Dérivabilité et étude des fonctions

Q: On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $$g(x) = 1 - \frac{1}{x} + \ln x$$ 1) Montrer que $g'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ pour tout $x \in ]0; +\infty[$ et en déduire que $g$ est croissante sur $]0; +\infty[$. 2) Vérifier que $g(1) = 0$, puis en déduire que $g(x) < 0$ pour tou

**1)** $g'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ et $g$ est croissante sur $]0; +\infty[$. **2)** $g(1) = 0$, avec $g(x) 0$ sur $[1; +\infty[$.

Mathématiques · 2ème Bac Sciences de la Vie et de la Terre · 27 exercices

Méthode officielle

Calculer la dérivée, étudier son signe pour dresser le tableau de variations, déterminer extremums, branches infinies et asymptotes, puis tracer la courbe.

Dérivabilité et étude des fonctions

L'intuition

La dérivée, khoya, katgoul lik la fonction wach katla3, katnzel, ou bch7al. C'est comme si katgoul lik la pente dyal la route fin kayn. Si la pente positive, rah katla3. Si négative, katnzel. W ila kanet zéro, rah kayn chi sommet (maximum) ou chi creux (minimum) f dak l'endroit. C'est très utile bach nfehmou le comportement dyal la fonction.

Tape pour voir pourquoi c'est faux — et la bonne version.

Le cours

I. Rappels sur la dérivabilité

1. Nombre dérivé et fonction dérivée

Définition 1 : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie :

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Cette limite, si elle existe, est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$ et est notée $f'(a)$ . Géométriquement, $f'(a)$ représente la pente (ou coefficient directeur) de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ .

Définition 2 : Si $f$ est dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$ , alors la fonction qui à chaque $x \in I$ associe $f'(x)$ est appelée la fonction dérivée de $f$ sur $I$ , et est notée $f'$ .

2. Équation de la tangente

Si $f$ est dérivable en $a$ , l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par :

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

a = 1.0

Fais varier 'a'. Que se passe-t-il avec la pente de la tangente quand 'a' passe par 0 ou 2 ?

3. Opérations sur les fonctions dérivées

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $k$ un réel.

Opération	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$ku$	$ku'$
$uv$	$u'v + uv'$
$\frac{1}{v}$ (si $v \neq 0$ )	$-\frac{v'}{v^2}$
$\frac{u}{v}$ (si $v \neq 0$ )	$\frac{u'v - uv'}{v^2}$
$u^n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )	$nu^{n-1}u'$
$\sqrt{u}$ (si $u > 0$ )	$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\ln(u)$ (si $u > 0$ )	$\frac{u'}{u}$
$e^u$	$u'e^u$

Dérivées des fonctions usuelles :

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$	Ensemble de dérivabilité
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0, +\infty[$
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$\ln(x)$	$\frac{1}{x}$	$]0, +\infty[$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$

Vérifie que tu suis

Quelle est la dérivée de $f(x) = (3x^2 - 5)^4$ ?

II. Applications de la dérivée à l'étude des fonctions

1. Sens de variation

Théorème 1 : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

2. Extremums locaux

Théorème 2 : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . Si $f'(a) = 0$ et si $f'(x)$ change de signe en $a$ , alors $f(a)$ est un extremum local de $f$ .

Si $f'(x)$ passe de positif à négatif en $a$ , alors $f(a)$ est un maximum local.
Si $f'(x)$ passe de négatif à positif en $a$ , alors $f(a)$ est un minimum local.

3. Tableau de variations

Le tableau de variations résume le sens de variation d'une fonction en fonction du signe de sa dérivée. Il inclut également les limites aux bornes de l'ensemble de définition et les valeurs des extremums locaux.

Tableau de signes

x	−∞	-2		1	+∞
x+2	·	·	·	·	·
x-1	·	·	·	·	·
produit	·	·	·	·	·

Sur quel intervalle le produit $(x-1)(x+2)$ est-il négatif ?

4. Branches infinies et asymptotes

Asymptote verticale : Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ , alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$ .
Asymptote horizontale : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un réel), alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ .
Asymptote oblique : Si $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$ (où $a, b$ sont des réels et $a \neq 0$ ), alors la droite d'équation $y = ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ . Pour trouver $a$ et $b$ : $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ $b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax]$
Branche parabolique :
- Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ et $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$ , la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
- Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ et $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ , la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

5. Points d'inflexion et concavité

Définition 3 : La dérivée seconde de $f$ , notée $f''$ , est la dérivée de la fonction $f'$ .

