Suites numériques

Le chapitre des suites numériques est fondamental en 2ème année du baccalauréat. Il représente environ 10% du poids total de l'examen national, souvent intégré dans un problème d'analyse plus vaste. La maîtrise de ce chapitre est cruciale car il développe des compétences transversales comme le raisonnement par récurrence, l'étude de fonctions et la détermination de limites, qui sont fréquemment évaluées.

L'intuition

Le cours

I. Généralités sur les suites numériques

Une suite numérique est une application de $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ de la forme $\{n \in \mathbb{N} \mid n \ge n_0\}$) vers $\mathbb{R}$. On la note $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou $(U_n)$. $U_n$ est le terme général de la suite.

A. Modes de définition d'une suite

1. Définition explicite : Le terme $U_n$ est donné directement en fonction de $n$. Exemple : $U_n = 2n + 3$.

   Suite · uₙ

   u(n) = 2n + 3

   +3 termesn = 0…3

   Comment les termes évoluent-ils ? Est-ce que la suite semble croissante ?

2. Définition par récurrence : Le premier terme $U_0$ (ou $U_{n_0}$) est donné, et $U_{n+1}$ est exprimé en fonction de $U_n$. Exemple : $U_0 = 1$ et $U_{n+1} = 2U_n + 1$.

B. Monotonie d'une suite

La monotonie décrit le sens de variation d'une suite.

1. Suite croissante : Une suite $(U_n)$ est croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} \ge U_n$. Pour le prouver, on étudie le signe de la différence $U_{n+1} - U_n$. Si $U_{n+1} - U_n \ge 0$, la suite est croissante. Si tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi étudier le rapport $\frac{U_{n+1}}{U_n}$. Si $\frac{U_{n+1}}{U_n} \ge 1$, la suite est croissante.

2. Suite strictement croissante : Une suite $(U_n)$ est strictement croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} > U_n$.

3. Suite décroissante : Une suite $(U_n)$ est décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} \le U_n$. Pour le prouver, on étudie le signe de la différence $U_{n+1} - U_n$. Si $U_{n+1} - U_n \le 0$, la suite est décroissante. Si tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi étudier le rapport $\frac{U_{n+1}}{U_n}$. Si $\frac{U_{n+1}}{U_n} \le 1$, la suite est décroissante.

4. Suite strictement décroissante : Une suite $(U_n)$ est strictement décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} < U_n$.

5. Suite constante : Une suite $(U_n)$ est constante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} = U_n$.

6. Suite monotone : Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

C. Suites bornées

1. Suite majorée : Une suite $(U_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n \le M$. $M$ est appelé un majorant de la suite.

2. Suite minorée : Une suite $(U_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n \ge m$. $m$ est appelé un minorant de la suite.

3. Suite bornée : Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Démonstration par récurrence pour les suites bornées ou monotones : Pour montrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$ :

1. Initialisation : Vérifier que $P(n_0)$ est vraie.
2. Hérédité : Supposer que $P(n)$ est vraie pour un certain $n \ge n_0$ (hypothèse de récurrence) et montrer que $P(n+1)$ est vraie.
3. Conclusion : La propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$.

II. Suites arithmétiques et géométriques

Ces suites ont des propriétés spécifiques et sont très souvent évaluées.

A. Suites arithmétiques

1. Définition : Une suite $(U_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} = U_n + r$.

2. Terme général : Si $(U_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $U_p$, alors pour tout $n \ge p$, $U_n = U_p + (n-p)r$. Cas particulier : Si $p=0$, $U_n = U_0 + nr$.

3. Somme des termes : La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par : $S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$. Si la suite commence à $U_0$ et se termine à $U_{N-1}$, alors le nombre de termes est $N$. $S_N = U_0 + U_1 + \dots + U_{N-1} = N \times \frac{U_0 + U_{N-1}}{2}$.

B. Suites géométriques

1. Définition : Une suite $(U_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} = U_n \times q$.

2. Terme général : Si $(U_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $U_p$, alors pour tout $n \ge p$, $U_n = U_p \times q^{n-p}$. Cas particulier : Si $p=0$, $U_n = U_0 \times q^n$.

