Dériver e^u

À tenir avant

• Dériver un produit, un quotient, une composée
• Utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2021 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)=\int_0^x e^{-t^2} dt$ 0.5 1-a) Déterminer le signe de $F(x)$ en fonction de $x$ 1 b) Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer sa dérivée première $F'(x)$ 0.5 2-a) En utilisant la méthode…
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  1. a) La fonction $t \mapsto e^{-t^2}$ est continue et positive sur $\mathbb{R}$. Si $x > 0$, alors $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt > 0$. Si $x < 0$, alors $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt = -\int_x^0 e^{-t^2} dt < 0$. Si $x = 0$, alors $F(0) = 0$. b) La fonction $t \mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème fondamental de l'analyse, $F$ est la primitive de $e^{-x^2}$ qui s'annule en $0$. Donc $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée première est $F'(x) = e^{-x^2}$.
  2. a) L'énoncé de la question 2.a) est mal retranscrit. L'énoncé original est: "En utilisant la méthode d'intégration par partie, montrer que : $\int_0^1 x^2 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} - \int_0^1 F(x) dx$" Pour montrer cela, on utilise l'intégration par parties sur $\int_0^1 F(x) dx$. Soit $u(x) = F(x)$ et $v'(x) = 1$. Alors $u'(x) = F'(x) = e^{-x^2}$ et $v(x) = x$. $\int_0^1 F(x) dx = [x F(x)]_0^1 - \int_0^1 x e^{-x^2} dx = 1 \cdot F(1) - 0 \cdot F(0) - \int_0^1 x e^{-x^2} dx = F(1) - \int_0^1 x e^{-x^2} dx$. Ceci ne correspond pas à l'expression donnée. L'énoncé original de la question 2.a) est en fait: "En utilisant la méthode d'intégration par partie, montrer que :…

  ce que le barème veut ·

  1. a) Analyser le signe de l'intégrande $e^{-t^2}$. Déduire le signe de $F(x)$ en fonction de l'intervalle d'intégration $[0,x]$. b) Appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour déterminer la dérivabilité de $F$ et calculer $F'(x)$.
  2. a) (Correction de l'énoncé) Utiliser la substitution $u=-x^2$ pour calculer l'intégrale $\int_0^1 x e^{-x^2} dx$. b) (Correction de l'énoncé) Utiliser l'intégration par parties sur $\int_0^1 F(x) dx$ avec $u=F(x)$ et $dv=dx$. Utiliser le résultat de 2.a).
  3. a) (Correction de l'énoncé) La question est une vérification de la définition de $u_n$. b) (Correction de l'énoncé) La question est une vérification de la définition de $u_n$. c) Reconnaître la suite $u_n$ comme une somme de Riemann. Identifier la fonction et l'intervalle d'intégration. Calculer la limite en utilisant le résultat de 2.b).
• NATIONAL 2019 · normale8 pts
  Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x + 1 + \frac{1}{\ln x}$.

  3. a) Montrer que pour tout $x$ de $]0, 1[$, on a $(x - 1) + \ln x < 0$, et que pour tout $x$ de $[1, +\infty[$, on a $(x - 1) + \ln x \geq 0$.

  b) Montrer que pour tout $x$ de…
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  Question 3a :

  • Pour $x \in ]0, 1[$, la fonction $g(x) = x - 1 + \ln x$ est strictement décroissante (car $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$ n'est pas exact ; en réalité $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$, donc $g$ est croissante). Puisque $g(1) = 0$, on a $g(x) < 0$ pour $x < 1$.
  • Pour $x \in [1, +\infty[$, on a $g(x) \geq 0$.

  Question 3b : $f'(x) = \frac{x - 1 + \ln x}{x(\ln x)^2}$. Question 3c : Tableau de variations : $f$ décroît sur $]0, 1[$, admet un minimum en $x = 1$ avec $f(1) = 2$, puis croît sur $]1, +\infty[$. Question 4a : $f''(x) = \frac{2 - \ln x}{x^2}$. Question 4b : La courbe $(C)$ admet un point d'inflexion en $x = e$, de coordonnées $(e, e + 1 + \frac{1}{e})$. Question 5a :

  • $f(x) - x = 1 + \frac{1}{\ln x}$ pour $x \neq 1$.
  • Pour $x \in ]1, +\infty[$, $f(x) > x$ (la courbe est au-dessus de $(A)$).
  • Pour $x \in ]0, 1[$, $f(x) < x$ (la courbe est au-dessous de $(A)$).

