Dénombrement et probabilités

L'intuition

Imagine que tu dois choisir des joueurs pour ton équipe de foot. Si l'ordre dans lequel tu les choisis n'a pas d'importance (tu as juste besoin de 11 joueurs pour former l'équipe), tu vas utiliser une méthode de dénombrement où l'ordre ne compte pas. Si par contre, tu dois désigner un capitaine, un vice-capitaine et un gardien (les rôles sont différents, l'ordre compte), tu vas utiliser une autre méthode. C'est ça, le dénombrement : compter les possibilités selon que l'ordre compte ou non, et selon que tu peux reprendre le même élément ou non.

Pour les probabilités, c'est la même chose. Si tu lances une pièce, tu as une chance sur deux d'avoir pile. Si tu lances deux pièces, tu as une chance sur quatre d'avoir deux piles. Mais si tu sais que la première pièce est tombée sur pile, alors la probabilité que les deux soient piles change. C'est ça, les probabilités conditionnelles : comment l'information change tes prévisions.

Le cours

I. Dénombrement

Le dénombrement consiste à compter le nombre de façons de réaliser une action ou de former un ensemble d'objets. Les méthodes dépendent de la nature du tirage (avec ou sans remise) et de l'importance de l'ordre.

1. Principe fondamental du dénombrement (ou principe multiplicatif)

Si une expérience se déroule en $p$ étapes successives, et si la première étape peut se faire de $n_1$ façons, la deuxième de $n_2$ façons, ..., et la $p$-ième de $n_p$ façons, alors le nombre total de façons de réaliser l'expérience est $N = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_p$.

2. Factorielle

Pour tout entier naturel $n \ge 1$, la factorielle de $n$, notée $n!$, est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$. $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$. Par convention, $0! = 1$.

3. Arrangements

Un arrangement est un tirage ordonné de $k$ éléments distincts parmi $n$ éléments. L'ordre des éléments compte et il n'y a pas de répétition (sans remise).

Le nombre d'arrangements de $k$ éléments parmi $n$ est noté $A_n^k$ et est donné par la formule :

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

où $0 \le k \le n$.

4. Permutations

Une permutation est un arrangement de $n$ éléments parmi $n$. C'est le nombre de façons d'ordonner $n$ éléments distincts. Le nombre de permutations de $n$ éléments est $P_n = A_n^n = n!$.

5. Combinaisons

Une combinaison est un tirage non ordonné de $k$ éléments distincts parmi $n$ éléments. L'ordre des éléments ne compte pas et il n'y a pas de répétition (sans remise).

Le nombre de combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ est noté $C_n^k$ (ou $\binom{n}{k}$) et est donné par la formule :

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

où $0 \le k \le n$.

Propriétés des combinaisons :

• $C_n^0 = 1$
• $C_n^n = 1$
• $C_n^1 = n$
• $C_n^k = C_n^{n-k}$ (symétrie)
• $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$ (formule de Pascal)

6. Tirages avec remise

• Tirage avec remise et ordre (listes) : Si on tire $k$ éléments parmi $n$ avec remise et que l'ordre compte, le nombre de tirages possibles est $n^k$.
• Tirage avec remise et sans ordre : C'est plus complexe et ne fait généralement pas partie du programme de 2ème Bac SVT.

II. Probabilités

1. Vocabulaire des probabilités

• Expérience aléatoire : Une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude (ex: lancer un dé).
• Univers ($\Omega$) : L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
• Événement : Un sous-ensemble de l'univers.
• Événement élémentaire : Un événement qui ne contient qu'un seul résultat.
• Événement certain : L'univers lui-même.
• Événement impossible : L'ensemble vide ($\emptyset$).
• Événements incompatibles : Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$.
• Événement contraire ($\bar{A}$) : L'ensemble des résultats de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

2. Calcul des probabilités

La probabilité d'un événement $A$ est un nombre réel $P(A)$ compris entre $0$ et $1$.

• $0 \le P(A) \le 1$
• $P(\Omega) = 1$
• $P(\emptyset) = 0$

Si $A$ et $B$ sont deux événements :

• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

3. Équiprobabilité

Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité de se réaliser, on parle d'équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d'un événement $A$ est donnée par la formule :

$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à } A}{\text{Nombre total de cas possibles}}$

Le "nombre total de cas possibles" est souvent calculé à l'aide des techniques de dénombrement vues précédemment.

4. Probabilités conditionnelles

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ (notée $P(A|B)$ ou $P_B(A)$) est la probabilité que l'événement $A$ se réalise, sachant que l'événement $B$ est déjà réalisé. Elle est définie par :

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

où $P(B) \neq 0$.

