Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} - 3 e^{x} + 2 = 0$.

On pose X = e^x avec X > 0. L'équation devient X^2 - 3X + 2 = 0, dont les racines sont X=1 et X=2. Donc e^x = 1 (x=0) ou e^x = 2 (x = ln(2)). L'ensemble solution est {0, ln(2)}.

Calculer $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x}$ et $\lim_{x \to -\infty} x e^{x}$.

x e^(-x) = x/e^x -> 0 quand x -> +oo par croissances comparées. Pour x -> -oo, on pose t = -x -> +oo : x e^x = -t e^(-t) = -t/e^t -> 0. Donc les deux limites valent 0.

Fonctions exponentielles — exercices corrigés

Q: **Exercice 1** a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} + 3 = 0$ b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$ c) Calculer $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}$ d) Montrer que l'équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet une solution dans l'intervalle $

a) L'équation $e^{2x} + 3 = 0$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{R}$ (car $e^{2x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$) b) L'ensemble des solutions de $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$ est $(0, \ln 3)$ c) $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} = 2$ d) L'équation admet une solution dans $[-1, 0]$ par le théorème des valeurs intermédiaires

Q: On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2 - xe^{-x}$, et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm). 1) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter le résultat géométriquement. 2) a) Calculer $\lim_{

1) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ ; asymptote horizontale $y = 2$. 2) a) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (car $xe^{-x} \to -\infty$). b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2-xe^{-x}}{x} = -\infty$ ; branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées. 3) a) $f'(x) = -e^{-x} - x \cdot (-e^{-x}) = -e^{-x} + xe^{-x} = (x-1)e^{-x}$. b) $f'(x) = 0$ pour $x = 1$ ; $f'(x) 0$ pour $x > 1$. Minimum en $x=1$ : $f(1) = 2 - e^{-1} = 2 - \frac{1}{e}$. 4) a) $f''(x) = e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = e^{-x} - (x-1)e^{-x} = (2-x)e^{-x}$. b) $f''(x) = 0$ pour $x = 2$ ; $f''(x)$ change de signe en $x=2$. Point d'inflexion $(2, f(2))$. 5) [Graphique : voir corrigé] 6) Minimum de $f$ : $f(1) = 2 - \frac{1}{e} > 0$. Donc $2 - xe^{-x} > 0 \Rightarrow xe^{-x} x$ pour tout $x$.

L'intuition

Imagine que tu as une population de bactéries qui double toutes les heures. Si tu commences avec une bactérie, après 1 heure tu en as 2, après 2 heures tu en as 4, après 3 heures tu en as 8, et ainsi de suite. La croissance est de plus en plus rapide. C'est ça, une croissance exponentielle.

Maintenant, imagine que tu as un médicament qui réduit cette population de moitié toutes les heures. Si tu commences avec 1000 bactéries, après 1 heure tu en as 500, après 2 heures tu en as 250, etc. La décroissance est de plus en plus lente, mais la population ne devient jamais nulle. C'est une décroissance exponentielle.

La fonction exponentielle $e^x$ est la fonction qui modélise ces phénomènes. Elle est la réciproque de la fonction $\ln(x)$ , que tu as déjà étudiée.

f(x) = exp(a*x)

a = 1.0

Fais varier 'a'. Que se passe-t-il quand 'a' est positif ? Négatif ? Nul ?

Le cours

I. Définition et propriétés fondamentales

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $e^x$ , est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien $\ln$ . Elle est définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $]0, +\infty[$ .

Définition: Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $y \in ]0, +\infty[$ , on a l'équivalence: $y = e^x \iff x = \ln(y)$

Propriétés immédiates:

$e^0 = 1$ (car $\ln(1) = 0$ )
$e^1 = e$ (car $\ln(e) = 1$ )
Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $e^x > 0$ .
Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\ln(e^x) = x$ .
Pour tout $x \in ]0, +\infty[$ , $e^{\ln(x)} = x$ .

Vérifie que tu suis

Quelle est la valeur de $e^{\ln(5)}$ ?

II. Propriétés algébriques

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$e^{x+y} = e^x \times e^y$
$e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
$e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
$(e^x)^n = e^{nx}$ pour tout entier relatif $n$ .
$\sqrt{e^x} = e^{x/2}$

Ces propriétés sont très similaires à celles des puissances classiques.

III. Limites remarquables

Ces limites sont cruciales pour l'étude de fonctions.