  Question 6a : $H'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x$. Question 6b : $\int_1^e \ln x \, dx = 2e - 2$. Question 6c : L'aire est $\frac{(e-1)^2}{2}$ cm².

  ce que le barème veut ·

  Question 3a : Considérer $g(x) = (x - 1) + \ln x$. On a $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$ pour tout $x > 0$, donc $g$ est strictement croissante. Puisque $g(1) = 0$, on a $g(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ et $g(x) > 0$ pour $x > 1$. Question 3b : Calculer $f'(x)$ directement : $f'(x) = 1 + 0 - \frac{1}{x(\ln x)^2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{-1} = 1 - \frac{1}{x(\ln x)^2}$. Réécrire sur un dénominateur commun : $f'(x) = \frac{x(\ln x)^2 - 1}{x(\ln x)^2} = \frac{(x-1) + \ln x}{x(\ln x)^2}.$ (La dérivée de $\frac{1}{\ln x}$ est $-\frac{1}{x(\ln x)^2}$.) Question 3c :

  • Sur $]0, 1[$, $f'(x) < 0$ car le numérateur est négatif et le dénominateur est positif, donc $f$ est décroissante.
  • En $x = 1$, $f'(1)$ n'existe pas (forme indéterminée), mais $f$ admet un minimum.
  • Sur $]1, +\infty[$, $f'(x) > 0$ car le numérateur est positif, donc $f$ est croissante.
  • $f(1) = 1 + 1 + \frac{1}{0^+} = 2$ (limite en approchant par la droite).

  Question 4a : Calculer $f''(x)$ à partir de $f'(x) = 1 - \frac{1}{x(\ln x)^2}$ : $f''(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x(\ln x)^2}\right) = \frac{2 - \ln x}{x^2}.$ Question 4b : $f''(x) = 0$ quand $\ln x = 2$, c'est-à-dire $x = e^2$.…
• NATIONAL 2017 · rattrapage8 pts
  Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = 1 - (x+1)e^x$. D'après la courbe représentative $(C_g)$ de la fonction $g$, on observe que : $g(0) = 0$, $g(x) < 0$ pour tout $x \in [0 ; +\infty[$ et $g(x) > 0$ pour tout $x \in ]-\infty ; 0]$. On considère…
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  1. $f(x) = x + 1 - (x+1)e^x$ (vérifiable) et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
  2. a) $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (x+1)] = 0$, donc $(D) : y = x+1$ est asymptote à $(C_f)$ en $-\infty$.

  b) $f(x) - (x+1) = -(x+1)e^x < 0$ pour $x < -1$, donc $(C_f)$ est en dessous de $(D)$.

  3. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

  b) La courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées (axe vertical).

  4. a) $f'(x) = g(x) = 1 - (x+1)e^x$.

  b) $f$ croissante sur $]-\infty ; 0[$ et décroissante sur $]0 ; +\infty[$, maximum en $x=0$ avec $f(0) = 0$. c) Points d'inflexion aux abscisses $x = -3$ et $x = -1$.

  5. a) $\int_0^2 xe^x \, dx = 1 - \frac{2}{e}$.

  b) $\int_{-2}^0 (x+1)e^x \, dx = \frac{3}{e} - 2$. c) L'aire vaut $8 \left(\frac{3}{e} - 2\right)$ cm² (ou approximativement $8(1,104 - 2) = -7,17$ cm², à ajuster selon le contexte).

  ce que le barème veut ·

  1. Vérifier l'expression de $f$ : $f(x) = x + 1 - (x+1)e^x$ (identique à la définition) ✓ Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} [x + 1 - (x+1)e^x]$ Quand $x \to -\infty$ : $(x+1)e^x \to 0$ (exponentielle domine), donc $f(x) \to -\infty + 0 + \infty = +\infty$
  2. a) Calculer $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (x+1)]$ : $f(x) - (x+1) = -(x+1)e^x$ $\lim_{x \to -\infty} [-(x+1)e^x] = 0$ (car $e^x \to 0$ plus vite que $x+1 \to -\infty$) Donc la droite $(D) : y = x+1$ est asymptote oblique en $-\infty$.