De cette définition, on tire la formule de probabilité d'intersection :

$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$

Et aussi :

$P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)$

5. Indépendance d'événements

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Mathématiquement, $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Si $P(B) \neq 0$, cette condition est équivalente à $P(A|B) = P(A)$. Si $P(A) \neq 0$, cette condition est équivalente à $P(B|A) = P(B)$.

III. Variables aléatoires

1. Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire. L'ensemble des valeurs que $X$ peut prendre est fini ou dénombrable.

2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire

La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est la donnée de toutes les valeurs $x_i$ que $X$ peut prendre et de leurs probabilités $P(X=x_i)$. On a $\sum P(X=x_i) = 1$.

3. Espérance mathématique

L'espérance mathématique $E(X)$ d'une variable aléatoire discrète $X$ est la moyenne pondérée des valeurs prises par $X$ par leurs probabilités. C'est la valeur moyenne que l'on peut attendre de $X$ sur un grand nombre d'expériences.

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)$

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "Une urne contient huit boules : quatre boules blanches, trois boules noires et une boule verte. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise trois boules de l'urne.

1. Vérifier que le nombre de tirages possibles est égal à $336$.
2. Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : « Tirer trois boules blanches ».
3. Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ : « Tirer trois boules de même couleur » est $p(B)=\dfrac{5}{56}$.
4. Calculer la probabilité de l'évènement $C$ : « Obtenir au moins deux couleurs différentes »."

Solution :

L'urne contient $4B + 3N + 1V = 8$ boules au total. On tire successivement et sans remise 3 boules. L'ordre compte et il n'y a pas de répétition. Il s'agit donc d'arrangements.

1) Nombre de tirages possibles : Il s'agit du nombre d'arrangements de 3 boules parmi 8.

$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$

Le nombre de tirages possibles est bien $336$.

2) Probabilité de l'événement $A$ : « Tirer trois boules blanches » Pour tirer trois boules blanches, il faut choisir 3 boules parmi les 4 blanches. Le nombre de cas favorables à $A$ est $A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$. La probabilité de $A$ est :

$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à } A}{\text{Nombre total de cas possibles}} = \frac{A_4^3}{A_8^3} = \frac{24}{336} = \frac{1}{14}$

3) Probabilité de l'événement $B$ : « Tirer trois boules de même couleur » L'événement $B$ signifie tirer 3 boules blanches OU 3 boules noires.

• Tirer 3 boules blanches : $A_4^3 = 24$ cas.
• Tirer 3 boules noires : $A_3^3 = \frac{3!}{(3-3)!} = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ cas.
• Il n'y a qu'une seule boule verte, donc il est impossible de tirer 3 boules vertes.

Les événements "tirer 3 blanches" et "tirer 3 noires" sont incompatibles. Le nombre de cas favorables à $B$ est $A_4^3 + A_3^3 = 24 + 6 = 30$. La probabilité de $B$ est :

$P(B) = \frac{30}{336} = \frac{5 \times 6}{56 \times 6} = \frac{5}{56}$

La probabilité de $B$ est bien $p(B)=\dfrac{5}{56}$.

4) Probabilité de l'événement $C$ : « Obtenir au moins deux couleurs différentes » L'événement $C$ est le contraire de l'événement $B$ : « Obtenir trois boules de même couleur ». Donc $C = \bar{B}$.

$P(C) = P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{5}{56} = \frac{56 - 5}{56} = \frac{51}{56}$

La méthode

Voici les gestes types que tu dois maîtriser pour résoudre les exercices de dénombrement et probabilités :

1. 1

   1. Identifier le type de tirage :

2. 2

   • Est-ce que l'ordre compte ? (Successivement, avec des rôles différents)

3. 3

   • Est-ce qu'il y a remise ? (Avec remise, sans remise)

4. 4

   • Si l'ordre compte et sans remise : Arrangements ($A_n^k$).

5. 5

   • Si l'ordre ne compte pas et sans remise : Combinaisons ($C_n^k$).

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   • Si l'ordre compte et avec remise : Listes ($n^k$).

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   • Si l'ordre ne compte pas et avec remise : Plus complexe, rarement au programme.

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   2. Calculer le nombre total de cas possibles ($\text{Card}(\Omega)$) :

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   • Applique la méthode de dénombrement identifiée à l'ensemble total des éléments.

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    • Exemple : Tirage de 3 boules parmi 8 sans remise et avec ordre : $A_8^3 = 336$.

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    3. Calculer le nombre de cas favorables à l'événement ($A$) :

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    • Décompose l'événement en sous-événements si nécessaire (ex: "3 boules de même couleur" = "3 blanches" OU "3 noires").

13. 13

    • Pour chaque sous-événement, applique la méthode de dénombrement appropriée.

