Produit scalaire et vectoriel dans $V_3$

L'intuition

Le cours

I. Le produit scalaire dans $V_3$

Le produit scalaire est une opération qui, à deux vecteurs, associe un nombre réel. Il permet de mesurer l'angle entre les vecteurs et de déterminer leur orthogonalité.

1. Définition et propriétés

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de $V_3$. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est défini par :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$

où $||\vec{u}||$ et $||\vec{v}||$ sont les normes (longueurs) des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, et $\theta$ est l'angle non orienté entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ($0 \le \theta \le \pi$).

Propriétés :

• Commutativité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
• Distributivité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
• Homogénéité : $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ pour tout réel $k$.
• Produit scalaire d'un vecteur par lui-même : $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$. C'est le carré scalaire.

2. Expression analytique dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, soient $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$. Le produit scalaire est donné par :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$

Démonstration : On utilise les propriétés de distributivité et d'homogénéité, ainsi que le fait que les vecteurs de base $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ sont orthogonaux et de norme 1 : $\vec{i} \cdot \vec{i} = ||\vec{i}||^2 = 1$, $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$, etc. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot (x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k})$ $= xx'(\vec{i} \cdot \vec{i}) + xy'(\vec{i} \cdot \vec{j}) + xz'(\vec{i} \cdot \vec{k}) + yx'(\vec{j} \cdot \vec{i}) + yy'(\vec{j} \cdot \vec{j}) + yz'(\vec{j} \cdot \vec{k}) + zx'(\vec{k} \cdot \vec{i}) + zy'(\vec{k} \cdot \vec{j}) + zz'(\vec{k} \cdot \vec{k})$ $= xx'(1) + xy'(0) + xz'(0) + yx'(0) + yy'(1) + yz'(0) + zx'(0) + zy'(0) + zz'(1)$ $= xx' + yy' + zz'$

3. Orthogonalité de deux vecteurs

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Ceci découle directement de la définition $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$. Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ et que les vecteurs sont non nuls, alors $\cos(\theta) = 0$, ce qui implique $\theta = \frac{\pi}{2}$.

4. Calcul de l'angle entre deux vecteurs

À partir de la définition, on peut exprimer le cosinus de l'angle $\theta$ entre deux vecteurs non nuls :

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

où $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et $||\vec{v}|| = \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}$.

II. Le produit vectoriel dans $V_3$

Le produit vectoriel est une opération qui, à deux vecteurs de $V_3$, associe un troisième vecteur. Ce vecteur est orthogonal aux deux premiers et sa norme est liée à l'aire du parallélogramme qu'ils forment.

1. Définition et propriétés

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de $V_3$. Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$, est un vecteur défini par :

• Sa direction est orthogonale au plan formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

• Son sens est donné par la règle du tire-bouchon (ou de la main droite) de $\vec{u}$ vers $\vec{v}$.

• Sa norme est : $||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin(\theta)$

  où $\theta$ est l'angle non orienté entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Propriétés :

• Anticommutativité : $\vec{u} \wedge \vec{v} = -(\vec{v} \wedge \vec{u})$
• Vecteurs colinéaires : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$. (Car si colinéaires, $\theta = 0$ ou $\pi$, donc $\sin(\theta) = 0$).
• Distributivité : $\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}$
• Homogénéité : $(k\vec{u}) \wedge \vec{v} = k(\vec{u} \wedge \vec{v})$ pour tout réel $k$.

2. Expression analytique dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, soient $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$. Le produit vectoriel est donné par :

$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} yz' - zy' \\ zx' - xz' \\ xy' - yx' \end{pmatrix}$

Une manière mnémotechnique de retenir cette formule est d'utiliser un déterminant formel :

$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & x & x' \\ \vec{j} & y & y' \\ \vec{k} & z & z' \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}$

$= (yz' - zy')\vec{i} - (xz' - zx')\vec{j} + (xy' - yx')\vec{k}$

$= (yz' - zy')\vec{i} + (zx' - xz')\vec{j} + (xy' - yx')\vec{k}$

3. Interprétation géométrique

• Vecteur normal : Le vecteur $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur normal au plan contenant $\vec{u}$ et $\vec{v}$. C'est une propriété fondamentale pour déterminer l'équation d'un plan.

  (Note: Le plot 3D n'est pas directement supporté par le format, mais l'idée est de visualiser un plan et son vecteur normal. L'exemple ci-dessus est une simplification pour illustrer le concept.)

• Aire du parallélogramme et du triangle : La norme du produit vectoriel $|| \vec{u} \wedge \vec{v} ||$ représente l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. L'aire du triangle formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est la moitié de cette aire : $\text{Aire}_{\text{parallélogramme}} = ||\vec{u} \wedge \vec{v}||$

  $\text{Aire}_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} ||\vec{u} \wedge \vec{v}||$

4. Produit mixte

Le produit mixte de trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ est le scalaire $(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}$. Il est noté $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$. En coordonnées, si $\vec{u}(x,y,z)$, $\vec{v}(x',y',z')$ et $\vec{w}(x'',y'',z'')$ :

$(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z'' \end{vmatrix}$

La valeur absolue du produit mixte $|(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})|$ représente le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$. Si le produit mixte est nul, les trois vecteurs sont coplanaires.

