Fonctions logarithmes

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est une fonction essentielle en mathématiques et dans de nombreuses applications. Tu vas apprendre à l'utiliser pour résoudre des équations, étudier des fonctions et calculer des limites.

L'intuition

Imagine une machine qui, à partir d'un nombre $x$ strictement positif, te donne l'exposant $y$ tel que $e^y = x$. C'est ça, le logarithme népérien.

Par exemple :

• Si tu lui donnes $e$, elle te répond $1$ car $e^1 = e$.
• Si tu lui donnes $e^2$, elle te répond $2$ car $e^2 = e^2$.
• Si tu lui donnes $1$, elle te répond $0$ car $e^0 = 1$.

Le logarithme népérien a la propriété de transformer les multiplications en additions. C'est ce qui le rend utile pour simplifier des calculs ou pour représenter des quantités très différentes sur une même échelle (comme l'échelle de Richter pour les séismes).

Le cours

Définition et domaine de définition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $x \mapsto e^x$. Elle est définie pour tout $x > 0$. Son domaine de définition est $D_{\ln} = ]0; +\infty[$.

Propriétés fondamentales

Ces propriétés découlent directement de la définition de $\ln(x)$ comme fonction réciproque de $e^x$.

• $\ln(1) = 0$
• $\ln(e) = 1$
• Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$

Propriétés algébriques

Ces propriétés sont essentielles pour simplifier les expressions logarithmiques et résoudre les équations. Elles sont valables pour $a > 0$ et $b > 0$.

• $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$
• $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
• $\ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)$
• $\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$. Cette propriété est également vraie pour $n \in \mathbb{Q}$ (par exemple, $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$).
• $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)$

Limites

Les limites aux bornes du domaine de définition sont cruciales pour l'étude de fonctions.

• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

Il existe aussi des limites remarquables à connaître :

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (on dit que $x$ l'emporte sur $\ln(x)$)
• $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$ (on dit que $x$ l'emporte sur $\ln(x)$)
• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to e} \frac{\ln(x)-1}{x-e} = \frac{1}{e}$ (c'est la dérivée de $\ln(x)$ en $e$, car $f'(e) = \lim_{x \to e} \frac{f(x)-f(e)}{x-e}$ avec $f(x)=\ln(x)$ et $f(e)=\ln(e)=1$)

Dérivée

La fonction $\ln(x)$ est dérivable sur $]0; +\infty[$. Sa dérivée est $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

Si $u(x)$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors la fonction $\ln(u(x))$ est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Tableau de variations et courbe représentative

La dérivée de $\ln(x)$ est $\frac{1}{x}$. Pour tout $x > 0$, $\frac{1}{x} > 0$. Donc la fonction $\ln(x)$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "Résoudre dans $]0; +\infty[$ : $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$"

1. 1

   1. Déterminer le domaine de validité de l'équation.

   Pour que $\ln(A)$ soit défini, il faut $A > 0$.

2. 2

   • $x^2+5 > 0$ est toujours vrai pour $x \in \mathbb{R}$.

3. 3

   • $x+2 > 0 \implies x > -2$.

4. 4

   • $2x > 0 \implies x > 0$.

5. 5

   Le domaine de validité est l'intersection de ces conditions : $x \in ]0; +\infty[$. L'énoncé le précise déjà, mais cette étape est toujours nécessaire.

6. 6

   2. Appliquer les propriétés algébriques du logarithme.

7. 7

   $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$

8. 8

   $\ln(x^2 + 5) = \ln((x + 2) \cdot (2x))$ (propriété $\ln(a) + \ln(b) = \ln(a \cdot b)$)

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   $\ln(x^2 + 5) = \ln(2x^2 + 4x)$

10. 10

    3. Égaliser les arguments.

11. 11

    $x^2 + 5 = 2x^2 + 4x$

12. 12

    4. Résoudre l'équation obtenue.

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    $0 = 2x^2 - x^2 + 4x - 5$

14. 14

    $0 = x^2 + 4x - 5$

15. 15

    Calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$.