14. 14

    • Utilise le principe additif pour les "OU" (événements incompatibles) et le principe multiplicatif pour les "ET".

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    • Exemple : Tirer 3 boules blanches parmi 4 : $A_4^3 = 24$.

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    4. Calculer la probabilité de l'événement :

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    • Si c'est de l'équiprobabilité (cas le plus fréquent au Bac) : $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$.

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    • Exemple : $P(A) = \frac{24}{336} = \frac{1}{14}$.

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    5. Gérer les probabilités conditionnelles et l'indépendance :

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    • Pour $P(A|B)$, utilise la formule $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

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    • Pour vérifier l'indépendance, compare $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$.

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    6. Utiliser la variable aléatoire :

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    • Détermine les valeurs possibles de $X$.

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    • Calcule $P(X=x_i)$ pour chaque valeur.

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    • Présente la loi de probabilité sous forme de tableau.

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    • Calcule l'espérance $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.

Étape suivante

Pièges classiques

• Confusion arrangement/combinaison : C'est l'erreur la plus fréquente. Demande-toi toujours si l'ordre des éléments tirés a une importance. Si oui, c'est un arrangement. Si non, c'est une combinaison.

  • Contre-exemple : Choisir 3 personnes pour un comité (ordre ne compte pas $\rightarrow C_n^k$) vs. choisir un président, un secrétaire et un trésorier (ordre compte $\rightarrow A_n^k$).

• Oublier la remise : Si le tirage est avec remise, les formules changent ($n^k$ pour les listes). Les annales du Bac SVT se concentrent souvent sur le tirage sans remise.

• Erreur de calcul de $\text{Card}(\Omega)$ : Si le nombre total de cas possibles est faux, toutes les probabilités seront fausses. Prends le temps de bien identifier le type de tirage pour $\text{Card}(\Omega)$.

• Événement contraire mal utilisé : L'événement contraire est très utile pour simplifier les calculs, surtout pour des expressions comme "au moins" ou "pas plus de". Assure-toi de bien définir l'événement contraire.

  • Contre-exemple : "Au moins une boule noire" est le contraire de "aucune boule noire" (toutes les boules sont blanches).

• Ne pas justifier les étapes : Chaque calcul de dénombrement ou de probabilité doit être accompagné d'une explication claire (ex: "Il s'agit d'un tirage simultané de 3 boules parmi 10, donc on utilise $C_{10}^3$").

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre "Dénombrement et Probabilités" est systématiquement présent à l'examen national, généralement sous forme d'un exercice indépendant noté entre 2.5 et 4 points. Il est souvent structuré en deux parties :

Partie 1 : Dénombrement et probabilités simples (équiprobabilité) C'est la partie la plus fréquente et la plus pondérée.

• Format des questions :
  • Calculer le nombre total de tirages possibles (souvent $A_n^k$ ou $C_n^k$).
  • Calculer la probabilité d'événements simples (ex: "obtenir trois boules vertes", "obtenir trois boules de même couleur").
  • Utiliser l'événement contraire (ex: "obtenir au moins deux boules de même couleur").
• Attendus de correction :
  • Justification du type de tirage (simultané, successif avec/sans remise, ordre/non ordonné).
  • Calcul clair du nombre de cas possibles et du nombre de cas favorables.
  • Simplification des fractions pour les probabilités.
  • Barème par étape : points pour le dénombrement, points pour la probabilité.

Partie 2 : Probabilités conditionnelles et variables aléatoires Cette partie est présente dans la plupart des sujets, mais parfois de manière plus succincte.

• Format des questions :
  • Calculer une probabilité conditionnelle $P(A|B)$.
  • Vérifier l'indépendance de deux événements.
  • Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète $X$.
  • Calculer l'espérance $E(X)$.
• Attendus de correction :
  • Application correcte des formules de probabilités conditionnelles et d'indépendance.
  • Tableau clair pour la loi de probabilité de $X$.
  • Calcul détaillé de l'espérance.

Exemples de questions réelles (tirées des annales) :

• "Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. Montrer que $P(A) = \frac{1}{120}$ et $P(B) = \frac{7}{40}$." (Événements $A$ : « Obtenir trois boules vertes », $B$ : « Obtenir trois boules de même couleur »).
• "On tire au hasard successivement et sans remise trois boules de l'urne. Vérifier que le nombre de tirages possibles est égal à $336$. Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : « Tirer trois boules blanches »."
• "On considère la variable aléatoire $X$ indiquant le nombre de fois que l'on réalise l'événement $A$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, représentant la loi de probabilités de $X$. Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$."

Ces questions mesurent principalement l'application directe des connaissances et la mobilisation en situation familière. La rigueur de la rédaction et la justification de chaque étape sont cruciales pour obtenir tous les points.