$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissance comparée)
$\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissance comparée)
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ (taux d'accroissement de $e^x$ en 0)

Vérifie que tu suis

Quelle est la limite de $\frac{e^x}{x^2}$ quand $x \to +\infty$ ?

IV. Dérivée et sens de variation

La fonction exponentielle est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Dérivée: Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $(e^x)' = e^x$ . Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , alors $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .

Sens de variation: Puisque $(e^x)' = e^x$ et que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

f(x) = exp(x)— lis f(x) sur la courbe

Sur ce graphique, la courbe $f(x)=e^x$ est tracée. La courbe $g(x)=e^x$ est sa dérivée. Tu peux observer qu'elles sont identiques, ce qui est une propriété unique à la fonction exponentielle.

V. Résolution d'équations et d'inéquations

Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ :

$e^{f(x)} = e^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$
$e^{f(x)} < e^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$
$e^{f(x)} > e^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$

Pour résoudre des équations ou inéquations de type $e^{f(x)} = k$ ou $e^{f(x)} < k$ :

Si $k \le 0$ , l'équation $e^{f(x)} = k$ n'a pas de solution car $e^x > 0$ . L'inéquation $e^{f(x)} < k$ n'a pas de solution.
Si $k > 0$ , on utilise la fonction $\ln$ : $e^{f(x)} = k \iff f(x) = \ln(k)$ $e^{f(x)} < k \iff f(x) < \ln(k)$ $e^{f(x)} > k \iff f(x) > \ln(k)$

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale: a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} + 3 = 0$ b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$ c) Calculer $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}$ d) Montrer que l'équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[-1, 0]$

Solution:

a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} + 3 = 0$

1
Isoler l'exponentielle
$e^{2x} = -3$
2
Analyser le signe
3
Conclure

L'ensemble des solutions est $S = \emptyset$ .

b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$

1
Faire un changement de variable
Posons $X = e^x$ . Puisque $x \in \mathbb{R}$ , $X > 0$ .
2
Réécrire l'inéquation
3
Résoudre l'inéquation du second degré
4
Déterminer le signe du trinôme
5
Remplacer $X$ par $e^x$
6
Séparer en deux inéquations
7
Résoudre la première inéquation
8
Résoudre la deuxième inéquation
9
Combiner les solutions

L'ensemble des solutions est $S = ]0, \ln(3)[$ .

c) Calculer $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}$

1
Identifier la forme indéterminée
Quand $x \to 0$ , le numérateur tend vers $e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$ . Le dénominateur tend vers $e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$ . C'est une forme indéterminée de type $\frac{0}{0}$ .
2
Utiliser les limites remarquables
3
Réécrire l'expression
4
Calculer la limite
5
Conclure

La limite est $2$ .

d) Montrer que l'équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[-1, 0]$

1
Définir une fonction
Soit $f(x) = 2e^{2x} + e^x + 4x$ . On cherche à montrer que $f(x) = 0$ a une solution dans $[-1, 0]$ .
2
Vérifier la continuité
3
Calculer les valeurs aux bornes de l'intervalle
4
Estimer $f(-1)$
5
Calculer $f(0)$
6
Appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
7
Conclure

La méthode

Quand tu étudies une fonction avec $e^x$ :

Domaine de définition: L'exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ . Si $e^{u(x)}$ apparaît, assure-toi que $u(x)$ est défini.
Limites aux bornes du domaine:
- Utilise $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .
- N'oublie pas les croissances comparées pour les formes indéterminées $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ .
- Pour les asymptotes, si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ , alors $y=L$ est une asymptote horizontale. Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$ , alors $x=x_0$ est une asymptote verticale. Pour les asymptotes obliques, calcule $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ puis $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax)$ .
Dérivée et sens de variation:
- Calcule $f'(x)$ en utilisant $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .
- Étudie le signe de $f'(x)$ . Rappelle-toi que $e^x > 0$ toujours, donc son signe ne change pas le signe de $f'(x)$ .
- Dresse le tableau de variations.
Points d'intersection avec les axes:
- Axe des ordonnées: calcule $f(0)$ .
- Axe des abscisses: résous $f(x) = 0$ .
Tracé de la courbe: Utilise toutes les informations précédentes.