16. 16

    Les solutions sont $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

17. 17

    Et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

18. 18

    5. Vérifier que les solutions appartiennent au domaine de validité.

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    Le domaine de validité est $]0; +\infty[$.

20. 20

    • $x_1 = -5$ n'appartient pas à $]0; +\infty[$.

21. 21

    • $x_2 = 1$ appartient à $]0; +\infty[$.

22. 22

    6. Conclure.

23. 23

    L'ensemble des solutions est $S = \{1\}$.

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que tu dois maîtriser pour ce chapitre.

Résoudre une équation logarithmique

La méthode générale pour résoudre une équation du type $\ln(A(x)) = \ln(B(x))$ ou $\ln(A(x)) = k$ est la suivante :

1. 1

   1. Déterminer le domaine de validité (ou ensemble de définition).

   Toutes les expressions à l'intérieur d'un $\ln$ doivent être strictement positives.

2. 2

   Exemple : Pour $\ln(x-1) + \ln(x+2) = \ln(4)$, il faut $x-1 > 0$ et $x+2 > 0$. Donc $x > 1$ et $x > -2$. Le domaine est $]1; +\infty[$.

3. 3

   2. Utiliser les propriétés algébriques du $\ln$ pour simplifier l'équation.

4. 4

   Exemple : $\ln((x-1)(x+2)) = \ln(4)$ ou $\ln(E(x)) = k \iff E(x) = e^k$.

5. 5

   3. Égaliser les arguments ou utiliser l'exponentielle.

6. 6

   Exemple : $(x-1)(x+2) = 4$.

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   4. Résoudre l'équation algébrique obtenue.

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   Exemple : $x^2 + x - 2 = 4 \implies x^2 + x - 6 = 0$.

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   5. Vérifier que les solutions obtenues appartiennent au domaine de validité.

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    Exemple : Pour $x^2 + x - 6 = 0$, $\Delta = 1^2 - 4(1)(-6) = 25$. $x_1 = \frac{-1-5}{2} = -3$, $x_2 = \frac{-1+5}{2} = 2$.

11. 11

    Seul $x_2=2$ est dans $]1; +\infty[$.

12. 12

    6. Conclure en donnant l'ensemble des solutions.

13. 13

    Exemple : $S = \{2\}$.

Étape suivante

Résoudre une inéquation logarithmique

La méthode est similaire à celle des équations, mais il faut faire attention au sens de l'inégalité.

1. 1

   1. Déterminer le domaine de validité.

   Toutes les expressions à l'intérieur d'un $\ln$ doivent être strictement positives.

2. 2

   2. Utiliser les propriétés algébriques du $\ln$ pour simplifier l'inéquation.

3. 3

   3. Comparer les arguments ou utiliser l'exponentielle.

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   4. Résoudre l'inéquation algébrique obtenue.

5. 5

   5. Intersecter l'ensemble des solutions avec le domaine de validité.

6. 6

   6. Conclure en donnant l'ensemble des solutions.

Étape suivante

Calculer des limites

Pour les limites, tu utiliseras les limites fondamentales et les croissances comparées.

1. 1

   1. Identifier la forme de la limite.

   Est-ce une forme indéterminée ($0 \cdot \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, $\infty - \infty$) ?

2. 2

   2. Utiliser les propriétés du $\ln$ pour transformer l'expression.

3. 3

   3. Appliquer les limites remarquables ou les règles de croissance comparée.

4. 4

   Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n>0$.

5. 5

   Exemple : $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n>0$.

6. 6

   4. Si nécessaire, faire un changement de variable.

7. 7

   Exemple : Pour $\lim_{x \to +\infty} \ln(x+1) - \ln(x)$, on peut écrire $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$. En posant $u = \frac{1}{x}$, quand $x \to +\infty$, $u \to 0$. La limite devient $\lim_{u \to 0} \ln(1+u) = 0$.

Étape suivante

Calculer des dérivées

1. 1

   1. Identifier la forme de la fonction.

   Est-ce $\ln(u(x))$, un produit, un quotient, une somme ?

2. 2

   2. Appliquer la formule de dérivation correspondante.

3. 3

   • Si $f(x) = \ln(x)$, alors $f'(x) = \frac{1}{x}$.

