Calcul intégral

Le calcul intégral est une branche fondamentale de l'analyse mathématique. Il permet de calculer des aires, des volumes, et de résoudre de nombreux problèmes en physique et en ingénierie. Pour le 2ème Bac SVT, ce chapitre est crucial et représente une part significative de l'examen national.

L'intuition

Khoya, l'intégrale, chno hiya ? Imagine ghaymchi l'examen, w kayn un terrain dyal foot machi régulier, la forme dyalo machi rectangle. Bghiti t7seb l'aire dyal had terrain. Machi gha t7seb "longueur x largeur" 7it machi rectangle. L'intégrale kat3awnek t7seb had l'aire, 7ta ila kanet la forme m3awja. Kat9assem had terrain l'des petits morceaux sghar bzaf, kolla morceau kayban b7al rectangle sghir, w katjma3houm kamlin. C'est ça l'idée dyal l'intégrale : t7seb la somme dyal des quantités infiniment petites.

Le cours

I. Primitives d'une fonction

1. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

2. Propriétés

• Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toute autre primitive de $f$ sur $I$ est de la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle.
• Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.

3. Tableau des primitives usuelles

II. Calcul d'intégrales

1. Définition de l'intégrale

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est le nombre réel noté $\int_a^b f(x) dx$, défini par :

$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

2. Propriétés de l'intégrale

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a, b, c \in I$ et $k \in \mathbb{R}$.

• Linéarité :
  • $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
  • $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$
• Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$
• Inversion des bornes : $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$
• Intégrale nulle : $\int_a^a f(x) dx = 0$
• Positivité : Si $f(x) \ge 0$ sur $[a,b]$ (avec $a \le b$), alors $\int_a^b f(x) dx \ge 0$.
• Comparaison : Si $f(x) \le g(x)$ sur $[a,b]$ (avec $a \le b$), alors $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$.

3. Techniques de calcul d'intégrales

a) Intégration par primitivation directe

Cette méthode consiste à trouver directement une primitive de la fonction à intégrer en utilisant le tableau des primitives usuelles et les règles de calcul.

b) Intégration par parties (IPP)

L'intégration par parties est une technique utilisée pour intégrer un produit de fonctions. Elle est basée sur la formule de dérivation d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$. En intégrant cette formule, on obtient :

$\int (uv)' dx = \int u'v dx + \int uv' dx$

$[uv] = \int u'v dx + \int uv' dx$

D'où la formule de l'intégration par parties pour une intégrale définie :

$\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$

Le choix de $u'(x)$ et $v(x)$ est crucial. On choisit généralement $v(x)$ comme la fonction qui se simplifie par dérivation (par exemple, $\ln x$, $x^n$) et $u'(x)$ comme la fonction dont on connaît facilement une primitive (par exemple, $e^x$, $\cos x$, $x^n$).

c) Changement de variable (hors programme SVT)

Cette méthode n'est généralement pas au programme détaillé pour les SVT, mais il est bon de savoir qu'elle existe pour des intégrales plus complexes. Elle consiste à transformer l'intégrale en une nouvelle intégrale plus simple en changeant la variable d'intégration.

III. Interprétation géométrique de l'intégrale

1. Aire sous la courbe

Si $f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $[a,b]$, alors l'intégrale $\int_a^b f(x) dx$ représente l'aire, en unités d'aire (u.a.), de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$.

Observe: L'aire sous la courbe est toujours positive si la fonction est positive.

2. Cas où la fonction est négative

Si $f$ est une fonction continue et négative sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f(x) dx$ est un nombre négatif. L'aire de la surface délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est alors $-\int_a^b f(x) dx$.

Observe: L'intégrale sera négative car la fonction est sous l'axe des abscisses.

3. Cas où la fonction change de signe

Si $f$ change de signe sur $[a,b]$, l'intégrale $\int_a^b f(x) dx$ représente la somme algébrique des aires. Les aires situées au-dessus de l'axe des abscisses sont comptées positivement, et celles situées en dessous sont comptées négativement. Pour calculer l'aire totale, il faut découper l'intervalle aux points où la fonction s'annule et prendre la valeur absolue de chaque intégrale. Aire = $\int_a^c |f(x)| dx = \int_a^{x_0} f(x) dx - \int_{x_0}^b f(x) dx$ (si $f(x) \ge 0$ sur $[a, x_0]$ et $f(x) \le 0$ sur $[x_0, b]$).

Observe: La fonction est négative entre -2 et 2, et positive ailleurs. L'intégrale de -3 à 3 sera une somme algébrique.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : Soit $h : x \mapsto \frac{2\ln x}{x}$ définie sur $]0, +\infty[$.

1. Montrer que la fonction $H : x \mapsto (\ln x)^2$ est une primitive de $h$ sur $]0, +\infty[$.
2. Montrer que : $\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{1}{2}$.
3. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : $\displaystyle \int_1^e \ln x \, dx = 1$.

