Fonctions exponentiellesPC · SVT · SM-A · SM-B

Utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle

e^{a+b}=e^a\cdot e^b

e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}

(e^a)^n=e^{na}

La méthode attendue

1Transformer les sommes d'exposants en produits.
2Se rappeler que e^x > 0 pour tout x — aucune condition d'existence.
3Utiliser e^(ln x) = x et ln(e^x) = x pour passer d'une écriture à l'autre.

Le piège

Chercher un domaine de définition pour

e^x

. Elle est définie sur

\mathbb{R}

entier et toujours strictement positive — c'est ce qui la rend utile dans une étude de signe.

S'entraîner sur cette méthode

Cette méthode au national

1 question d'examens nationaux demandent cette méthode.

NATIONAL 2022 · normale2 pts
On considère la fonction $h$ $h$ définie sur $\mathbb{R}$ $R$ par $h(x)=(x+1)e^x$ $h (x) = (x + 1) e^{x}$ .
1. a) Vérifier que $x\mapsto xe^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ , puis calculer $I=\displaystyle\int_0^1 h(x)\,dx$ . b) À l'aide d'une intégration par parties, calculer…
la correction
a) $I=e$ . b) $J=2-\dfrac{3}{e}$ .

a) Solutions de $(E)$ : $y=(ax+b)e^x$ , $a,b\in\mathbb{R}$ . b) $h(x)=(x+1)e^x$ est bien la solution particulière vérifiant les conditions initiales.
ce que le barème veut ·

a) Dériver $x\mapsto xe^x$ : $(xe^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x=h(x)$ , donc c'est une primitive. Ainsi $I=[xe^x]_0^1=1\cdot e^1-0=e$ . b) Poser $u=x+1$ , $dv=e^{-x}dx$ donc $du=dx$ , $v=-e^{-x}$ . $J=[-(x+1)e^{-x}]_0^1+\int_0^1 e^{-x}dx = (-2e^{-1}+1)+[-e^{-x}]_0^1 = 1-2e^{-1}+(1-e^{-1})=2-3e^{-1}=2-\dfrac{3}{e}$ .

a) L'équation caractéristique $r^2-2r+1=0$ a une racine double $r=1$ , donc solution générale $y=(ax+b)e^x$ . b) $h(x)=(x+1)e^x$ correspond à $a=1,b=1$ . Vérifier $h(0)=1$ et $h'(x)=(x+2)e^x$ donc $h'(0)=2$ , ce qui satisfait les conditions initiales, donc $h$ est bien la solution cherchée de $(E)$ .
TYPE BAC2 pts
Déterminer la solution de $y''-y=0$ vérifiant $y(0)=2$ et $y'(0)=0$ .
la correction
La solution cherchée est $y(x)=e^x+e^{-x}$ .
ce que le barème veut ·
L'équation caractéristique est $r^2-1=0$ , donc les racines sont $1$ et $-1$ . La solution générale est $y(x)=\lambda e^x+\mu e^{-x}$ . Alors $y'(x)=\lambda e^x-\mu e^{-x}$ . Les conditions initiales donnent $\lambda+\mu=2$ et $\lambda-\mu=0$ . Donc $\lambda=\mu=1$ . Ainsi $y(x)=e^x+e^{-x}$ .
TYPE BAC2 pts
Simplifier l’expression $A=e^{2x-1}\times e^{3- x}$ .
la correction
$A=e^{(2x-1)+(3-x)}=e^{x+2}$ .
ce que le barème veut ·
Appliquer la propriété $e^a\times e^b=e^{a+b}$ puis réduire l’exposant.
TYPE BAC2 pts
Simplifier l’expression $A=\dfrac{e^{3x}e^{-x}}{e^{x}}$ .
la correction
$A=\dfrac{e^{3x-x}}{e^x}=\dfrac{e^{2x}}{e^x}=e^{x}$ .
ce que le barème veut ·

Utiliser $e^a e^b=e^{a+b}$ .

Utiliser $\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$ .
TYPE BAC2 pts
Simplifier l'expression $A=e^{2x}e^{-x}$ .
la correction
$A=e^{2x-x}=e^x$ .
ce que le barème veut ·
Appliquer la propriété algébrique $e^ae^b=e^{a+b}$ .

Tu veux vérifier que tu le tiens vraiment ?

Une séance : tu regardes, tu manipules, tu écris l'étape, on la corrige au barème.

Faire la séance

Utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle

La méthode attendue

Le piège

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