Résoudre y′ = ay + b

À tenir avant

• Dériver e^u

Cette méthode au national

Questions de type Bac qui demandent cette méthode.

• TYPE BAC2 pts
  Résoudre l'équation différentielle $y' + y = 0$ sur $\mathbb{R}$ avec $y(0) = 5$.
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  y' = -y a pour solutions y(x) = C e^(-x). La condition y(0) = 5 donne C = 5. La solution est y(x) = 5 e^(-x).

  ce que le barème veut · Mettre sous la forme y' = a y (ici a = -1), écrire y = C e^(a x), puis déterminer C avec la condition initiale.
• TYPE BAC2 pts
  Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$, puis déterminer la solution vérifiant $y(0) = 3$.
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  Les solutions de y' = 2y sont y(x) = C e^(2x), C réel. La condition y(0) = 3 donne C = 3. La solution est y(x) = 3 e^(2x).

  ce que le barème veut · Écrire la solution générale de y' = a y sous la forme C e^(a x), puis fixer C avec la condition initiale.
• TYPE BAC3 pts
  Résoudre l'équation différentielle $y'-2y=4$.
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  On résout d'abord l'équation homogène associée $y'-2y=0$, de solution générale $y_h(x)=Ce^{2x}$. On cherche une solution particulière constante $y_p=k$. Alors $0-2k=4$, donc $k=-2$. Ainsi, la solution générale est $y(x)=Ce^{2x}-2$, où $C\in\mathbb{R}$.

  ce que le barème veut · Résoudre l'équation homogène associée, puis chercher une solution particulière constante et additionner les deux résultats.
• TYPE BAC2 pts
  Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'=3y$.
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  Les solutions sur $\mathbb{R}$ sont $y(x)=Ce^{3x}$, où $C\in\mathbb{R}$.

  ce que le barème veut ·

  On reconnaît une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme $y'=ay$ avec $a=3$. D'après le cours, la solution générale est $y(x)=Ce^{ax}$. Donc $y(x)=Ce^{3x}$.
• TYPE BAC2 pts
  Déterminer la solution de l'équation différentielle $y'=-2y+4$ vérifiant $y(0)=1$.
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  La solution générale de $y'=-2y+4$ est $y(x)=2+Ce^{-2x}$. Comme $y(0)=1$, on a $1=2+C$, donc $C=-1$. Ainsi, $y(x)=2-e^{-2x}$.

  ce que le barème veut ·

  On résout d'abord l'équation sans condition initiale. Une solution particulière constante est $y=2$. La solution de l'équation homogène associée $y'=-2y$ est $Ce^{-2x}$. Donc $y(x)=2+Ce^{-2x}$. Puis on utilise $y(0)=1$ pour obtenir $C=-1$.
• TYPE BAC3 pts
  Déterminer la solution de l'équation différentielle $y'=-3y+6$ vérifiant la condition $y(0)+y'(0)=5$.
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  la correction

  La solution générale est $y(x)=2+Ce^{-3x}$. Alors $y'(x)=-3Ce^{-3x}$. Donc $y(0)+y'(0)=(2+C)+(-3C)=2-2C$. La condition donnée devient $2-2C=5$, d'où $C=-\dfrac{3}{2}$. Ainsi, $y(x)=2-\dfrac{3}{2}e^{-3x}$.

  ce que le barème veut ·

  On résout d'abord l'équation différentielle. Une solution particulière constante est $2$, et la solution de l'équation homogène $y'=-3y$ est $Ce^{-3x}$. On obtient donc $y(x)=2+Ce^{-3x}$. Puis on calcule $y'(x)$ et on exploite la condition mixte $y(0)+y'(0)=5$ pour déterminer la constante $C$.
• TYPE BAC2 pts
  Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'-3y=0$.
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  la correction

  On a $a=3$. La solution générale est : $y(x)=Ce^{3x}$, où $C\in\mathbb{R}$.

  ce que le barème veut ·

  Reconnaître une équation de la forme $y'=ay$, puis appliquer directement la formule $y(x)=Ce^{ax}$.
• TYPE BAC2 pts
  Déterminer la solution de l'équation différentielle $y'+2y=0$ vérifiant $y(0)=5$.
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  la correction

  L'équation s'écrit $y'=-2y$, donc sa solution générale est $y(x)=Ce^{-2x}$. En utilisant $y(0)=5$, on obtient $C=5$. Donc la solution cherchée est $y(x)=5e^{-2x}$.

  ce que le barème veut ·

  Résoudre $y'=ay$, puis utiliser la condition initiale.