4. 4

   • Si $f(x) = \ln(u(x))$, alors $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$ (avec $u(x) > 0$).

5. 5

   • Si $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, alors $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

6. 6

   • Si $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, alors $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$.

7. 7

   3. Simplifier l'expression de la dérivée.

Étape suivante

Pièges classiques

• Domaine de définition oublié : C'est l'erreur la plus fréquente et la plus coûteuse. Toujours commencer par déterminer le domaine de validité des équations ou inéquations.

  Vérifie que tu suis

  Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x-1) = 0$.

  $x=2$$x=1$$x=0$
• Application incorrecte des propriétés algébriques :
  • $\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)$
  • $\ln(a-b) \neq \ln(a) - \ln(b)$
  • $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$ (et non $\ln(a) \cdot \ln(b)$)
  • $\frac{\ln(a)}{\ln(b)} \neq \ln\left(\frac{a}{b}\right)$
• Erreur de signe lors de la résolution d'inéquations : Si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.
• Confusion entre $\ln(x^2)$ et $2\ln(x)$ :
  • $\ln(x^2)$ est défini pour $x \neq 0$.
  • $2\ln(x)$ est défini pour $x > 0$.
  • Ces deux expressions ne sont égales que pour $x > 0$. Pour $x < 0$, $\ln(x^2) = \ln((-x)^2) = 2\ln(-x)$. Donc $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.
  Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2\ln(x) = \ln(4)$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur les fonctions logarithmes est un pilier de l'analyse et est systématiquement évalué. Il représente une part significative des points de la section "Analyse" qui pèse environ 55% de la note finale.

Les questions se présentent généralement sous plusieurs formats :

1. Résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques : C'est une question quasi-certaine. Elle teste ta maîtrise des propriétés algébriques du $\ln$ et ta rigueur sur le domaine de définition.

   • Exemple d'annale : Résoudre dans $]0; +\infty[$ : $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$. (3 points)
   • Exemple d'annale : Résoudre dans $]0; +\infty[$ l'inéquation : $\ln x + \ln(x + 1) > \ln(x^2 + 1)$. (2 points)
   • Pondération : Application directe des connaissances (~50%).

2. Calcul de limites : Souvent intégré dans l'étude d'une fonction. Il faut maîtriser les limites aux bornes du domaine et les croissances comparées.

   • Exemple d'annale : Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ pour une fonction $f(x)$ donnée. (1 à 2 points)
   • Pondération : Application directe des connaissances (~50%) et mobilisation en situation familière (~35%).

3. Calcul de dérivées et étude du signe : Essentiel pour l'étude des variations d'une fonction.

   • Exemple d'annale : Montrer que $g'(x) = \frac{x+1}{x}$ pour $g(x) = x-1+\ln x$. En déduire les variations de $g$. (1 à 2 points)
   • Pondération : Application directe des connaissances (~50%) et mobilisation en situation familière (~35%).

4. Étude complète de fonction : C'est la partie la plus conséquente. Elle regroupe toutes les compétences précédentes : domaine de définition, limites, dérivée, variations, asymptotes, points d'intersection, tracé de courbe.

   • Exemple d'annale : On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x + \frac{1}{x} - 2 + 2\ln x$. Étudier les variations de $f$, montrer que $f(1)=0$, en déduire le signe de $f(x)$. (4 à 8 points, souvent répartis sur plusieurs questions)
   • Pondération : Mobilisation en situation familière (~35%) et situations non familières (synthèse) (~15%).

Attentes du correcteur :

• Rigueur : Chaque étape doit être justifiée. Ne saute pas d'étapes, surtout pour le domaine de définition.
• Clarté de la rédaction : Utilise des phrases complètes, des symboles mathématiques corrects.
• Précision des calculs : Vérifie tes calculs, notamment pour les équations du second degré et les dérivées.
• Cohérence : Les résultats d'une question doivent être cohérents avec les questions suivantes (par exemple, le signe de la dérivée doit correspondre aux variations de la fonction).

Entraîne-toi régulièrement avec les annales pour bien assimiler la méthode et les réflexes attendus.