Pièges classiques

Confondre $e^x$ et $\ln(x)$ : Ces fonctions sont réciproques, pas identiques. Leurs domaines et images sont inversés.
Vérifie que tu suis
Le domaine de définition de $f(x) = \ln(e^x)$ est:
Oublier que $e^x > 0$ : C'est la propriété la plus fondamentale. Elle simplifie beaucoup de résolutions d'équations et d'inéquations.
Vérifie que tu suis
L'équation $e^x = -2$ a pour solution:
Erreurs dans les croissances comparées: L'exponentielle l'emporte sur les puissances de $x$ en $+\infty$ , et les puissances de $x$ l'emportent sur l'exponentielle en $-\infty$ (quand elle tend vers 0).
Vérifie que tu suis
La limite de $x^3 e^x$ quand $x \to -\infty$ est:
Ne pas simplifier les expressions exponentielles: Utilise les propriétés algébriques pour simplifier avant de dériver ou de calculer des limites. Par exemple, $e^{x+2} = e^x \times e^2$ .

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur les fonctions exponentielles est une composante essentielle de la partie "Analyse" de l'examen, qui pèse environ 55% de la note totale. Tu peux t'attendre à des questions qui testent les habiletés suivantes:

Application directe des connaissances (~50%):
- Résolution d'équations et inéquations: Comme l'exemple $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$ . Tu dois maîtriser les changements de variables et l'utilisation de $\ln$ .
- Calcul de limites: Souvent avec des formes indéterminées nécessitant les limites remarquables ou les croissances comparées. L'exemple $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}$ est typique.
- Calcul de dérivées: Appliquer la formule $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .
- Propriétés algébriques: Simplifier des expressions.
Mobilisation en situation familière (~35%):
- Étude complète d'une fonction: C'est le cœur du chapitre. Tu auras une fonction $f(x)$ impliquant $e^x$ et tu devras calculer ses limites, sa dérivée, dresser son tableau de variations, et parfois tracer sa courbe. Les annales montrent souvent des fonctions du type $f(x) = 2 - xe^{-x}$ ou $f(x) = \frac{1}{4}e^{2x}(e^x - 4)$ .
- Interprétation graphique des limites: Par exemple, si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ , interpréter cela comme une asymptote horizontale.
- Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI): Pour montrer l'existence d'une solution à une équation $f(x)=0$ sur un intervalle donné, comme dans l'exemple $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ .
Situations non familières (synthèse) (~15%):
- Ces questions peuvent combiner l'exponentielle avec d'autres chapitres (suites numériques, intégrales, etc.).
- Par exemple, une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ contient une exponentielle, et tu dois montrer sa convergence ou calculer sa limite.
- Calcul d'aires sous une courbe impliquant $e^x$ via l'intégration.

Conseils pour l'examen:

Rigueur: Chaque étape de calcul doit être justifiée.
Clarté: La rédaction doit être propre et facile à suivre.
Maîtrise des limites: C'est souvent là que les points se perdent. Entraîne-toi sur les formes indéterminées.
Tableau de variations: Il doit être complet avec les limites aux bornes et les valeurs aux extrema.

Exercice 3·Moyen

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2 - xe^{-x}$ , et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter le résultat géométriquement.
a) Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .

b) Montrer que $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty$ et interpréter le résultat géométriquement.

a) Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $f'(x) = (x-1)e^{-x}$ .

b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .

a) Calculer $f''(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ .

b) Montrer que la courbe $(C)$ admet un point d'inflexion d'abscisse $2$ .

Construire la courbe $(C)$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (on prend : $f(2) \approx 1{,}25$ ).
Déterminer la valeur minimale de la fonction $f$ et en déduire que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $e^x > x$ .
a) En utilisant une intégration par parties, calculer : $\int_0^2 xe^{-x} dx$ .

b) En déduire que $\int_0^2 f(x) dx = 4 - e^{-2} - 3e^{-2}$ .

Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[1, +\infty[$ .

a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

b) Construire la courbe représentative de $g^{-1}$ dans le même repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

c) À partir de la courbe représentative de $g^{-1}$ , déterminer $\lim_{x \to 2^+} \frac{g^{-1}(x) - 2}{x - 2}$ .

Voir la correction

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ ; asymptote horizontale $y = 2$ .
a) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (car $xe^{-x} \to -\infty$ ).

b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2-xe^{-x}}{x} = -\infty$ ; branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées.

a) $f'(x) = -e^{-x} - x \cdot (-e^{-x}) = -e^{-x} + xe^{-x} = (x-1)e^{-x}$ .

b) $f'(x) = 0$ pour $x = 1$ ; $f'(x) < 0$ pour $x < 1$ , $f'(x) > 0$ pour $x > 1$ . Minimum en $x=1$ : $f(1) = 2 - e^{-1} = 2 - \frac{1}{e}$ .

a) $f''(x) = e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = e^{-x} - (x-1)e^{-x} = (2-x)e^{-x}$ .

b) $f''(x) = 0$ pour $x = 2$ ; $f''(x)$ change de signe en $x=2$ . Point d'inflexion $(2, f(2))$ .

