Équations différentielles

L'intuition

Imagine que tu conduis une voiture et que tu veux savoir où tu seras dans 10 minutes. Tu connais ta vitesse actuelle, et tu sais que cette vitesse dépend de la route, du vent, et de la façon dont tu appuies sur l'accélérateur. En maths, une équation différentielle, c'est un peu ça : c'est une relation entre une fonction (ta position), sa dérivée (ta vitesse), et parfois sa dérivée seconde (ton accélération).

Résoudre une équation différentielle, c'est trouver la fonction qui décrit ton mouvement. C'est comme remonter le temps pour trouver la position exacte à chaque instant, connaissant juste la façon dont ta vitesse et ton accélération changent.

Ces équations sont partout : en physique pour décrire le mouvement des planètes, en chimie pour modéliser la concentration des réactifs, en biologie pour la croissance des populations, et même en économie. Pour ton Bac, on va se concentrer sur des types spécifiques, les plus courants et les plus "simples" à résoudre.

Le cours

I. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme $y' = ay + b$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, et $y$ est une fonction de $x$ (souvent notée $y(x)$) dont on cherche l'expression. $y'$ est la dérivée de $y$ par rapport à $x$.

1. Cas $y' = ay$

C'est le cas le plus simple, où $b=0$.

Théorème : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions de la forme $y(x) = C e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle quelconque.

Démonstration : Soit $y(x) = C e^{ax}$. Alors $y'(x) = C \cdot a e^{ax} = a (C e^{ax}) = a y(x)$. Donc $y(x) = C e^{ax}$ est bien une solution.

Réciproquement, soit $y$ une solution de $y' = ay$. Si $y(x) = 0$ pour tout $x$, alors $C=0$, c'est une solution. Si $y(x) \neq 0$, on peut écrire $\frac{y'(x)}{y(x)} = a$. En intégrant les deux membres par rapport à $x$ : $\int \frac{y'(x)}{y(x)} dx = \int a dx$ $\ln(|y(x)|) = ax + K'$, où $K'$ est une constante réelle. $|y(x)| = e^{ax + K'} = e^{K'} e^{ax}$. $y(x) = \pm e^{K'} e^{ax}$. En posant $C = \pm e^{K'}$ (ou $C=0$ si $y(x)=0$), on obtient $y(x) = C e^{ax}$.

2. Cas $y' = ay + b$

Théorème : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ sont les fonctions de la forme $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ si $a \neq 0$. Si $a=0$, l'équation devient $y' = b$, et les solutions sont $y(x) = bx + C$.

Démonstration (pour $a \neq 0$) : On cherche une solution particulière constante $y_p(x) = K$. Alors $y_p'(x) = 0$. En substituant dans l'équation : $0 = aK + b \implies K = -\frac{b}{a}$. Donc $y_p(x) = -\frac{b}{a}$ est une solution particulière.

Soit $y_g(x)$ la solution générale de $y' = ay + b$. Soit $y_h(x)$ la solution de l'équation homogène associée $y' = ay$. On sait que $y_h(x) = C e^{ax}$. On a $y_g'(x) = ay_g(x) + b$. Et $y_p'(x) = ay_p(x) + b$. En soustrayant les deux équations : $y_g'(x) - y_p'(x) = a y_g(x) - a y_p(x)$ $(y_g - y_p)'(x) = a (y_g - y_p)(x)$. La fonction $z(x) = y_g(x) - y_p(x)$ est donc solution de l'équation homogène $z' = az$. Donc $z(x) = C e^{ax}$. Par conséquent, $y_g(x) - y_p(x) = C e^{ax}$, ce qui donne $y_g(x) = C e^{ax} + y_p(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.

3. Détermination de la solution particulière (condition initiale)

Pour trouver la valeur de la constante $C$, on utilise une condition initiale donnée, par exemple $y(x_0) = y_0$. On remplace $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$ dans la solution générale, puis on résout pour $C$.

II. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est de la forme $ay'' + by' + cy = 0$, où $a, b, c$ sont des constantes réelles, avec $a \neq 0$. $y''$ est la dérivée seconde de $y$ par rapport à $x$.

1. Équation caractéristique

Pour résoudre $ay'' + by' + cy = 0$, on associe une équation algébrique appelée équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$.

Les solutions de l'équation différentielle dépendent de la nature des racines de cette équation caractéristique. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

2. Cas $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes)

Si $\Delta > 0$, l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes : $r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Théorème : La solution générale de l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ est $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

Démonstration (idée) : On peut vérifier que $e^{r_1 x}$ et $e^{r_2 x}$ sont des solutions. Si $y(x) = e^{rx}$, alors $y'(x) = r e^{rx}$ et $y''(x) = r^2 e^{rx}$. En substituant dans l'équation différentielle : $ar^2 e^{rx} + br e^{rx} + c e^{rx} = 0$ $e^{rx} (ar^2 + br + c) = 0$. Puisque $e^{rx} \neq 0$, il faut que $ar^2 + br + c = 0$. Donc $r$ doit être une racine de l'équation caractéristique. La combinaison linéaire $C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ est aussi une solution car l'équation est linéaire.

