Continuité et Limites

Ce chapitre est fondamental en analyse et représente une part significative de l'examen national. Il s'agit de comprendre le comportement des fonctions, que ce soit en un point précis ou aux 'bords' de leur ensemble de définition. La continuité est une propriété essentielle qui permet d'appliquer des théorèmes puissants comme le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), tandis que les limites décrivent les tendances des fonctions.

L'intuition

Imagine une route (la courbe d'une fonction). Si la route est continue, ça veut dire qu'il n'y a pas de pont cassé, pas de trou, tu peux rouler dessus sans lever les roues. Si tu t'approches d'un point sur cette route, la limite, c'est l'endroit où tu vas arriver. Parfois, machi dima, tu peux arriver à un endroit mais tu ne peux pas t'arrêter là (la fonction n'est pas définie ou la valeur est différente).

Le cours

I. Continuité d'une fonction

1. Continuité en un point

Définition : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Interprétation graphique : La courbe de $f$ ne présente pas de "saut" ou de "trou" au point d'abscisse $a$.

Continuité à droite et à gauche :

• $f$ est continue à droite en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue à gauche en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en $a$.

2. Continuité sur un intervalle

Définition :

• $f$ est continue sur un intervalle ouvert $(a, b)$ si elle est continue en tout point de cet intervalle.
• $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a, b]$ si elle est continue sur $(a, b)$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.

Propriétés :

• Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions trigonométriques (sin, cos, tan sur leur domaine de définition), la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien sont continues sur leur domaine de définition.
• La somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) et la composition de fonctions continues sont continues.

3. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Théorème : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Corollaire (cas particulier $k=0$) : Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et si $f(a) \cdot f(b) < 0$ (c'est-à-dire $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés), alors il existe au moins un réel $c \in (a, b)$ tel que $f(c) = 0$.

Corollaire (existence et unicité) : Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

II. Limites d'une fonction

1. Rappels sur les limites usuelles

• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ pour $n \in \mathbb{N}^*$
• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair
• $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0$
• $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^n} = +\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} = +\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$

Formes indéterminées : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $+\infty - \infty$.

2. Techniques de calcul de limites

• Factorisation par le terme de plus haut degré : Pour les fonctions polynomiales ou rationnelles en $\pm\infty$.
  • Exemple : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - x + 1) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3(2 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}) = +\infty \times (2 - 0 + 0) = +\infty$.
  • Exemple : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{5}{x^2})} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} = \frac{3}{1} = 3$.
• Multiplication par l'expression conjuguée : Pour les expressions avec des racines carrées, souvent pour les formes $\infty - \infty$ ou $\frac{0}{0}$.
  • Exemple : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})} + x} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
• Changement de variable : Simplifie l'expression en la ramenant à une limite usuelle.
• Limites remarquables (croissances comparées) :
  • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
  • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
  • $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
  • $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
  • $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$.
  • $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$.
  • $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$.
  • $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

3. Interprétation graphique des limites

• Asymptote verticale : Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (ou $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$), alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.
• Asymptote horizontale : Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un réel), alors la droite d'équation $y=L$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$.
• Asymptote oblique : Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (où $a$ est un réel non nul) et $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax) = b$ (où $b$ est un réel), alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$.
• Branche parabolique : Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$, la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées. Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x - 2 + e^{2x} - 4e^x$. I-1) a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. b) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$. I-2) a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. b) Montrer que..."

Solution détaillée :

I-1) a) Calcul de $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ On a $f(x) = 2x - 2 + e^{2x} - 4e^x$. Calculons la limite de chaque terme lorsque $x \to -\infty$ :

• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (2x - 2) = -\infty$
• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{2x} = \displaystyle\lim_{X \to -\infty} e^X = 0$ (en posant $X=2x$)
• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (-4e^x) = -4 \times 0 = 0$

Donc, par somme des limites : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty + 0 + 0 = -\infty$.

I-1) b) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$. Pour montrer qu'une droite $y=ax+b$ est asymptote oblique à une courbe en $\pm\infty$, il faut calculer $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - (ax+b))$. Si cette limite est $0$, alors la droite est asymptote. Ici, la droite est $(D): y = 2x - 2$. Calculons $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (2x - 2))$ : $f(x) - (2x - 2) = (2x - 2 + e^{2x} - 4e^x) - (2x - 2)$ $f(x) - (2x - 2) = e^{2x} - 4e^x$

Calculons la limite de cette expression lorsque $x \to -\infty$ :

• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{2x} = 0$
• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (-4e^x) = 0$

Donc, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (2x - 2)) = 0 + 0 = 0$. Puisque $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (2x - 2)) = 0$, la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 2$ est bien une asymptote à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.

I-2) a) Calcul de $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ On a $f(x) = 2x - 2 + e^{2x} - 4e^x$. Calculons la limite de chaque terme lorsque $x \to +\infty$ :

• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2x - 2) = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{2x} = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-4e^x) = -\infty$

On a une forme indéterminée de type "$+\infty - \infty$". Factorisons par le terme dominant $e^{2x}$ : $f(x) = 2x - 2 + e^{2x}(1 - \frac{4e^x}{e^{2x}})$ $f(x) = 2x - 2 + e^{2x}(1 - 4e^{-x})$

Calculons la limite de chaque partie :

• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2x - 2) = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{2x} = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (1 - 4e^{-x}) = 1 - 0 = 1$.

