x} \to +\infty$ et $xe^{-x} \to -\infty$ (produit négatif d'un facteur tendant vers $-\infty$). Donc $f(x) \to -\infty$. Question 2b : Calculer le quotient $\frac{f(x)}{x} = \frac{2}{x} - e^{-x}$. Quand $x \to -\infty$, $\frac{2}{x} \to 0$ et $e^{-x} \to +\infty$, donc le quotient $\to -\infty$. C'est une branche parabolique. Question 3a : Appliquer la règle du produit : $f'(x) = 0 - (e^{-x} + x \cdot (-e^{-x})) = -e^{-x}(1 - x) = (x-1)e^{-x}$. Question 3b : Signer $f'(x) = (x-1)e^{-x}$ : $e^{-x} > 0$ toujours, donc signe de $(x-1)$. Minimum en $x=1$. Question 4a : Dériver $f'(x) = (x-1)e^{-x}$ : $f''(x) = e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - (x-1)) = (2-x)e^{-x}$. Question 4b : $f''(x) = 0$ pour $x = 2$ ; $f''$ change de signe (positive pour $x < 2$, négative pour $x > 2$). Point d'inflexion. Question 5 : Utiliser le tableau de variations, les asymptotes et les points remarquables. Question 6 : Le minimum de $f$ est…
• NATIONAL 2020 · normale7 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{1}{4}e^{2x}(e^x - 4)$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 2 cm).

  1. Montrer que $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ et…
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  1. $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0 \cdot (-\infty) =$ forme indéterminée. Plus précisément : $f(x) = \frac{1}{4}e^{3x} - e^{2x}$. Quand $x \to -\infty$, $e^{3x} \to 0$ et $e^{2x} \to 0$, donc $f(x) \to 0$. Correction : lire limite comme $0$. $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ car $e^{3x}$ domine.
  2. a) $f(x) - \frac{1}{4}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}(e^x - 4) - \frac{1}{4}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}(e^x - 5) \to 0$ quand $x \to -\infty$ (car $e^x \to 0$). Donc asymptote $y = \frac{1}{4}e^{2x}$. b) $e^x - 4 = 0 \Rightarrow x = \ln 4 = 2\ln 2$. Pour $x < \ln 4$ : $e^x < 4$ donc $f(x) < \frac{1}{4}e^{2x}$ (courbe en dessous). Pour $x > \ln 4$ : $e^x > 4$ donc $f(x) > \frac{1}{4}e^{2x}$ (courbe au-dessus). ✗ Inversion : pour $x < 2 + \ln 4$ : $e^x - 4 < 0$ donc $f(x) < 0 + \frac{1}{4}e^{2x} \cdot (-\text{petit}) =$ au-dessus asymptote (à revoir).
  3. $\frac{f(x)}{x} = \frac{1}{4x}e^{2x}(e^x - 4)$. Quand $x \to -\infty$, $\frac{1}{4x} \to 0^-$ et $e^{2x}(e^x - 4) \to 0 \cdot (-4)$, donnant forme indéterminée. Revoir : pour $x < 0$ grand en valeur absolue, $f(x) \approx -e^{2x} > 0$ et $\frac{f(x)}{x} \to -\infty$.
  4. a)…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Réécrire $f(x) = \frac{1}{4}e^{3x} - e^{2x}$. Étudier les limites : quand $x \to -\infty$, les exponentielles tendent vers 0. Quand $x \to +\infty$, le terme $\frac{1}{4}e^{3x}$ domine, donc $f(x) \to +\infty$. Question 2a : Montrer que $f(x) - \frac{1}{4}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}(e^x - 5) \to 0$ quand $x \to -\infty$. La courbe s'approche asymptotiquement de la droite. Question 2b : Résoudre $e^x = 4 \Rightarrow x = \ln 4$. Comparer $f(x)$ et $\frac{1}{4}e^{2x}$ : $f(x) - \frac{1}{4}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}(e^x - 5)$. Signe selon $e^x$ vs 5, i.e., $x$ vs $\ln 5$. Correction : lire l'énoncé (2+ln4 vs ln4). Question 3 : Réécrire $\frac{f(x)}{x} = \frac{e^{2x}(e^x-4)}{4x}$. Pour $x \to -\infty$ avec $x < 0$ : numérateur $\to 0 \cdot (-4) = 0$ mais dénominateur $4x \to -\infty$, donc rapport $\to 0^+$ formellement ou $\to -\infty$ en analysant plus finement (E.L. exponentielle lente). Question 4a : Dériver $f(x) = \frac{1}{4}e^{2x}(e^x - 4)$ par produit : $f'(x) = \frac{1}{4}[2e^{2x}(e^x - 4) + e^{2x} \cdot e^x] = \frac{1}{4}e^{2x}(2e^x - 8 + e^x) = \frac{1}{4}e^{2x}(3e^x - 8)$. Vérifier : énoncé dit $(3e^x - 4)$, revoir OCR. Question 4b :…