3. Cas $\Delta = 0$ (une racine réelle double)

Si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique a une racine réelle double : $r_0 = \frac{-b}{2a}$.

Théorème : La solution générale de l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ est $y(x) = (C_1 x + C_2) e^{r_0 x}$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

Démonstration (idée) : On sait que $e^{r_0 x}$ est une solution. On peut montrer que $x e^{r_0 x}$ est aussi une solution. Soit $y(x) = x e^{r_0 x}$. $y'(x) = e^{r_0 x} + r_0 x e^{r_0 x} = (1 + r_0 x) e^{r_0 x}$. $y''(x) = r_0 e^{r_0 x} + r_0 (1 + r_0 x) e^{r_0 x} = (r_0 + r_0 + r_0^2 x) e^{r_0 x} = (2r_0 + r_0^2 x) e^{r_0 x}$. En substituant dans $ay'' + by' + cy = 0$ et en utilisant $r_0 = -b/(2a)$ et $b^2 - 4ac = 0$, on trouve que l'expression est nulle.

4. Cas $\Delta < 0$ (deux racines complexes conjuguées)

Si $\Delta < 0$, l'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées : $r_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \alpha - i\beta$ et $r_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \alpha + i\beta$, où $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Théorème : La solution générale de l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ est $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

Démonstration (idée) : Les solutions complexes sont $e^{(\alpha + i\beta)x}$ et $e^{(\alpha - i\beta)x}$. En utilisant la formule d'Euler ($e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$), on a : $e^{(\alpha + i\beta)x} = e^{\alpha x} e^{i\beta x} = e^{\alpha x} (\cos(\beta x) + i\sin(\beta x))$ $e^{(\alpha - i\beta)x} = e^{\alpha x} e^{-i\beta x} = e^{\alpha x} (\cos(\beta x) - i\sin(\beta x))$ Par combinaison linéaire de ces solutions complexes, on peut obtenir des solutions réelles : $\frac{1}{2} (e^{(\alpha + i\beta)x} + e^{(\alpha - i\beta)x}) = e^{\alpha x} \cos(\beta x)$ $\frac{1}{2i} (e^{(\alpha + i\beta)x} - e^{(\alpha - i\beta)x}) = e^{\alpha x} \sin(\beta x)$ Toute combinaison linéaire de ces deux solutions réelles est aussi une solution.

5. Détermination de la solution particulière (conditions initiales)

Pour une équation du second ordre, il faut deux conditions initiales pour déterminer $C_1$ et $C_2$. Par exemple, $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$. On substitue ces conditions dans la solution générale et sa dérivée, ce qui donne un système de deux équations à deux inconnues ($C_1$ et $C_2$).

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : Partie II II-1) a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$. b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$.

II-1) a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$.

1. 1

   1. Identifier le type d'équation différentielle.

   C'est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.

2. 2

   2. Écrire l'équation caractéristique associée.

3. 3

   3. Résoudre l'équation caractéristique.

4. 4

   Puisque $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes :

5. 5

   $r_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 - 1}{2} = 1$.

6. 6

   $r_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 + 1}{2} = 2$.

7. 7

   4. Écrire la solution générale de l'équation différentielle.

8. 8

   Donc, $y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

Étape suivante

II-1) b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$.

1. 1

   1. Utiliser la solution générale trouvée.

   On a $g(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$.

2. 2

   2. Calculer la dérivée de la solution générale.

3. 3

   3. Appliquer les conditions initiales.

4. 4

   $C_1 e^{0} + C_2 e^{2 \cdot 0} = -3$

5. 5

   $C_1 + C_2 = -3$ (Équation 1)

6. 6

   Pour $g'(0) = -2$:

7. 7

   $C_1 e^{0} + 2C_2 e^{2 \cdot 0} = -2$

8. 8

   $C_1 + 2C_2 = -2$ (Équation 2)

9. 9

   4. Résoudre le système d'équations pour trouver $C_1$ et $C_2$.

10. 10

    $\begin{cases} C_1 + C_2 = -3 \\ C_1 + 2C_2 = -2 \end{cases}$

11. 11

    Soustrayons l'Équation 1 de l'Équation 2 :

12. 12

    $(C_1 + 2C_2) - (C_1 + C_2) = -2 - (-3)$

13. 13

    $C_2 = 1$.

14. 14

    Substituons $C_2 = 1$ dans l'Équation 1 :

15. 15

    $C_1 + 1 = -3 \implies C_1 = -4$.

16. 16

    5. Écrire la solution particulière.

17. 17

    Donc, $g(x) = -4 e^{x} + e^{2x}$.

Étape suivante

La méthode

Voici les étapes clés que le correcteur attend de toi, numérotées et précises.