[Graphique : voir corrigé]
Minimum de $f$ : $f(1) = 2 - \frac{1}{e} > 0$ . Donc $2 - xe^{-x} > 0 \Rightarrow xe^{-x} < 2$ pour tout $x$ , ou réécrire pour déduire $e^x > x$ pour tout $x$ .
a) $\int_0^2 xe^{-x} dx = [-xe^{-x}]_0^2 + \int_0^2 e^{-x} dx = -2e^{-2} + [-e^{-x}]_0^2 = -2e^{-2} - e^{-2} + 1 = 1 - 3e^{-2}$ .

b) $\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 (2 - xe^{-x}) dx = 2 \cdot 2 - (1 - 3e^{-2}) = 4 - 1 + 3e^{-2} = 3 + 3e^{-2}$ (vérifier formule donnée).

a) $g$ est strictement croissante sur $[1, +\infty[$ , avec $g(1) = 2 - e^{-1}$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 2$ . Donc $g^{-1}$ est définie sur $J = [2 - e^{-1}, 2[$ .

b) [Graphique : symétrique par rapport à $y = x$ ]

c) $(g^{-1})'(2^-) = \frac{1}{g'(g^{-1}(2^-))} = \frac{1}{g'(1)} = \frac{1}{(1-1)e^{-1}}$ indéfini. Utiliser la dérivée à gauche ou la pente de la tangente.

Question 1 : Comme $xe^{-x} \to 0$ quand $x \to +\infty$ (exponentielle décroît plus vite que polynôme), on a $\lim f(x) = 2$ . C'est une asymptote horizontale.

Question 2a : Quand $x \to -\infty$ , $e^{-x} \to +\infty$ et $xe^{-x} \to -\infty$ (produit négatif d'un facteur tendant vers $-\infty$ ). Donc $f(x) \to -\infty$ .

Question 2b : Calculer le quotient $\frac{f(x)}{x} = \frac{2}{x} - e^{-x}$ . Quand $x \to -\infty$ , $\frac{2}{x} \to 0$ et $e^{-x} \to +\infty$ , donc le quotient $\to -\infty$ . C'est une branche parabolique.

Question 3a : Appliquer la règle du produit : $f'(x) = 0 - (e^{-x} + x \cdot (-e^{-x})) = -e^{-x}(1 - x) = (x-1)e^{-x}$ .

Question 3b : Signer $f'(x) = (x-1)e^{-x}$ : $e^{-x} > 0$ toujours, donc signe de $(x-1)$ . Minimum en $x=1$ .

Question 4a : Dériver $f'(x) = (x-1)e^{-x}$ : $f''(x) = e^{-x} + (x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - (x-1)) = (2-x)e^{-x}$ .

Question 4b : $f''(x) = 0$ pour $x = 2$ ; $f''$ change de signe (positive pour $x < 2$ , négative pour $x > 2$ ). Point d'inflexion.

Question 5 : Utiliser le tableau de variations, les asymptotes et les points remarquables.

Question 6 : Le minimum de $f$ est $f(1) = 2 - e^{-1} > 0$ . De $f(x) > 0$ , on déduit $2 > xe^{-x}$ , puis poser $y = -x$ pour obtenir $e^y > -y$ , soit $e^x > x$ .

Question 7a : IPP avec $u = x$ , $dv = e^{-x} dx$ : $du = dx$ , $v = -e^{-x}$ . Appliquer $\int u dv = uv - \int v du$ .

Question 7b : $\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 2 dx - \int_0^2 xe^{-x} dx = 4 - (1 - 3e^{-2})$ .

Question 8a : $g$ est la restriction de $f$ à $[1, +\infty[$ . Puisque $f' > 0$ sur cet intervalle, $g$ est strictement croissante et bijective vers son image $[f(1), \lim_{x \to \infty} f(x)[ = [2 - e^{-1}, 2[$ .

Question 8b : Tracer $g^{-1}$ par symétrie par rapport à la droite $y = x$ .

Question 8c : La dérivée de $g^{-1}$ au point $2^-$ est l'inverse de la dérivée de $g$ en $g^{-1}(2^-) = 1^+$ . Utiliser la limite du taux d'accroissement.

Fonctions exponentielles

Méthode officielle