Par produit, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{2x}(1 - 4e^{-x}) = +\infty \times 1 = +\infty$. Par somme, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty + (+\infty) = +\infty$.

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder les questions de continuité et de limites à l'examen :

1. Calculer les limites :

   • Identifier le type de limite (en un point, en $\pm\infty$).
   • Appliquer les limites usuelles et les règles de calcul.
   • Si une forme indéterminée apparaît, utiliser la factorisation (terme de plus haut degré, $e^x$, $\ln x$), la conjuguée, ou les limites remarquables.
   • 1. 1

        Identifier la forme indéterminée

        $\lim_{x \to +\infty} (e^{2x} - 4e^x)$ est de type $+\infty - \infty$.

     2. 2

        Factoriser par le terme dominant

     3. 3

        Calculer les limites des facteurs

     4. 4

        Conclure par la règle de produit

     Étape suivante

2. Étudier la continuité en un point :

   • Calculer la limite de la fonction lorsque $x$ tend vers le point $a$.
   • Calculer la valeur de la fonction en ce point, $f(a)$.
   • Comparer les deux résultats : si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, alors $f$ est continue en $a$.
   • 1. 1

        Calculer la limite à droite

        $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.

     2. 2

        Calculer la valeur de la fonction au point

     3. 3

        Comparer les résultats

     Étape suivante

3. Appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :

   • Vérifier que la fonction est continue sur l'intervalle $[a, b]$.
   • Calculer $f(a)$ et $f(b)$.
   • Vérifier que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$.
   • Si l'unicité est demandée, vérifier que la fonction est strictement monotone sur $[a, b]$.
   • 1. 1

        Vérifier la continuité de $f$

        $f$ est continue sur $[a, b]$ (car c'est une fonction usuelle, ou somme/produit/composition de fonctions continues).

     2. 2

        Calculer les images des bornes

     3. 3

        Vérifier la condition du TVI

     4. 4

        Conclure sur l'existence

     5. 5

        Si unicité demandée, vérifier la stricte monotonie

     Étape suivante

4. Interpréter géométriquement les limites :

   • Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors $x=a$ est une asymptote verticale.
   • Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$, alors $y=L$ est une asymptote horizontale.
   • Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$, alors $y=ax+b$ est une asymptote oblique.
   • 1. 1

        Calculer la limite

        $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (2x-2)) = 0$.

     2. 2

        Identifier le type d'asymptote

     3. 3

        Donner l'équation de l'asymptote

     4. 4

        Préciser la position

     Étape suivante

Pièges classiques

Khoya, le piège le plus courant f'had le chapitre, c'est de sauter les étapes dyal la vérification. Par exemple, bghiti t'appliquer le TVI bach tbayen kayn chi solution, mais tu oublies de vérifier wach la fonction continue. Machi dima kayn solution ila makantch continue, même ila kan $f(a)$ o $f(b)$ de signes différents. Had l'erreur katkhassrek des points 3la walo.

Ce qui tombe à l'examen

Ce chapitre est très souvent évalué dans la partie "Problème" de l'examen, qui est la plus pondérée (généralement 9 à 10 points sur 20). Les questions sont structurées et suivent une logique d'étude de fonction.

Formats de questions réels et barème typique :

• Calcul de limites (0.5 à 1 point par limite) :

  • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. (0.5 pt)
  • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. (0.5 pt)
  • Ces questions testent votre capacité à manipuler les formes indéterminées et les croissances comparées.
  • 1. 1

       Identifier la forme indéterminée

       0.25 pt

    2. 2

       Appliquer la bonne technique (factorisation, conjuguée, etc.)

    Étape suivante

• Asymptotes (0.5 à 0.75 point par asymptote) :

  • Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$. (0.5 pt)
  • Interpréter géométriquement un résultat de limite (par exemple, $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ implique une asymptote verticale).
  • 1. 1

       Calculer $\lim (f(x) - (ax+b))$ ou $\lim f(x)$

       0.25 pt

    2. 2

       Conclure sur l'existence de l'asymptote

    Étape suivante

• Continuité en un point (0.5 point) :

  • Montrer que $f$ est continue à droite au point $0$. (0.5 pt)
  • 1. 1

       Calculer la limite à droite/gauche

       0.25 pt

    2. 2

       Comparer avec $f(a)$

    Étape suivante

• Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) (0.5 à 0.75 point) :

  • Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[-1, 0]$. (0.5 pt)
  • Ces questions demandent de vérifier les conditions du théorème (continuité, monotonie, signe de $f(a) \cdot f(b)$).
  • 1. 1

       Vérifier la continuité sur l'intervalle

       0.25 pt

    2. 2

       Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier le changement de signe

    3. 3

       Si unicité, vérifier la stricte monotonie

    Étape suivante

Le barème est souvent détaillé, avec des points attribués pour chaque étape de la démonstration ou du calcul. La rigueur de la rédaction est cruciale.