Suites numériques

L'intuition

Imagine une suite comme une sorte de "film" où chaque image est un nombre, et ces images se succèdent selon une logique. Par exemple, tu commences avec un nombre, puis le suivant est le double du précédent, et ainsi de suite. L'étude des suites, c'est comprendre comment ce film se déroule : est-ce que les nombres augmentent, diminuent, est-ce qu'ils s'approchent d'une valeur précise, ou est-ce qu'ils partent à l'infini ? C'est ça l'idée principale.

Le cours

Définitions fondamentales

Une suite numérique est une fonction de $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) vers $\mathbb{R}$. On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$. $u_n$ est le terme général de la suite.

Modes de définition d'une suite :

1. Explicite : $u_n = f(n)$, où $f$ est une fonction de $n$. Exemple : $u_n = n^2 + 1$.
2. Par récurrence : $u_0$ (ou $u_1$) est donné, et $u_{n+1}$ est défini en fonction de $u_n$. Exemple : $u_0 = 1$, $u_{n+1} = 2u_n + 3$.

Monotonie d'une suite

La monotonie décrit le sens de variation d'une suite.

Définition :

• Une suite $(u_n)$ est croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \ge u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} > u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \le u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} < u_n$.
• Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Méthodes pour étudier la monotonie :

1. Étude du signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :
   • Si $u_{n+1} - u_n \ge 0$, la suite est croissante.
   • Si $u_{n+1} - u_n \le 0$, la suite est décroissante.
2. Comparaison du rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (pour les suites à termes strictement positifs) :
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$, la suite est croissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$, la suite est décroissante.
3. Étude des variations de la fonction $f$ telle que $u_n = f(n)$ :
   • Si $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante.
   • Si $f$ est décroissante sur $[0, +\infty[$, alors $(u_n)$ est décroissante.

Suites bornées

Définition :

• Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \le M$.
• Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge m$.
• Une suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Méthode pour montrer qu'une suite est bornée : Souvent, on utilise la démonstration par récurrence.

Suites arithmétiques

Définition : Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n + r$.

Propriétés :

• Terme général : $u_n = u_0 + nr$ (si le premier terme est $u_0$) ou $u_n = u_p + (n-p)r$ (si le premier terme est $u_p$).
• Somme des $n+1$ premiers termes : $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1) \frac{u_0 + u_n}{2}$.
• Monotonie :
  • Si $r > 0$, la suite est strictement croissante.
  • Si $r < 0$, la suite est strictement décroissante.
  • Si $r = 0$, la suite est constante.

Suites géométriques

Définition : Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n \times q$.

Propriétés :

• Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$ (si le premier terme est $u_0$) ou $u_n = u_p \times q^{n-p}$ (si le premier terme est $u_p$).
• Somme des $n+1$ premiers termes : $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$). Si $q=1$, $S_n = (n+1)u_0$.
• Monotonie (pour $u_0 > 0$) :
  • Si $q > 1$, la suite est strictement croissante.
  • Si $0 < q < 1$, la suite est strictement décroissante.
  • Si $q = 1$, la suite est constante.
  • Si $q < 0$, la suite n'est pas monotone (elle est alternée).

Limite d'une suite

Définition :

• Une suite $(u_n)$ converge vers un réel $L$ si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.
• Une suite $(u_n)$ diverge si elle ne converge pas. Cela inclut les cas où $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ou $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$, ou si la suite n'a pas de limite (par exemple, suite alternée).

Théorèmes de convergence :

• Théorème de la convergence monotone :
  • Toute suite croissante et majorée converge.
  • Toute suite décroissante et minorée converge.
• Théorème des gendarmes : Si pour tout $n$ assez grand, $v_n \le u_n \le w_n$ et si $\lim_{n \to +\infty} v_n = L$ et $\lim_{n \to +\infty} w_n = L$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.
• Limite des suites arithmétiques :
  • Si $r > 0$, $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
  • Si $r < 0$, $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
  • Si $r = 0$, $\lim_{n \to +\infty} u_n = u_0$.
• Limite des suites géométriques $q^n$ :
  • Si $q > 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
  • Si $q = 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
  • Si $-1 < q < 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
  • Si $q \le -1$, la suite diverge (pas de limite).