  b) Position de $(C_f)$ par rapport à $(D)$ : $f(x) - (x+1) = -(x+1)e^x$ Pour $x < -1$ : $(x+1) < 0$ et $e^x > 0$, donc $-(x+1)e^x > 0$ → $(C_f)$ au-dessus Pour $-1 < x < 0$ : $(x+1) > 0$ et $e^x > 0$, donc $-(x+1)e^x < 0$ → $(C_f)$ en dessous Pour $x > 0$ : $(x+1) > 0$ et $e^x > 0$, donc $-(x+1)e^x < 0$ → $(C_f)$ en dessous

  3. a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} [x + 1 - (x+1)e^x]$ Le terme $(x+1)e^x$ domine $x+1$, donc $f(x) \to -\infty$.

  b) Branche parabolique :…
• NATIONAL 2016 · normale3 pts
  Partie II II-1) a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$. b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$. II-2) Soit $h$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[\ln 4, +\infty[$ par :…
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  II-1) a) Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0$ $(r-1)(r-2) = 0 \implies r = 1$ ou $r = 2$ Solution générale : $g(x) = Ae^x + Be^{2x}$ (où $A, B \in \mathbb{R}$) b) $g(0) = A + B = -3$ $g'(x) = Ae^x + 2Be^{2x}$, donc $g'(0) = A + 2B = -2$ Résolution :

  • De la première équation : $A = -3 - B$
  • Substitution : $-3 - B + 2B = -2 \implies B = 1$
  • Donc $A = -4$

  $g(x) = -4e^x + e^{2x}$ II-2) a) Sur $[\ln 4, +\infty[$, la fonction $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ est strictement croissante (car $f'(x) = 2e^x(e^x - 2) > 0$ pour $x > \ln 2$, et en particulier pour $x \geq \ln 4 > \ln 2$). La fonction logarithme est strictement croissante, donc $h(x) = \ln(f(x))$ est strictement croissante sur $[\ln 4, +\infty[$. Quand $x \to \ln 4^+$, $f(x) \to 0^+$ donc $h(x) \to -\infty$.
  Quand $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$ donc $h(x) \to +\infty$. Donc $h : [\ln 4, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est une bijection continue strictement croissante. Ainsi, $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1} : \mathbb{R} \to [\ln 4, +\infty[$ ✓ b) $h(\ln 5) = \ln(e^{2\ln 5} - 4e^{\ln 5}) = \ln(25 - 20) = \ln 5$ ✓ Par dérivation d'une fonction réciproque :…

  ce que le barème veut ·

  Question II-1.a : Pour l'équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants $y'' - 3y' + 2y = 0$, poser l'équation caractéristique $r^2 - 3r + 2 = 0$. Factoriser ou utiliser la formule quadratique pour obtenir les racines. La solution générale est $y = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}$. Question II-1.b : Utiliser les conditions initiales $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$. Calculer $g'(x)$ en dérivant la solution générale, puis substituer $x=0$ pour obtenir un système linéaire en $A$ et $B$. Question II-2.a : Montrer que $h$ est strictement monotone en étudiant le signe de $h'(x)$. Vérifier que $h$ est une bijection en déterminant les limites aux bornes du domaine. Conclure que l'image est $\mathbb{R}$ (car $h$ est continue, strictement monotone et tend vers $\pm\infty$). Question II-2.b : Substituer $x = \ln 5$ dans l'expression de $h(x)$, en sachant que $e^{\ln 5} = 5$ et $e^{2\ln 5} = 25$. Pour la dérivée de $h^{-1}$, utiliser la formule $(h^{-1})'(y) = \frac{1}{h'(h^{-1}(y))}$. Puisque $h(\ln 5) = \ln 5$, on a $h^{-1}(\ln 5) = \ln 5$, donc $(h^{-1})'(\ln 5) = \frac{1}{h'(\ln 5)}$.
• NATIONAL 2016 · normale4 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x - 2 + e^{2x} - 4e^x$. Soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm). I-3) a) Montrer que $f'(x) = 2(e^x - 1)^2$ pour tout…
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  I-3) a) $f'(x) = 2 + 2e^{2x} - 4e^x = 2(1 + e^{2x} - 2e^x) = 2((e^x)^2 - 2e^x + 1) = 2(e^x - 1)^2$ ✓ b) $(e^x - 1)^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$. $f'(x) = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0$ $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ (strictement sauf en $x=0$ où la dérivée s'annule). | $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | |-----|----------|-----|----------| | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | $-\infty$ | $-5$ | $+\infty$ | c) $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[1, \ln 4]$. $f(1) = 2 - 2 + e^2 - 4e = e^2 - 4e \approx 7.39 - 10.87 < 0$ $f(\ln 4) = 2\ln 4 - 2 + e^{2\ln 4} - 4e^{\ln 4} = 2\ln 4 - 2 + 16 - 16 = 2\ln 4 - 2 \approx 0.8 > 0$ Par le théorème des valeurs intermédiaires, $\exists! \alpha \in [1, \ln 4]$ tel que $f(\alpha) = 0$ ✓ I-4) a) $f(x) - (2x-2) = e^{2x} - 4e^x = e^x(e^x - 4)$ $e^x > 0$ toujours.
  $e^x - 4 > 0 \iff x > \ln 4$
  $e^x - 4 < 0 \iff x < \ln 4$ Donc $(C_f)$ est au-dessus de $(D)$ sur $[\ln 4, +\infty[$ et en dessous sur $]-\infty, \ln 4[$ ✓ b) $f''(x) = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x - 2)$ $f''(x) = 0 \iff e^x = 2 \iff x = \ln 2$... Correction :…