Théorème 3 : Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f''(x) > 0$ sur $I$ , la courbe de $f$ est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$ sur $I$ , la courbe de $f$ est concave (tournée vers le bas).
Un point d'inflexion est un point où la concavité de la courbe change. Cela se produit généralement lorsque $f''(x) = 0$ et $f''(x)$ change de signe.

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2— lis f(x) sur la courbe

Exemple résolu

On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $g(x) = 1 - \frac{1}{x} + \ln x$ .

Montrer que $g'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ pour tout $x \in ]0; +\infty[$ et en déduire que $g$ est croissante sur $]0; +\infty[$ .
Vérifier que $g(1) = 0$ , puis en déduire que $g(x) < 0$ pour tout $x \in ]0, 1]$ et $g(x) > 0$ pour tout $x \in [1; +\infty[$ .

T: Solution détaillée

Calcul de la dérivée $g'(x)$ : La fonction $g(x) = 1 - \frac{1}{x} + \ln x$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ comme somme de fonctions dérivables.

$g'(x) = (1)' - \left(\frac{1}{x}\right)' + (\ln x)'$

$g'(x) = 0 - \left(-\frac{1}{x^2}\right) + \frac{1}{x}$

$g'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$

Pour mettre au même dénominateur :

$g'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{x}{x^2} = \frac{1+x}{x^2}$

Attention : L'énoncé de l'annale propose $g'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ . Il y a une erreur dans l'annale. Nous allons suivre la méthode correcte de dérivation. Avec notre calcul correct : $g'(x) = \frac{1+x}{x^2}$ . Pour tout $x \in ]0; +\infty[$ , $x > 0$ , donc $1+x > 0$ et $x^2 > 0$ . Par conséquent, $g'(x) = \frac{1+x}{x^2} > 0$ pour tout $x \in ]0; +\infty[$ . Déduction du sens de variation : Puisque $g'(x) > 0$ sur $]0; +\infty[$ , la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$ .

Vérification de $g(1) = 0$ :

$g(1) = 1 - \frac{1}{1} + \ln(1) = 1 - 1 + 0 = 0$

Donc $g(1) = 0$ .

Déduction du signe de $g(x)$ : Nous avons montré que $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$ .

Pour $x \in ]0, 1]$ : Puisque $g$ est croissante et $g(1) = 0$ , alors pour tout $x \in ]0, 1]$ , $g(x) \le g(1)$ , ce qui signifie $g(x) \le 0$ .
Pour $x \in [1; +\infty[$ : Puisque $g$ est croissante et $g(1) = 0$ , alors pour tout $x \in [1; +\infty[$ , $g(x) \ge g(1)$ , ce qui signifie $g(x) \ge 0$ .

La méthode

Voici les étapes clés pour l'étude d'une fonction, telles qu'attendues à l'examen :

Calculer la dérivée $f'(x)$ : Déterminer le domaine de dérivabilité et appliquer les règles de dérivation.
Étudier le signe de $f'(x)$ : Résoudre $f'(x) > 0$ , $f'(x) < 0$ et $f'(x) = 0$ pour déduire le sens de variation de $f$ et identifier les extremums.
Dresser le tableau de variations : Récapituler le domaine de définition, les limites aux bornes, le signe de $f'(x)$ , le sens de variation de $f$ et les valeurs des extremums.
Déterminer les branches infinies et asymptotes : Calculer les limites aux bornes du domaine de définition pour identifier les asymptotes verticales, horizontales ou obliques, ou les branches paraboliques.
Tracer la courbe : Représenter la fonction en tenant compte de toutes les informations obtenues (variations, extremums, asymptotes, points d'inflexion si étudiés).

Pièges classiques

Tape pour voir pourquoi c'est faux — et la bonne version.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sont souvent structurées pour guider l'élève pas à pas. Voici les formats typiques et la pondération associée :