3. Somme des termes : La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ (si $q \ne 1$). Si la suite commence à $U_0$ et se termine à $U_{N-1}$, alors le nombre de termes est $N$. $S_N = U_0 + U_1 + \dots + U_{N-1} = U_0 \frac{1-q^N}{1-q}$. Si $q=1$, $S_N = N \times U_0$.

III. Limite d'une suite numérique

L'étude de la convergence est cruciale.

A. Suites convergentes et divergentes

1. Définition : Une suite $(U_n)$ converge vers un réel $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n \to +\infty} U_n = L$. Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

B. Propriétés de convergence

1. Théorème de convergence monotone :

   • Toute suite croissante et majorée converge.
   • Toute suite décroissante et minorée converge.

2. Théorème des gendarmes : Si $(U_n)$, $(V_n)$ et $(W_n)$ sont trois suites telles que pour tout $n \ge n_0$, $V_n \le U_n \le W_n$, et si $\lim_{n \to +\infty} V_n = L$ et $\lim_{n \to +\infty} W_n = L$, alors $\lim_{n \to +\infty} U_n = L$.

3. Théorème de comparaison :

   • Si pour tout $n \ge n_0$, $U_n \ge V_n$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} U_n = +\infty$.
   • Si pour tout $n \ge n_0$, $U_n \le V_n$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} U_n = -\infty$.

4. Limite des suites de la forme $q^n$ :

   • Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
   • Si $q = 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
   • Si $-1 < q < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
   • Si $q \le -1$, alors la suite $q^n$ diverge.

C. Limite d'une suite définie par $U_{n+1} = f(U_n)$

Si une suite $(U_n)$ est définie par $U_{n+1} = f(U_n)$ et si elle converge vers une limite $L$, alors cette limite $L$ est une solution de l'équation $f(x)=x$, à condition que la fonction $f$ soit continue en $L$.

Exemple résolu

Considérons la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0 = \sqrt{3}$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$, où $f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{x}$.

1. Montrer par récurrence que $1 \le u_n \le 2$ pour tout entier naturel $n$.

   • Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = \sqrt{3}$. On a $1 \le \sqrt{3} \le 2$ (car $1^2=1$, $(\sqrt{3})^2=3$, $2^2=4$, donc $1 \le 3 \le 4$). La propriété est vraie pour $n=0$.
   • Hérédité : Supposons que pour un certain $n \in \mathbb{N}$, $1 \le u_n \le 2$. Montrons que $1 \le u_{n+1} \le 2$. On étudie la fonction $f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{x}$ sur l'intervalle $[1, 2]$. $f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{2x^2}$. Sur $[1, 2]$, $x^2 - 2$ est négatif pour $x \in [1, \sqrt{2}[$ et positif pour $x \in ]\sqrt{2}, 2]$. $f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. $f(1) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$. $f(2) = \frac{1}{2}(2) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Le minimum de $f$ sur $[1, 2]$ est $\sqrt{2}$ (en $x=\sqrt{2}$) et le maximum est $\frac{3}{2}$ (en $x=1$ et $x=2$). Donc, si $1 \le u_n \le 2$, alors $f(1) \ge f(u_n) \ge f(\sqrt{2})$ si $u_n \in [1, \sqrt{2}]$ et $f(\sqrt{2}) \le f(u_n) \le f(2)$ si $u_n \in [\sqrt{2}, 2]$. Dans tous les cas, $f(u_n) \in [\sqrt{2}, \frac{3}{2}]$. Puisque $1 \le \sqrt{2}$ et $\frac{3}{2} \le 2$, on a bien $1 \le u_{n+1} \le 2$.
   • Conclusion : Par le principe de récurrence, $1 \le u_n \le 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + \frac{1}{u_n} - u_n = \frac{1}{u_n} - \frac{1}{2}u_n = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}$. On sait que $1 \le u_n \le 2$. Donc $u_n > 0$, et $u_n^2 \le 4$. Le signe de $u_{n+1} - u_n$ dépend du signe de $2 - u_n^2$. Puisque $u_n \le 2$, on a $u_n^2 \le 4$. Cependant, pour montrer qu'elle est décroissante, il faut $2 - u_n^2 \le 0$, ce qui signifie $u_n^2 \ge 2$, soit $u_n \ge \sqrt{2}$. On doit vérifier que $u_n \ge \sqrt{2}$ pour tout $n$. $u_0 = \sqrt{3} \ge \sqrt{2}$. Si $u_n \ge \sqrt{2}$, alors $f(u_n) = \frac{1}{2}u_n + \frac{1}{u_n}$. Sur $[\sqrt{2}, 2]$, $f'(x) = \frac{x^2-2}{2x^2} \ge 0$, donc $f$ est croissante sur cet intervalle. Si $u_n \ge \sqrt{2}$, alors $u_{n+1} = f(u_n) \ge f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$. Par récurrence, $u_n \ge \sqrt{2}$ pour tout $n$. Ainsi, $u_n^2 \ge 2$, donc $2 - u_n^2 \le 0$. Puisque $u_n > 0$, on a $u_{n+1} - u_n = \frac{2 - u_n^2}{2u_n} \le 0$. Donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