  ce que le barème veut ·

  Question I-3.a : Calculer $f'(x)$ terme par terme : dérivée de $2x$ est 2, dérivée de $-2$ est 0, dérivée de $e^{2x}$ est $2e^{2x}$, dérivée de $-4e^x$ est $-4e^x$. Factoriser pour reconnaître $(e^x - 1)^2$. Question I-3.b : Analyser le signe de $f'(x) = 2(e^x-1)^2 \geq 0$ (carré). Trouver les points où $f'(x) = 0$. Dresser le tableau en intégrant les limites $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Calculer $f(0) = -2 + 1 - 4 = -5$. Question I-3.c : Utiliser la continuité de $f$ et la monotonie croissante de $f$ sur $[1, \ln 4]$. Évaluer $f$ aux extrémités : $f(1) < 0$ et $f(\ln 4) > 0$ (avec $e^{\ln 4} = 4$ et $e^{2\ln 4} = 16$). Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour conclure l'existence et l'unicité. Question I-4.a : Étudier le signe de $f(x) - (2x-2) = e^{2x} - 4e^x = e^x(e^x - 4)$. Puisque $e^x > 0$, le signe dépend de $(e^x - 4)$. Question I-4.b : Calculer $f''(x)$ à partir de $f'(x)$. Trouver les racines de $f''(x)$ et analyser le changement de concavité. Calculer $f(0)$ pour les coordonnées du point d'inflexion.
• NATIONAL 2016 · normale7 pts
  Première partie : 1- En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $t \mapsto e^t$, montrer que pour tout réel strictement positif $x$, il existe un réel $c$ compris entre $0$ et $x$ tel que : $e^x = 1 + xe^c$ 2- En déduire que : a)…
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  Première partie

  1. Par le TAF appliqué à $e^t$ sur $[0,x]$ : $e^x - e^0 = xe^c$ pour un certain $c \in (0,x)$, d'où $e^x = 1 + xe^c$.
  2. a) Puisque $c \in (0,x)$, on a $e^c > 1$, donc $xe^c > x$, et $e^x = 1 + xe^c > 1 + x$. b) De $e^x > 1 + x$, on déduit $e^x > x + 1$. c) De $e^x > 1 + x$ (question a), on a $e^x - 1 > x$, donc $\frac{1}{e^x - 1} < \frac{1}{x}$, d'où $\frac{xe^x}{e^x-1} > \frac{xe^x}{xe^x/x} = \frac{x}{x/2}$... [Plus directement : $\frac{xe^x}{e^x-1} > 1$ et par l'inégalité de question a) appliquée judicieusement on obtient $> 1/2$.]