Calcul de la dérivée $f'(x)$ : (0.5 à 0.75 point)
- Exemple : "Montrer que $f'(x) = 2(e^x - 1)^2$ pour tout nombre réel $x$ ."
- Attendu : Application correcte des règles de dérivation.
Étude du signe de $f'(x)$ et tableau de variations : (0.5 à 1 point)
- Exemple : "Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ (remarquer que $f'(0) = 0$ )."
- Attendu : Justification du signe de $f'(x)$ , limites aux bornes, flèches de variation, valeurs des extremums.
Calcul de limites et interprétation graphique (asymptotes/branches infinies) : (0.5 à 1 point)
- Exemple : "Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et montrer que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de $+\infty$ ."
- Attendu : Calcul correct des limites, énoncé clair de l'asymptote ou de la branche parabolique.
Vérification d'une valeur ou d'une propriété : (0.25 à 0.5 point)
- Exemple : "Vérifier que $g(1) = 0$ , puis en déduire que $g(x) < 0$ pour tout $x \in ]0, 1]$ et $g(x) > 0$ pour tout $x \in [1; +\infty[$ ."
- Attendu : Substitution de la valeur, déduction logique basée sur le sens de variation.
Existence de solution (Théorème des Valeurs Intermédiaires) : (0.5 à 0.75 point)
- Exemple : "Montrer qu'il existe un réel unique $\alpha$ de l'intervalle $[1; \ln 4]$ tel que $f(\alpha) = 0$ ."
- Attendu : Vérification de la continuité, de la stricte monotonie et du changement de signe de $f$ sur l'intervalle.
Tracé de la courbe : (0.75 à 1 point)
- Exemple : "Construire la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ."
- Attendu : Positionnement correct des asymptotes, des extremums, des points d'inflexion (si étudiés) et respect du sens de variation.

Exercices corrigés

Exercice 1·Facile

On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par :

$g(x) = 1 - \frac{1}{x} + \ln x$

Montrer que $g'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ pour tout $x \in ]0; +\infty[$ et en déduire que $g$ est croissante sur $]0; +\infty[$ .
Vérifier que $g(1) = 0$ , puis en déduire que $g(x) < 0$ pour tout $x \in ]0, 1]$ et $g(x) > 0$ pour tout $x \in [1; +\infty[$ .

Voir la correction

1) $g'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ et $g$ est croissante sur $]0; +\infty[$ .

2) $g(1) = 0$ , avec $g(x) < 0$ sur $]0, 1]$ et $g(x) > 0$ sur $[1; +\infty[$ .

Question 1) - Calculer $g'(x)$ et démontrer la croissance

$g(x) = 1 - \dfrac{1}{x} + \ln x$

$g'(x) = 0 - \left(-\frac{1}{x^2}\right) + \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$

Mettre au même dénominateur :

$g'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{x}{x^2} = \frac{1 + x}{x^2}$

Note OCR : l'énoncé donne $g'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ . Cela suggère une formule erronée. Avec le calcul correct $g'(x) = \dfrac{1+x}{x^2}$ , on a $g'(x) > 0$ pour tout $x > 0$ , donc $g$ est croissante.

Pour $x > 0$ : $1 + x > 0$ et $x^2 > 0$ , donc $g'(x) > 0$ .

Par conséquent, $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$ .

Question 2) - Vérifier $g(1) = 0$ et en déduire le signe

$g(1) = 1 - \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 - 1 + 0 = 0$ ✓

Puisque $g$ est croissante sur $]0; +\infty[$ et $g(1) = 0$ :

Pour $x \in ]0, 1[$ , on a $x < 1$ , donc $g(x) < g(1) = 0$ .
Pour $x \in ]1, +\infty[$ , on a $x > 1$ , donc $g(x) > g(1) = 0$ .
En $x = 1$ , $g(1) = 0$ .

Donc :

$g(x) < 0$ pour $x \in ]0, 1]$
$g(x) > 0$ pour $x \in [1, +\infty[$

Exercice 2·Moyen

Soit $f(x) = x + 1 + \frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$ . Montrer que la droite (D): $y = x + 1$ est asymptote à la courbe et étudier leur position relative.

Voir la correction

f(x) - (x+1) = 1/x -> 0 quand x -> +oo, donc (D): y=x+1 est asymptote oblique en +oo. Pour x>0, f(x)-(x+1) = 1/x > 0, donc la courbe est au-dessus de (D) sur ]0,+oo[.

Montrer que f(x) - (ax+b) tend vers 0 (asymptote), puis étudier le signe de cette différence pour la position relative courbe/droite.

Exercice 3·Moyen

Soit $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ définie sur $]-\infty,-1[ \cup ]-1,+\infty[$ . Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations.

Voir la correction

f'(x) = ((2)(x+1) - (2x-1)(1))/(x+1)^2 = (2x+2 - 2x+1)/(x+1)^2 = 3/(x+1)^2 > 0 sur chaque intervalle. Donc f est strictement croissante sur ]-oo,-1[ et sur ]-1,+oo[. $lim_{x->-1-}$ f = +oo, $lim_{x->-1+}$ f = -oo (asymptote verticale x=-1) ; $lim_{x->+/-oo}$ f = 2 (asymptote horizontale y=2).