Limite d'une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers une limite $L$, et si la fonction $f$ est continue en $L$, alors $L$ est une solution de l'équation $L = f(L)$.

Exemple résolu

Extrait d'annale (2012 S1) : On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_{n+1}=\frac{10}{11}U_n+\frac{12}{11}$ $\forall n \in \mathbb{N}$ et $U_0=11$.

1. Montrer que : $U_{n+1}-12=\frac{10}{11}(U_n-12)$ $\forall n \in \mathbb{N}$.
2. a) Montrer que : $U_n < 12$ $\forall n \in \mathbb{N}$. b) Montrer que $(U_n)$ est strictement croissante. c) En déduire que $(U_n)$ est convergente.
3. On considère la suite $(V_n)$ définie par : $V_n = U_n-12$ $\forall n \in \mathbb{N}$. a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme. b) Exprimer $V_n$ en fonction de $n$, puis $U_n$ en fonction de $n$. c) Calculer la limite de la suite $(U_n)$.

Solution :

1. Montrer que $U_{n+1}-12=\frac{10}{11}(U_n-12)$ : On part de l'expression de $U_{n+1}-12$ : $U_{n+1}-12 = \left(\frac{10}{11}U_n+\frac{12}{11}\right) - 12$ $U_{n+1}-12 = \frac{10}{11}U_n+\frac{12}{11} - \frac{132}{11}$ $U_{n+1}-12 = \frac{10}{11}U_n - \frac{120}{11}$ $U_{n+1}-12 = \frac{10}{11}(U_n - 12)$ Ceci est vrai pour tout $n \in \mathbb{N}$.

2. a) Montrer par récurrence que $U_n < 12$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

   • Initialisation : Pour $n=0$, $U_0 = 11$. On a bien $11 < 12$. La propriété est vraie pour $n=0$.
   • Hérédité : Supposons que pour un certain $k \in \mathbb{N}$, $U_k < 12$. Montrons que $U_{k+1} < 12$. D'après la question 1), $U_{k+1}-12 = \frac{10}{11}(U_k-12)$. Puisque $U_k < 12$, on a $U_k-12 < 0$. Comme $\frac{10}{11} > 0$, le produit $\frac{10}{11}(U_k-12)$ est négatif. Donc $U_{k+1}-12 < 0$, ce qui implique $U_{k+1} < 12$.
   • Conclusion : D'après le principe de récurrence, $U_n < 12$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

3. b) Montrer que $(U_n)$ est strictement croissante : On étudie le signe de $U_{n+1} - U_n$. $U_{n+1} - U_n = \left(\frac{10}{11}U_n+\frac{12}{11}\right) - U_n$ $U_{n+1} - U_n = \frac{10}{11}U_n - U_n + \frac{12}{11}$ $U_{n+1} - U_n = -\frac{1}{11}U_n + \frac{12}{11}$ $U_{n+1} - U_n = \frac{1}{11}(12 - U_n)$ D'après la question 2)a), on sait que $U_n < 12$, donc $12 - U_n > 0$. Puisque $\frac{1}{11} > 0$, on en déduit que $U_{n+1} - U_n > 0$. Par conséquent, la suite $(U_n)$ est strictement croissante.

4. c) En déduire que $(U_n)$ est convergente : La suite $(U_n)$ est strictement croissante (d'après 2)b)) et majorée par 12 (d'après 2)a)). D'après le théorème de la convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge. Donc, la suite $(U_n)$ est convergente.

5. a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique : On a $V_n = U_n - 12$. Calculons $V_{n+1}$ : $V_{n+1} = U_{n+1} - 12$ D'après la question 1), on sait que $U_{n+1}-12 = \frac{10}{11}(U_n-12)$. Donc $V_{n+1} = \frac{10}{11}(U_n-12)$. Puisque $V_n = U_n - 12$, on a $V_{n+1} = \frac{10}{11}V_n$. La suite $(V_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = \frac{10}{11}$. Calculons son premier terme $V_0$ : $V_0 = U_0 - 12 = 11 - 12 = -1$.