   • La suite $(u_n)$ est décroissante (question 2) et minorée par 1 (question 1).
   • D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge. Donc $(u_n)$ est convergente.
   • Soit $L$ sa limite. Puisque $1 \le u_n \le 2$ pour tout $n$, la limite $L$ doit aussi vérifier $1 \le L \le 2$.
   • De plus, $u_{n+1} = f(u_n)$ et $f$ est continue sur $[1, 2]$ (car c'est une somme de fonctions continues).
   • Donc $L$ est solution de l'équation $f(x)=x$. $x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{x}$ $x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{x}$ $\frac{1}{2}x = \frac{1}{x}$ $\frac{1}{2}x^2 = 1$ $x^2 = 2$ $x = \sqrt{2}$ ou $x = -\sqrt{2}$.
   • Puisque $L \in [1, 2]$, la seule solution possible est $L = \sqrt{2}$.
   • Donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}$.

La méthode

Pour étudier une suite $(U_n)$ définie par $U_{n+1} = f(U_n)$ :

1. Démontrer l'encadrement des termes de la suite par récurrence. | Vérifier $U_0 \in [a,b]$, puis supposer $U_n \in [a,b]$ et montrer $f(U_n) \in [a,b]$ en étudiant les variations de $f$ sur $[a,b]$.
2. Étudier la monotonie de la suite. | Calculer $U_{n+1} - U_n$ et étudier son signe, ou comparer $f(x)$ et $x$ sur l'intervalle d'étude.
3. Conclure sur la convergence de la suite. | Utiliser le théorème de convergence monotone (suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée).
4. Déterminer la limite de la suite. | Résoudre l'équation $f(x)=x$ sur l'intervalle de convergence, en justifiant la continuité de $f$.

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur les suites numériques suivent un schéma très répétitif, souvent intégré dans un problème d'analyse. Voici les formats typiques et leur barème :

1. Montrer par récurrence qu'une propriété est vraie pour tout $n$.

   • Initialisation (0.25 pt)
   • Hérédité (0.5 pt)
   • Conclusion (0.25 pt)
   • Total : 1.0 pt

2. Étudier la monotonie d'une suite.

   • Calcul de $U_{n+1} - U_n$ (ou $f(x)-x$) (0.25 pt)
   • Étude du signe (0.5 pt)
   • Conclusion sur la monotonie (0.25 pt)
   • Total : 1.0 pt

3. En déduire la convergence de la suite.

   • Justification de la monotonie (référence à la question précédente) (0.25 pt)
   • Justification du caractère borné (référence à la récurrence) (0.25 pt)
   • Application du théorème de convergence monotone (0.25 pt)
   • Total : 0.75 pt

4. Déterminer la limite de la suite.

   • Justification de la continuité de $f$ (0.25 pt)
   • Écriture de l'équation $f(L)=L$ (0.25 pt)
   • Résolution de l'équation (0.5 pt)
   • Choix de la bonne limite parmi les solutions (en utilisant l'encadrement) (0.25 pt)
   • Total : 1.25 pt

5. Montrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique, puis exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et calculer sa limite. (Souvent avec une suite auxiliaire $V_n = g(U_n)$)

   • Calcul de $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ (0.5 pt)
   • Identification du type de suite et de sa raison (0.25 pt)
   • Expression de $V_n$ en fonction de $n$ (0.25 pt)
   • Expression de $U_n$ en fonction de $n$ (0.5 pt)
   • Calcul de la limite de $U_n$ (0.25 pt)
   • Total : 1.75 pt