Calculer $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \,dx$.

Une primitive de 1/x sur ]0,+oo[ est ln(x). Donc integral_1^e (1/x) dx = [ln(x)] de 1 a e = ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1. L'intégrale vaut 1.

On considère les deux fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=e^x$ et $v(x)=x$. 1) Tracer dans un même repère orthonormé les courbes $(C_u)$ et $(C_v)$ des fonctions $u$ et $v$. 2) Justifier graphiquement que $e^x-x>0$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. 3) Calculer l'aire de la partie

3) Aire $=\left(e-\dfrac{3}{2}\right)$ unités d'aire (soit $e-1.5$).

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (x+1)e^x$ 1) a) Vérifier que $x \mapsto xe^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ ; puis calculer $I = \int_0^1 h(x)dx$ b) A l'aide d'une intégration par parties calculer $J = \int_0^1 (x + 1)^2 e^x dx$ 2) a) Résoudr

1) a) $I = e$ b) $J = 4e - 6$ 2) a) La solution générale est $y(x) = (C_1x + C_2)e^x$ b) $h(x) = (x+1)e^x$ est la solution de $(E)$ qui vérifie les conditions $h(0)=1$ et $h'(0)=2$.

Calculer l'aire A du domaine délimité par la courbe de $f(x) = x^{2}$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$.

Comme f(x) = x^2 >= 0 sur [0,2], A = integral_0^2 x^2 dx = [x^3/3] de 0 a 2 = 8/3 - 0 = 8/3. L'aire vaut 8/3 (unités d'aire).

Calcul intégral — exercices corrigés

Mathématiques · 2ème Bac Sciences et Technologies Mécaniques · 11 exercices

Le calcul intégral est une pierre angulaire de l'analyse mathématique, permettant de résoudre des problèmes d'aires, de volumes, et bien d'autres. Pour le 2ème Bac STM, ce chapitre est crucial et représente une part significative de l'examen national. Il s'agit de maîtriser les techniques de calcul d'intégrales et leur interprétation géométrique.

L'intuition

Khoya, l'intégrale, c'est comme si tu voulais calculer la superficie dyal chi terrain machi régulier. Machi carré, machi triangle, 7it la fonction kaytghayar. L'intégrale kat3awnek bach t7seb had l'aire b'd9a, b7al ila katssemha l'des petits morceaux sghar bzaf o katjma3houm. C'est l'inverse dyal la dérivée, ila la dérivée kat3tik la pente f chi point, l'intégrale kat3tik l'accumulation dyal had les pentes.

Le cours

Le calcul intégral est l'opération inverse de la dérivation. Il permet de trouver une fonction à partir de sa dérivée, et de calculer des aires sous des courbes.

1. Primitives d'une fonction

Définition: Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$ , $F'(x) = f(x)$ .

Propriété: Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ est donné par $F(x) + C$ , où $C$ est une constante réelle.

Primitives usuelles: Voici un tableau des primitives à connaître par cœur :

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Intervalle
$k$ (constante)	$kx + C$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{Z} \setminus \{-1\}$ )	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$\mathbb{R}$ si $n \ge 0$ , $\mathbb{R}^*$ si $n < 0$
$\frac{1}{x}$	$\ln	x
$e^x$	$e^x + C$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x) + C$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$-\cos(x) + C$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + C$	$\mathbb{R}^{+*}$
$u'(x)u(x)^n$	$\frac{u(x)^{n+1}}{n+1} + C$	Selon $u(x)$
$\frac{u'(x)}{u(x)}$	$\ln	u(x)
$u'(x)e^{u(x)}$	$e^{u(x)} + C$	Selon $u(x)$
$u'(x)\cos(u(x))$	$\sin(u(x)) + C$	Selon $u(x)$
$u'(x)\sin(u(x))$	$-\cos(u(x)) + C$	Selon $u(x)$

Vérifie que tu suis

Quelle est une primitive de $f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ ?

2. L'intégrale définie

Définition: Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ , notée $\int_a^b f(x)dx$ , est le nombre réel $F(b) - F(a)$ . On écrit souvent $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .

Propriétés de l'intégrale:

Linéarité: Pour toutes fonctions $f, g$ $f, g$ continues sur $[a,b]$ $[a, b]$ et tout réel $\lambda$ $λ$ :
- $\int_a^b (f(x) + g(x))dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$
- $\int_a^b \lambda f(x)dx = \lambda \int_a^b f(x)dx$
Relation de Chasles: Pour toute fonction $f$ $f$ continue sur un intervalle contenant $a, b, c$ $a, b, c$ :
- $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$
Inversion des bornes: $\int_a^b f(x)dx = - \int_b^a f(x)dx$
Intégrale nulle: $\int_a^a f(x)dx = 0$
Positivité: Si $f(x) \ge 0$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f(x)dx \ge 0$ .
Comparaison: Si $f(x) \le g(x)$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx$ .

3. Techniques de calcul d'intégrales

a) Intégration par parties (IPP)

Cette méthode est utilisée pour intégrer un produit de deux fonctions.

Théorème: Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a,b]$ et dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a,b]$ . Alors:

$\int_a^b u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)dx$

Ou, de manière équivalente, si on pose $u(x)$ et $v'(x)$ :

$\int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx$

Tape pour voir pourquoi c'est faux — et la bonne version.

b) Changement de variable

Cette technique est utile lorsque l'intégrale est de la forme $\int f(g(x))g'(x)dx$ .

Théorème: Soit $g$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ et $f$ une fonction continue sur l'intervalle $J = g([a,b])$ . Alors:

$\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du$

en posant $u = g(x)$ , d'où $du = g'(x)dx$ .

Vérifie que tu suis

Pour calculer $\int_0^1 (2x+1)e^{x^2+x}dx$ , quel changement de variable est le plus approprié ?

4. Interprétation géométrique de l'intégrale

Aire sous la courbe: Si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a,b]$ ( $f(x) \ge 0$ ), alors $\int_a^b f(x)dx$ représente l'aire de la surface délimitée par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$ . Cette aire est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Aire · sommes de Riemann

n = 6 rectangles · aire ≈ 2.037

Augmente n. Que devient l'aire des rectangles ? L'intégrale est la limite de cette somme.

Aire entre deux courbes: Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a,b]$ et si $f(x) \ge g(x)$ pour tout $x \in [a,b]$ , alors l'aire de la surface délimitée par les courbes de $f$ et $g$ et les droites $x=a$ et $x=b$ est donnée par:

$\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x))dx$

f(x) = x^2— lis f(x) sur la courbe

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale: "On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (x+1)e^x$ .

a) Vérifier que $x \mapsto xe^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ ; puis calculer $I = \int_0^1 h(x)dx$ b) A l'aide d'une intégration par parties calculer $J = \int_0^1 (x + 1)^2 e^x dx$ "

Solution détaillée:

a) Vérifier que $F(x) = xe^x$ est une primitive de $h(x) = (x+1)e^x$ . Pour cela, on dérive $F(x)$ : $F'(x) = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x) = (x+1)e^x$ . On retrouve bien $h(x)$ , donc $F(x) = xe^x$ est une primitive de $h(x)$ .

Calcul de $I = \int_0^1 h(x)dx$ : $I = \int_0^1 (x+1)e^x dx = [xe^x]_0^1$ $I = (1 \cdot e^1) - (0 \cdot e^0) = e - 0 = e$ .

b) Calculer $J = \int_0^1 (x + 1)^2 e^x dx$ à l'aide d'une intégration par parties. On utilise la formule $\int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx$ . Choisissons: $u(x) = (x+1)^2 \implies u'(x) = 2(x+1)$ $v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x$

Alors: $J = [(x+1)^2 e^x]_0^1 - \int_0^1 2(x+1)e^x dx$ $J = ((1+1)^2 e^1) - ((0+1)^2 e^0) - 2 \int_0^1 (x+1)e^x dx$ $J = (2^2 e) - (1^2 \cdot 1) - 2 \cdot I$ $J = 4e - 1 - 2e$ (car on a calculé $I=e$ à la question précédente) $J = 2e - 1$ .

La méthode

Pour réussir les exercices d'intégration, suivez ces étapes rigoureuses:

Identifier le type d'intégrale | Est-ce une primitive usuelle, un produit de fonctions, ou une forme $f(g(x))g'(x)$ ?
Choisir la bonne technique | Si c'est un produit, penser à l'IPP. Si c'est une composition avec la dérivée interne, penser au changement de variable. Sinon, chercher une primitive directe.
Appliquer la formule ou la méthode avec rigueur | Pour l'IPP, bien poser $u, u', v', v$ . Pour le changement de variable, ne pas oublier de changer les bornes.
Calculer et simplifier le résultat | Effectuer les calculs numériques et algébriques avec soin, en vérifiant les signes et les constantes.