Pour $y' = ay + b$ :

1. Identifier l'équation : Reconnaître qu'il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.
2. Cas $a=0$ : Si $a=0$, l'équation est $y' = b$. La solution générale est $y(x) = bx + C$.
3. Cas $a \neq 0$ :
   • Solution homogène : Résoudre l'équation homogène $y' = ay$, dont la solution est $y_h(x) = C e^{ax}$.
   • Solution particulière : Chercher une solution particulière constante $y_p(x) = K$. En substituant dans l'équation, on trouve $K = -\frac{b}{a}$.
   • Solution générale : La solution générale est la somme de la solution homogène et de la solution particulière : $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.
4. Conditions initiales (si données) : Si une condition $y(x_0) = y_0$ est donnée, substituer ces valeurs dans la solution générale pour trouver la constante $C$.

Pour $ay'' + by' + cy = 0$ :

1. Identifier l'équation : Reconnaître qu'il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
2. Écrire l'équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$.
3. Calculer le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Analyser les cas selon $\Delta$ :
   • $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$) : La solution générale est $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.
   • $\Delta = 0$ (une racine réelle double $r_0$) : La solution générale est $y(x) = (C_1 x + C_2) e^{r_0 x}$.
   • $\Delta < 0$ (deux racines complexes conjuguées $\alpha \pm i\beta$) : La solution générale est $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.
5. Conditions initiales (si données) : Si deux conditions $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$ sont données, il faut :
   • Calculer la dérivée $y'(x)$ de la solution générale.
   • Substituer les conditions initiales dans $y(x)$ et $y'(x)$ pour former un système linéaire de deux équations à deux inconnues ($C_1$ et $C_2$).
   • Résoudre ce système pour trouver $C_1$ et $C_2$.
   • Écrire la solution particulière avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$ trouvées.

Pièges classiques

• Oublier la constante d'intégration $C$ : Pour les équations du premier ordre, ou $C_1, C_2$ pour le second ordre. Sans ces constantes, la solution n'est pas générale.
• Erreurs de calcul du discriminant : Une erreur dans $\Delta$ mène à un cas de racines incorrect et donc à une solution générale fausse.
• Confondre les cas de racines : Bien distinguer les formes de solutions pour $\Delta > 0$, $\Delta = 0$, et $\Delta < 0$.
• Erreurs de signe avec $b/a$ ou $\alpha, \beta$ : Attention aux signes dans les formules des racines et des solutions.
• Dérivation incorrecte pour les conditions initiales du second ordre : Une erreur dans $y'(x)$ faussera le système d'équations pour $C_1$ et $C_2$.
• Ne pas résoudre le système d'équations correctement : Pour les conditions initiales du second ordre, il faut être rigoureux dans la résolution du système linéaire.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des équations différentielles est un classique du Bac. Il est souvent intégré à la partie "Analyse" et représente une part significative des points (environ 8% du total).

Formats de questions réels :

• Résolution d'une équation du premier ordre : On te demandera de résoudre $y' = ay + b$ sur $\mathbb{R}$.
  • Exemple : "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'-3y=0$."
  • Attendu : Identification de $a$, application de la formule $C e^{ax}$.
• Détermination d'une solution particulière (premier ordre) : Après avoir trouvé la solution générale, on te donnera une condition initiale $y(x_0) = y_0$ pour trouver $C$.
  • Exemple : "Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$, puis déterminer la solution vérifiant $y(0) = 3$."
  • Attendu : Substitution de $x_0$ et $y_0$ dans la solution générale pour isoler $C$.
• Résolution d'une équation du second ordre : On te demandera de résoudre $ay'' + by' + cy = 0$.
  • Exemple : "Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$."
  • Attendu : Écriture de l'équation caractéristique, calcul du discriminant, identification des racines, écriture de la solution générale selon le cas.
• Détermination d'une solution particulière (second ordre) : Après la solution générale, on te donnera deux conditions initiales ($y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$) pour trouver $C_1$ et $C_2$.
  • Exemple : "Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$."
  • Attendu : Dérivation de la solution générale, mise en place et résolution d'un système linéaire de deux équations à deux inconnues.

Barème et attentes du correcteur :

La rédaction doit être rigoureuse. Chaque étape de la méthode doit être clairement indiquée et justifiée.

• Identification de l'équation caractéristique : Points pour avoir posé la bonne équation.
• Calcul du discriminant : Points pour le calcul correct de $\Delta$.
• Détermination des racines : Points pour les valeurs exactes de $r_1, r_2$ ou $r_0$ ou $\alpha \pm i\beta$.
• Écriture de la solution générale : Points pour la forme correcte de la solution générale (avec $C, C_1, C_2$).
• Calcul de la dérivée (pour conditions initiales du second ordre) : Points pour $y'(x)$ correct.
• Mise en place du système d'équations : Points pour avoir correctement substitué les conditions initiales.
• Résolution du système : Points pour les valeurs exactes de $C, C_1, C_2$.
• Écriture de la solution particulière : Points pour la solution finale, sans les constantes symboliques.

Sois méthodique, suis les étapes, et tu maîtriseras ce chapitre.