Dériver un quotient par (u'v - uv')/ $v^2$ , étudier le signe, préciser les limites aux bornes pour les asymptotes, puis remplir le tableau.

Exercice 4·Moyen

Étudier la dérivabilité en $0$ de $f$ définie par $f(x) = x\sqrt{x}$ sur $[0,+\infty[$ ( $f(0)=0$ ).

Voir la correction

Le taux d'accroissement en 0 : (f(x)-f(0))/(x-0) = x racine(x)/x = racine(x) pour x>0, qui tend vers 0 quand x -> 0+. Donc f est dérivable à droite en 0 et f'(0) = 0 ; la courbe admet une demi-tangente horizontale en O.

Former le taux d'accroissement (f(x)-f(0))/(x-0) et calculer sa limite : la dérivabilité en 0 équivaut à l'existence de cette limite finie.

Exercice 5·Moyen

On considère la fonction numérique $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x)=e^{x}-2x+2-3e^{-x}$ 1)a) Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ , $u'(x)=\frac{(e^{x}-1)^{2}+2}{e^{x}}$ 0.25 b) poser le tableau de variation de la fonction $u$ (sans calcul de limite) ; 0.5 c) En déduire le signe de la fonction $u$ sur $\mathbb{R}$ (remarquer que $u(0)=0$ ) 2) Soit la fonction $V$ définie sur $\mathbb{R}$ par $v(x)=e^{2x}-2xe^{x}+2e^{x}-3$ 0.5 a) Vérifier que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ , $v(x)=e^{x}u(x)$ 0.5 b) En déduire le signe de la fonction $V$ sur $\mathbb{R}$ 0.5 3) a) Montrer que la fonction $W$ définie par $W(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+(4-2x)e^{x}-3x$ est une primitive de la fonction $V$ sur $\mathbb{R}$ 0.5 b) Calculer l'intégrale $\int_{0}^{2}v(x)dx$ 0.75 c) Montrer que $\frac{9}{2}$ est le minimum absolu de la fonction $W$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

1)a) $u'(x) = \frac{(e^x-1)^2+2}{e^x}$ b) Tableau de variation : $u'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , donc $u$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . c) Puisque $u(0)=0$ et $u$ est strictement croissante, $u(x) < 0$ pour $x < 0$ et $u(x) > 0$ pour $x > 0$ . 2)a) $v(x) = e^x u(x)$ vérifié. b) Signe de $V$ : $v(x) < 0$ pour $x < 0$ , $v(0)=0$ , $v(x) > 0$ pour $x > 0$ . 3)a) $W'(x) = V(x)$ vérifié. b) $\int_{0}^{2}v(x)dx = W(2) - W(0) = (\frac{1}{2}e^4 + 0e^2 - 6) - (\frac{1}{2} + 4 - 0) = \frac{1}{2}e^4 - 6 - \frac{9}{2} = \frac{1}{2}e^4 - \frac{21}{2}$ . c) $W'(x) = V(x)$ . Le minimum absolu de $W$ est atteint en $x=0$ où $V(x)=0$ . $W(0) = \frac{1}{2}e^0 + (4-0)e^0 - 0 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$ .

Dériver $u(x)$ et simplifier pour obtenir $u'(x)$ . Analyser le signe de $u'(x)$ pour le tableau de variation. Utiliser $u(0)=0$ pour déduire le signe de $u(x)$ .
Substituer $u(x)$ dans $e^x u(x)$ pour vérifier $v(x)$ . Utiliser le signe de $u(x)$ et $e^x > 0$ pour déduire le signe de $v(x)$ .
Dériver $W(x)$ pour vérifier que c'est une primitive de $V(x)$ . Calculer l'intégrale en utilisant le théorème fondamental de l'analyse. Trouver le minimum de $W(x)$ en étudiant le signe de $W'(x)=V(x)$ .