Exemple résolu

Extrait d'annale : Soient les points $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$ dans un repère orthonormé.

1. Donner un vecteur normal au plan (ABC).
2. En déduire une équation cartésienne de ce plan.
3. Calculer l'aire du triangle ABC.

Solution :

1. Vecteur normal au plan (ABC) : Pour trouver un vecteur normal au plan (ABC), on peut calculer le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires formés par ces points, par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Calculons les coordonnées des vecteurs : $\vec{AB} = B - A = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$ $\vec{AC} = C - A = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$

   Calculons le produit vectoriel $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$ : $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1 \\ (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

   Un vecteur normal au plan (ABC) est donc $\vec{n}(1,1,1)$.

2. Équation cartésienne du plan (ABC) : Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ a une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$. Ici, $\vec{n}(1,1,1)$, donc l'équation est $1x+1y+1z+d=0$, soit $x+y+z+d=0$. Pour trouver $d$, on utilise le fait qu'un des points du plan (par exemple A) appartient à ce plan. En substituant les coordonnées de $A(1,0,0)$ dans l'équation : $1 + 0 + 0 + d = 0 \implies d = -1$. L'équation cartésienne du plan (ABC) est donc $x+y+z-1=0$.

3. Aire du triangle ABC : L'aire du triangle ABC est donnée par $\frac{1}{2} ||\vec{AB} \wedge \vec{AC}||$. Nous avons déjà calculé $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = (1,1,1)$. Calculons sa norme : $||\vec{AB} \wedge \vec{AC}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$. L'aire du triangle ABC est donc $\frac{\sqrt{3}}{2}$ unités d'aire.

La méthode

Pour réussir les exercices sur le produit scalaire et vectoriel, suis ces étapes claires et rigoureuses :

1. Identifier les vecteurs et leurs coordonnées :

   • Si des points sont donnés, calculer les vecteurs nécessaires (ex: $\vec{AB} = B-A$).
   • Vérifier que le repère est bien orthonormé.

2. Appliquer la formule appropriée :

   • Produit scalaire : Pour l'orthogonalité ou l'angle, utiliser $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
   • Produit vectoriel : Pour un vecteur normal ou une aire, utiliser la formule des coordonnées pour $\vec{u} \wedge \vec{v}$.

3. Calculer les normes si nécessaire :

   • Pour l'angle ou l'aire, la norme d'un vecteur $\vec{w}(a,b,c)$ est $||\vec{w}|| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

4. Interpréter le résultat :

   • $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \implies$ orthogonalité.
   • $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur normal.
   • $||\vec{u} \wedge \vec{v}||$ est l'aire du parallélogramme.
   • $\frac{1}{2}||\vec{u} \wedge \vec{v}||$ est l'aire du triangle.

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Ce chapitre est très prévisible et les questions sont souvent directes, testant l'application des formules et des interprétations géométriques.

Formats de questions réels et barème :

1. Calcul du produit scalaire et orthogonalité (0.5 - 0.75 pts)

   • Question type : "Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, $\vec{u}(2,-1,2)$ et $\vec{v}(1,2,-1)$. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?"
   • Gestes attendus :
     1. Calcul de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ | $xx'+yy'+zz'$ (0.25 pts)
     2. Conclusion sur l'orthogonalité (0.25 pts)

2. Calcul du produit vectoriel et aire (0.75 - 1.25 pts)

   • Question type : "Soient $\vec{u}(1,0,1)$ et $\vec{v}(0,1,1)$. Calculer $\vec{u} \wedge \vec{v}$, puis l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$."
   • Gestes attendus :
     1. Calcul des coordonnées de $\vec{u} \wedge \vec{v}$ (0.5 pts)
     2. Calcul de la norme $||\vec{u} \wedge \vec{v}||$ (0.25 pts)
     3. Conclusion sur l'aire (0.25 pts)

3. Vecteur normal et équation de plan (1 - 1.5 pts)

   • Question type : "Soient $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$. Donner un vecteur normal au plan (ABC), puis une équation cartésienne de ce plan."
   • Gestes attendus :
     1. Calcul des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ (0.25 pts)
     2. Calcul de $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ (vecteur normal) (0.5 pts)
     3. Déduction de l'équation du plan (0.25 pts)
     4. Calcul de la constante $d$ en utilisant un point du plan (0.25 pts)

4. Application dans des problèmes de géométrie (sphères, distances) (souvent intégré à des exercices plus longs)

   • Question type : (Voir extrait d'annale 2023 SN, Exercice 1) "Montrer que $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 4(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k})$" ou "En déduire l'aire du triangle ABC et la distance $d(B,(AC))$".
   • Gestes attendus :
     1. Calcul des vecteurs (0.25 pts)
     2. Calcul du produit vectoriel (0.5 pts)
     3. Calcul de la norme pour l'aire ou la distance (0.25 - 0.5 pts)
     4. Interprétation géométrique (0.25 pts)

Ces questions sont des applications directes des formules. La rigueur dans les calculs et la justification de chaque étape sont cruciales pour maximiser les points.