6. b) Exprimer $V_n$ en fonction de $n$, puis $U_n$ en fonction de $n$ : Puisque $(V_n)$ est une suite géométrique de premier terme $V_0 = -1$ et de raison $q = \frac{10}{11}$, son terme général est : $V_n = V_0 \times q^n = -1 \times \left(\frac{10}{11}\right)^n = -\left(\frac{10}{11}\right)^n$. Pour exprimer $U_n$ en fonction de $n$, on utilise la relation $V_n = U_n - 12$, donc $U_n = V_n + 12$. $U_n = 12 - \left(\frac{10}{11}\right)^n$.

7. c) Calculer la limite de la suite $(U_n)$ : On a $U_n = 12 - \left(\frac{10}{11}\right)^n$. Calculons la limite de $\left(\frac{10}{11}\right)^n$ quand $n \to +\infty$. Puisque $0 < \frac{10}{11} < 1$, on sait que $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{10}{11}\right)^n = 0$. Donc, $\lim_{n \to +\infty} U_n = 12 - 0 = 12$.

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder un exercice sur les suites numériques, telles qu'attendues par le correcteur :

1. Calculer les premiers termes et conjecturer : | Calculer $u_1, u_2, \dots$ pour comprendre le comportement de la suite (monotonie, bornes, limite).
2. Démontrer par récurrence les bornes : | Établir que la suite est majorée ou minorée en utilisant le principe de récurrence.
3. Étudier la monotonie de la suite : | Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et étudier son signe/sa valeur par rapport à 1.
4. Déduire la convergence et calculer la limite : | Utiliser le théorème de convergence monotone, puis résoudre $L=f(L)$ ou utiliser l'expression explicite de $u_n$.

Pièges classiques

Khoya, un piège classique, c'est de calculer $L=f(L)$ direct et de dire "voilà la limite". Machi dima ça marche comme ça. Il faut d'abord montrer que la suite kaymchi l'chi limite (qu'elle est convergente) avant de chercher cette limite avec $L=f(L)$. Sinon, tu peux trouver une valeur qui n'est pas la limite de ta suite, ou même une limite qui n'existe pas ! C'est une erreur qui coûte des points 7it tu sautes une étape cruciale.

Ce qui tombe à l'examen

Les exercices sur les suites numériques sont très structurés et suivent souvent le même schéma. Le barème est généralement réparti comme suit :

• Calcul des premiers termes : (0.25 - 0.5 point)
  • Application directe de la définition.
• Démonstration par récurrence (bornes) : (0.5 - 0.75 point)
  • Initialisation, hérédité, conclusion.
• Étude de la monotonie : (0.5 - 0.75 point)
  • Calcul de $u_{n+1} - u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$, étude du signe/comparaison.
• Déduction de la convergence : (0.25 - 0.5 point)
  • Utilisation du théorème de convergence monotone (suite monotone et bornée).
• Reconnaissance/établissement d'une suite arithmétique/géométrique (souvent une suite auxiliaire $v_n$) : (0.75 - 1 point)
  • Calcul de $v_{n+1} - v_n$ (arithmétique) ou $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ (géométrique).
  • Détermination de la raison et du premier terme.
• Expression du terme général $v_n$ puis $u_n$ : (0.5 - 0.75 point)
  • Application des formules $v_n = v_0 + nr$ ou $v_n = v_0 q^n$.
  • Substitution pour trouver $u_n$.
• Calcul de la limite de la suite $(u_n)$ : (0.5 - 0.75 point)
  • Utilisation des limites des suites de référence ($q^n$) ou résolution de $L=f(L)$.

Le total pour un exercice de suite est généralement entre 3 et 4 points. La rédaction rigoureuse de chaque étape est essentielle pour obtenir tous les points.