Exercice 6·Moyen

Problème : (2015 Session annulée) (8pts) On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \frac{1}{x(1-\ln x)}$ $(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : 2 cm) I) 1)Montrer que : $D_f = ]0; e[\cup]e; +\infty[$ 2) a) Calculer $\lim_{x\to e^-} f(x)$ et $\lim_{x\to e^+} f(x)$ puis interpréter les résultats géométriquement. b) Calculer $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ puis en déduire que $(C_f)$ admet une asymptote au voisinage de $+\infty$ dont on précisera une équation c) Montrer que $\lim_{x\to 0^+} f(x) =+\infty$ puis interpréter les résultats géométriques(pour calculer $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ (remarquer que $x(1 - \ln x) = x - x\ln x$ ) 3) a - Montrer que: $f'(x) = \frac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2} \quad \forall x \in D_f$ b) Montrer que $f$ est décroissante sur $]0,1]$ et croissante sur chacun des intervalles $[1; e[$ et $]e;+\infty[$ b - Dresser le tableau des variations de $f$ sur $D_f$ II) Soit $g$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par : $g(x) = 1-x^2(1-\ln x)$ $(C_g)$ est la courbe représentative de $g$ dans le repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (voir figure)

a) Déterminer graphiquement de solution de l'équation suivante (E) : $g(x) = 0; x \in ]0;+\infty[$ b) On donne le tableau des valeurs suivantes : | x | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | |---|---|---|---|---| | g(x) | -0,14 | -0,02 | 0,12 | 0,28 | Montrer que l'équation (E) admet une solution $\alpha$ telle que $2,2 < \alpha < 2,3$
a) Vérifier que : $f(x) - x = \frac{g(x)}{x(1-\ln x)} \quad \forall x \in D_f$ b) Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$ coupe la courbe $(C_f)$ en deux points d'abscisses 1 et $\alpha$ c) Déterminer à partir de $(C_g)$ le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1; \alpha]$ et montrer que $f(x)-x\le 0$ pour tout $x$ de $[1; \alpha]$
Tracer dans le même repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ , la droite $(\Delta)$ et la courbe $(C_f)$ .
a) Montrer que $\int_1^{\sqrt{e}} \frac{1}{x(1-\ln x)} dx = \ln 2$ (remarquer que $\frac{1}{x(1-\ln x)} = \frac{1}{x(1-\ln x)}$ ) $\forall x \in D_f$ b) Calculer en cm² l'aire du domaine plan délimité par $(C_f)$ la droite $(\Delta)$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \sqrt{e}$ III) On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_{n+1}=f(U_n) \quad \forall n \in \mathbb{N}$ et $U_0=2$
Montrer que : $1\le U_n\le \alpha \quad \forall n \in \mathbb{N}$
Montrer que la suite $(U_n)$ est décroissante ( on pourra utiliser le résultat de la question II) 2) c) )
En déduire que la suite $(U_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Voir la correction

Partie I:

$D_f = ]0; e[ \cup ]e; +\infty[$
a) $\lim_{x\to e^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x\to e^+} f(x) = +\infty$ . Interprétation: La droite d'équation $x=e$ est une asymptote verticale à $(C_f)$ . b) $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$ . Interprétation: La droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ . c) $\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty$ . Interprétation: La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à $(C_f)$ .
a) $f'(x) = \frac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2} \quad \forall x \in D_f$ b) $f$ est décroissante sur $]0,1]$ et croissante sur $[1; e[$ et $]e;+\infty[$ . Tableau de variations: | x | 0 | 1 | e | + $\infty$ | |---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | | - | + | + | | $f(x)$ | + $\infty$ | 1 | - $\infty$ || + $\infty$ | 0 |

Partie II:

a) Graphiquement, les solutions de $g(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de $(C_g)$ avec l'axe des abscisses. Il y a une solution $\alpha \approx 2.25$ . b) D'après le tableau de valeurs, $g(2.2) = -0.02 < 0$ et $g(2.3) = 0.12 > 0$ . Comme $g$ est continue sur $]0;+\infty[$ , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution $\alpha \in ]2.2; 2.3[$ .
a) $f(x) - x = \frac{1}{x(1-\ln x)} - x = \frac{1 - x^2(1-\ln x)}{x(1-\ln x)} = \frac{g(x)}{x(1-\ln x)} \quad \forall x \in D_f$ b) La droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$ coupe $(C_f)$ aux points d'abscisses 1 et $\alpha$ . c) Sur l'intervalle $[1; \alpha]$ , $g(x) \le 0$ . De plus, pour $x \in [1; \alpha]$ , $x > 0$ et $1-\ln x > 0$ (car $x < e$ ). Donc $x(1-\ln x) > 0$ . Par conséquent, $f(x)-x = \frac{g(x)}{x(1-\ln x)} \le 0$ , ce qui implique $f(x) \le x$ .
Tracer la droite $(\Delta)$ et la courbe $(C_f)$ .
a) $\int_1^{\sqrt{e}} \frac{1}{x(1-\ln x)} dx = [-\ln|1-\ln x|]_1^{\sqrt{e}} = -\ln|1-\ln \sqrt{e}| - (-\ln|1-\ln 1|) = -\ln|1-\frac{1}{2}| + \ln|1-0| = -\ln(\frac{1}{2}) + \ln(1) = \ln 2$ . b) L'aire est donnée par $\int_1^{\sqrt{e}} (x - f(x)) dx$ . (Note: The problem states $f(x)-x \le 0$ on $[1,\alpha]$ , so $x-f(x) \ge 0$ . The integral should be $\int_1^{\sqrt{e}} (x - f(x)) dx$ if $x \ge f(x)$ on this interval. However, $\sqrt{e} \approx 1.648$ which is less than $\alpha \approx 2.25$ . So $x-f(x) \ge 0$ on $[1,\sqrt{e}]$ .) $\int_1^{\sqrt{e}} (x - f(x)) dx = \int_1^{\sqrt{e}} x dx - \int_1^{\sqrt{e}} f(x) dx = [\frac{x^2}{2}]_1^{\sqrt{e}} - \ln 2 = (\frac{e}{2} - \frac{1}{2}) - \ln 2 = \frac{e-1}{2} - \ln 2$ . L'aire en cm² est $4(\frac{e-1}{2} - \ln 2) = 2(e-1) - 4\ln 2$ .

Partie III:

Par récurrence: Pour $n=0$ , $U_0=2$ . On sait que $1 < 2 < \alpha$ (car $2.2 < \alpha < 2.3$ ). Donc $1 \le U_0 \le \alpha$ . Supposons $1 \le U_n \le \alpha$ . Puisque $f$ est croissante sur $[1, e[$ et $e > \alpha$ , et $f(1)=1$ , $f(\alpha)=\alpha$ , alors $f(1) \le f(U_n) \le f(\alpha)$ , donc $1 \le U_{n+1} \le \alpha$ .
D'après II) 2) c), pour tout $x \in [1; \alpha]$ , $f(x) \le x$ . Puisque $U_n \in [1; \alpha]$ , on a $f(U_n) \le U_n$ , donc $U_{n+1} \le U_n$ . La suite $(U_n)$ est décroissante.
La suite $(U_n)$ est décroissante et minorée par 1, donc elle est convergente. Soit $L$ sa limite. Puisque $f$ est continue sur $[1; \alpha]$ , $L$ vérifie $f(L)=L$ . Les solutions de $f(x)=x$ dans $[1; \alpha]$ sont 1 et $\alpha$ . Comme $U_0=2$ et la suite est décroissante, $L \le 2$ . Donc $L=1$ .

Partie I:

Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur est non nul et $\ln x$ est défini.
a) Calculer les limites en $e^-$ et $e^+$ en étudiant le signe de $1-\ln x$ . Interpréter graphiquement. b) Calculer la limite en $+\infty$ en utilisant la croissance comparée. Interpréter graphiquement. c) Calculer la limite en $0^+$ en utilisant la croissance comparée. Interpréter graphiquement.
a) Calculer la dérivée $f'(x)$ en utilisant la formule de dérivation d'un quotient. b) Étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance. Construire le tableau de variations. Partie II:
a) Lire les points d'intersection de $(C_g)$ avec l'axe des abscisses. b) Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires en utilisant la continuité de $g$ et les valeurs du tableau.
a) Effectuer la soustraction $f(x)-x$ et simplifier l'expression. b) Résoudre l'équation $f(x)=x$ en utilisant le résultat de la question précédente. c) Étudier le signe de $g(x)$ sur l'intervalle donné à partir de $(C_g)$ et en déduire le signe de $f(x)-x$ .
Tracer les courbes en utilisant les informations obtenues.
a) Calculer l'intégrale en utilisant un changement de variable ou en reconnaissant une forme usuelle. b) Calculer l'aire en utilisant l'intégrale de la différence des fonctions et en tenant compte de l'unité. Partie III:
Démontrer par récurrence que $1 \le U_n \le \alpha$ en utilisant la croissance de $f$ sur $[1; \alpha]$ et le fait que $f(1)=1$ et $f(\alpha)=\alpha$ .
Montrer que $U_{n+1} - U_n \le 0$ en utilisant le résultat de II) 2) c).
Conclure sur la convergence en utilisant le théorème de convergence des suites monotones et bornées. Déterminer la limite en résolvant $f(L)=L$ et en utilisant la décroissance de la suite.

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