Solution :

1. Montrer que $H(x) = (\ln x)^2$ est une primitive de $h(x) = \frac{2\ln x}{x}$ : Pour montrer que $H$ est une primitive de $h$, il suffit de dériver $H$ et de vérifier que $H'(x) = h(x)$. On utilise la formule de dérivation $(u^n)' = n u^{n-1} u'$. Ici, $u(x) = \ln x$ et $n=2$. $u'(x) = \frac{1}{x}$. Donc, $H'(x) = 2 (\ln x)^{2-1} \cdot (\frac{1}{x}) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$. On a bien $H'(x) = h(x)$. Donc $H$ est une primitive de $h$ sur $]0, +\infty[$.

2. Calculer $\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx$ : On remarque que $\frac{\ln x}{x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\ln x}{x} = \frac{1}{2} h(x)$. D'après la question 1, une primitive de $h(x)$ est $H(x) = (\ln x)^2$. Donc, une primitive de $\frac{\ln x}{x}$ est $\frac{1}{2} (\ln x)^2$. Appliquons la formule de l'intégrale :

$\int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx = \left[ \frac{1}{2} (\ln x)^2 \right]_1^e$

$= \frac{1}{2} (\ln e)^2 - \frac{1}{2} (\ln 1)^2$

On sait que $\ln e = 1$ et $\ln 1 = 0$.

$= \frac{1}{2} (1)^2 - \frac{1}{2} (0)^2$

$= \frac{1}{2} \cdot 1 - 0 = \frac{1}{2}$

Donc, $\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{1}{2}$.

3. Calculer $\displaystyle \int_1^e \ln x \, dx$ par intégration par parties : On utilise la formule $\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$. Pour $\int_1^e \ln x \, dx$, on peut écrire $\ln x$ comme $1 \cdot \ln x$. Choisissons : $v(x) = \ln x \implies v'(x) = \frac{1}{x}$ $u'(x) = 1 \implies u(x) = x$ Appliquons la formule :

$\int_1^e \ln x \, dx = [x \ln x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= (e \ln e - 1 \ln 1) - \int_1^e 1 \, dx$

$= (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - [x]_1^e$

$= e - (e - 1)$

$= e - e + 1 = 1$

Donc, $\displaystyle \int_1^e \ln x \, dx = 1$.

La méthode

Pour résoudre un exercice d'intégrale, suis ces étapes :

1. Identifier le type de fonction et l'opération demandée : Est-ce une primitive à trouver, une intégrale à calculer, ou une aire ? | Vérifier si la fonction est continue sur l'intervalle donné.
2. Choisir la bonne technique : Primitivation directe (tableau des primitives), intégration par parties (pour un produit), ou changement de variable (si nécessaire, mais moins fréquent en SVT). | Pour l'IPP, bien choisir $u'(x)$ et $v(x)$.
3. Appliquer la formule avec rigueur : Calculer les primitives, évaluer aux bornes pour les intégrales définies. | Ne pas oublier la constante $C$ pour les primitives indéfinies.
4. Simplifier et interpréter le résultat : Réduire l'expression obtenue et, si demandé, donner l'interprétation géométrique (aire). | Vérifier la cohérence du signe du résultat avec la position de la courbe.

Pièges classiques

Khoya, kayn wa7d l'erreur li katkhrej 3la bzaf dyal les points f l'examen, c'est l'oubli dyal les parenthèses f l'évaluation dyal l'intégrale. Par exemple, ila 3ndk $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$, bzaf dyal les élèves kayktbou $F(b) - F(a)$ bla ma ydirou les parenthèses ila kan $F(a)$ fih plusieurs termes. Ghaymchi lik l'signe w ghaymchi lik kolchi. Toujours dir les parenthèses 3la $F(a)$ bach matghletch f les signes.

Ce qui tombe à l'examen

Le calcul intégral est systématiquement présent dans l'examen national, souvent dans la partie "Analyse" des fonctions. Voici les formats de questions les plus courants et leur barème typique :

• Reconnaître une primitive :

  • Question : Montrer que la fonction $H:x \mapsto xe^x$ est une primitive de la fonction $h:x\mapsto(x+1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.
  • Barème : 0.5 point.
  • Geste attendu : Dériver $H(x)$ et montrer que $H'(x) = h(x)$.

• Calculer une intégrale par primitivation directe :

  • Question : En déduire que $\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^x dx = e$.
  • Barème : 0.5 point.
  • Geste attendu : Utiliser la primitive trouvée précédemment et appliquer la formule $F(b) - F(a)$.

• Calculer une intégrale par parties :

  • Question : En utilisant une intégration par parties, calculer $\displaystyle \int_0^1 (x^2+2x-1)e^x dx$.
  • Barème : 1 point.
  • Geste attendu : Choisir $u(x)$ et $v'(x)$, calculer $u'(x)$ et $v(x)$, appliquer la formule de l'IPP, puis calculer l'intégrale restante.

• Interprétation géométrique (aire) :

  • Question : Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$. (Souvent après avoir étudié le signe de $f(x)$).
  • Barème : 0.75 à 1 point.
  • Geste attendu : Poser l'intégrale $\int_a^b |f(x)| dx$ (ou $\int_a^b f(x) dx$ si $f$ est positive), calculer l'intégrale, et exprimer le résultat en unités d'aire.