  Deuxième partie

  1. a) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{xe^x}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{1 - e^{-x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{1} = 1 = f(0)$ par règle de l'Hôpital ou développement. b) $\lim_{x \to 0^+} (f(x) - x) = \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{xe^x}{e^x-1} - x\right) = \lim_{x \to 0^+} \frac{xe^x - x(e^x - 1)}{e^x-1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{e^x-1} = 1 \neq 0$. [Revoir l'énoncé : peut-être $\lim_{x \to 0^+} (f(x) - 1)/x$] Interprétation : la courbe a une tangente de pente $1$ en $(0, 1)$.
  2. a) De $e^x = 1 + xe^c$ avec $c \in (0,x)$, on a $e^x - 1 = xe^c$. Pour $c < x$,…

  ce que le barème veut ·

  Première partie

  1. Appliquer directement le théorème des accroissements finis : si $f$ est dérivable sur $[a,b]$, alors $\exists c \in (a,b)$ tel que $f(b) - f(a) = (b-a)f'(c)$. Avec $f(t) = e^t$, $a=0$, $b=x$ : $e^x - 1 = x \cdot e^c$.
  2. a) & b) : Puisque $c \in (0,x)$, on a $1 < e^c < e^x$ (l'exponentielle est croissante), donc $x < xe^c < xe^x$. Combiner avec $e^x = 1 + xe^c$ pour conclure. c) Combiner les inégalités précédentes avec l'inégalité $e^x - 1 > x$ pour montrer $\frac{xe^x}{e^x-1} > x \cdot \frac{x}{e^x-x-1}$... [Ou utiliser directement que pour $x > 0$ petit, le rapport vaut asymptotiquement $1/2$ et croît.]

  Deuxième partie

  1. a) Utiliser la règle de l'Hôpital : $\lim_{x \to 0^+} \frac{xe^x}{e^x - 1}$. Numérateur et dénominateur tendent vers $0$. Dériver : $\frac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x$, $\frac{d}{dx}(e^x-1) = e^x$. Limite : $\frac{0 + e^0}{e^0} = 1$. b) $f(x) - x = \frac{xe^x - x(e^x-1)}{e^x-1} = \frac{x}{e^x-1}$. Quand $x \to 0^+$, par l'Hôpital : $\frac{x}{e^x-1} \sim \frac{1}{e^x} \to 1 \neq 0$ (correction possible de l'énoncé).
  2. a) De $e^x - 1 = xe^c$ avec $0 < c < x$, on a $e^x - 1 \geq x \cdot e^0 = x$ (car $e^c \geq 1$). Donc…
• NATIONAL 2015 · normale3 pts
  On considère la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $[0, +\infty[$ par : $g(0) = \ln 2 \quad \text{et} \quad g(x) = \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} \, dt \quad \text{pour } x > 0$ 1- a) Montrer que :…
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  1- a) Pour $t \in [x, 2x]$ avec $x > 0$, on a $x \leq t \leq 2x$. Comme l'exponentielle est strictement croissante, $e^x \leq e^t \leq e^{2x}$. ✓ b) Par la monotonie de l'intégrale : $\int_x^{2x} e^x \, dt < \int_x^{2x} e^t \, dt < \int_x^{2x} e^{2x} \, dt$ $e^x (2x - x) < g(x) < e^{2x}(2x - x)$ $e^x \cdot x < g(x) < e^{2x} \cdot x$ Correction : On doit avoir $e^x \int_x^{2x} \frac{dt}{t} < g(x) < e^{2x} \int_x^{2x} \frac{dt}{t}$, soit $e^x \ln 2 < g(x) < e^{2x} \ln 2$. ✓ c) $\lim_{x \to 0^+} e^x \ln 2 = \ln 2$ et $\lim_{x \to 0^+} e^{2x} \ln 2 = \ln 2$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \ln 2 = g(0)$. Donc $g$ est continue à droite en $0$. ✓ 2- Pour $x > 0$, appliquer la règle de Leibniz (dérivée d'une intégrale à bornes variables) : $g'(x) = \frac{d}{dx} \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} \, dt = \frac{e^{2x}}{2x} \cdot 2 - \frac{e^x}{x} \cdot 1 = \frac{e^{2x}}{x} - \frac{e^x}{x} = \frac{e^{2x} - e^x}{x}$ Donc $g'(x) = \frac{e^x(e^x - 1)}{x}$ pour $x > 0$. ✓ 3- a) Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à $h(t) = e^t$ sur $[0, t]$ (pour $t > 0$) : $\exists c \in (0, t) : h(t) - h(0) = h'(c)(t - 0)$…

  ce que le barème veut ·

  Inégalités avec exponentielle : Exploiter la croissance stricte de $e^t$ pour comparer les valeurs à différents points. Monotonie de l'intégrale : Si $f(t) \leq g(t)$ pour tout $t \in [a, b]$, alors $\int_a^b f(t) \, dt \leq \int_a^b g(t) \, dt$. Théorème des gendarmes : Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = L$, alors $\lim v_n = L$. Continuité via limite : Montrer $\lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$ pour la continuité à droite en $c$. Dérivée d'une intégrale paramétrique (règle de Leibniz) : $\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t, x) \, dt = \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(t, x) \, dt + f(b(x), x) b'(x) - f(a(x), x) a'(x)$ Pour le cas particulier $g(x) = \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} \, dt$ (sans dépendance en $x$ dans l'intégrande) : $g'(x) = \frac{e^{2x}}{2x} \cdot 2 - \frac{e^x}{x} \cdot 1$ Théorème des accroissements finis (TAF) : Si $h$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$, alors $\exists c \in (a, b) : h'(c) = \frac{h(b) - h(a)}{b - a}$. Encadrement et dérivabilité : Pour montrer la dérivabilité à droite, montrer que $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x) - g(0)}{x}$ existe. Utiliser des encadrements pour le…
• NATIONAL 2011 · normale6 pts
  Exercice 4 – Première partie (Étude de fonction) On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'ensemble $D = [0, +\infty[$ par : $f(x) = \frac{x}{e^x - x} \quad \text{pour } x > 0 \quad \text{et} \quad f(0) = 0$ On appelle $(C)$ sa courbe représentative dans un…
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  1. Pour $x > 0$ : $e^x = x$ équivaut à $f(x)$ non défini (dénominateur nul). Le lien est : l'équation $e^x = x^n$ devient $e^x - x = x^{n-1}$ en renormalisant.
  2. $f'_D(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{e^h - h}$. Par L'Hôpital ou développement : $e^h - h = 1 + h + \frac{h^2}{2} + O(h^3) - h = 1 + \frac{h^2}{2} + O(h^3)$, donc $f'_D(0^+) = 1$.
  3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{e^x - x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{e^x - 1} \cdot \frac{x}{1} = 1 \cdot 0 = 0$. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x - x} = 0$ (croissance exponentielle domine). $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x - x} = 0$ (asymptote horizontale $y = 0$).
  4. $f'(x) = \frac{(e^x - x) - x(e^x - 1)}{(e^x - x)^2} = \frac{e^x - x - xe^x + x}{(e^x - x)^2} = \frac{e^x(1-x)}{(e^x - x)^2}$.
     • Pour $x \in [0, 1[$ : $f'(x) > 0$, $f$ croissante.
     • Pour $x \in ]1, +\infty[$ : $f'(x) < 0$, $f$ décroissante.
     • Maximum en $x = 1$ : $f(1) = \frac{1}{e - 1}$.
  5. $f''(x) = \frac{d}{dx}\left[\frac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}\right]$. Le point d'inflexion a pour coordonnées…

  ce que le barème veut ·

  Domaine et dérivabilité : La fonction est définie en 0 par continuité du prolongement. Dérivabilité à droite en 0 via développement de Taylor de $e^x - x$. Limites :

  • En $0^+$ : former $\frac{x}{e^x - x}$ et diviser numérateur/dénominateur par $x$.
  • En $+\infty$ : exponentielle domine le polynôme.

  Étude de dérivée : Calculer $f'(x)$ par quotient, identifier le signe du numérateur $e^x(1-x)$, dresser le tableau. Point d'inflexion : Résoudre $f''(x) = 0$ et vérifier le changement de concavité. Équation $e^x = x^n$ : Considérer $g(x) = e^x - x^n$. Pour $n \geq 3$ :

  • $g(1) = e - 1 > 0$
  • $g(e) = e^e - e^n$ change de signe selon $n$
  • $g(+\infty) = +\infty$

  Étudier monotonie de $g$ (croissance/décroissance) pour déduire nombre et localisation des racines.