Pièges classiques

Un piège classique, khoya, c'est d'oublier de changer les bornes dyal l'intégrale mli kaddir un changement de variable. Katkhdem b $u$ o katkhalli les bornes dyal $x$ . Ghaymchi lik kolchi 7it le résultat ghaykoun ghalat. Faut toujours se rappeler que si tu passes de $dx$ à $du$ , les bornes $a$ et $b$ dyal $x$ kaywliw $g(a)$ et $g(b)$ dyal $u$ .

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur le calcul intégral sont très fréquentes et suivent des formats bien établis.

Reconnaître une primitive et calculer une intégrale simple (par primitivation directe):
- Format: "Vérifier que $F(x)$ est une primitive de $f(x)$ sur $I$ ; puis calculer $\int_a^b f(x)dx$ ."
- Barème typique:
  - Vérification de la primitive (dérivation de $F(x)$ ) : 0.5 pt
  - Calcul de l'intégrale (application de $F(b)-F(a)$ ) : 0.5 pt
- Exemple d'annale: "1)a) Montrer que la fonction $H:x \mapsto x e^x$ est une primitive de la fonction $h:x\mapsto (x+1)e^x$ sur $\mathbb{R}$ 0.5 b) En déduire que $\int_0^1 (x+1)e^x dx = e$ 0.5"
Calculer une intégrale par intégration par parties (IPP):
- Format: "A l'aide d'une intégration par parties calculer $\int_a^b f(x)dx$ ."
- Barème typique:
  - Choix de $u(x), u'(x), v'(x), v(x)$ : 0.5 pt
  - Application correcte de la formule de l'IPP : 0.5 pt
  - Calcul de la nouvelle intégrale et du terme $[uv]_a^b$ : 0.5 pt
  - Résultat final : 0.5 pt
- Exemple d'annale: "1 2) En utilisant une intégration par parties, calculer $\int_0^1 (x^2+2x-1)e^x dx$ " (2 points)
Calculer une intégrale par changement de variable:
- Format: "En utilisant le changement de variable $u = g(x)$ , calculer $\int_a^b f(x)dx$ ."
- Barème typique:
  - Poser le changement de variable $u=g(x)$ et $du=g'(x)dx$ : 0.5 pt
  - Changer les bornes de l'intégrale : 0.5 pt
  - Réécrire l'intégrale en fonction de $u$ : 0.5 pt
  - Calculer la nouvelle intégrale et le résultat final : 0.5 pt
Interprétation géométrique (calcul d'aire):
- Format: "Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ ." ou "Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ et les droites $x=a$ et $x=b$ ."
- Barème typique:
  - Écrire l'intégrale correcte (avec $f(x)$ ou $|f(x)|$ ou $f(x)-g(x)$ ) : 0.5 pt
  - Calculer la primitive : 0.5 pt
  - Appliquer les bornes et donner le résultat en unités d'aire : 0.5 pt
- Exemple d'annale: "3) Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_u)$ , la courbe $(C_v)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ ." (1.5 points)

Il est essentiel de bien justifier chaque étape de votre raisonnement et de présenter des calculs clairs et rigoureux pour maximiser vos points.

Exercice 5·Moyen

a) Montrer que $\int_1^2 \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}(\ln 2)^2$ b) Montrer que la fonction $H:x\mapsto 2\ln x-x$ est une fonction primitive de la fonction $h:x\mapsto \frac{2}{x}-1$ sur l'intervalle $]0,+ \infty[$ c) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $\int_1^2 (1-\frac{2}{x})\ln x dx = (1-\ln 2)^2$ d) Calculer, en $\text{cm}^2$ , l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$ , la droite $(D)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$

Voir la correction

a) Pour montrer que $\int_1^2 \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}(\ln 2)^2$ . On utilise un changement de variable $u = \ln x$ . Alors $du = \frac{1}{x} dx$ . Quand $x=1$ , $u = \ln 1 = 0$ . Quand $x=2$ , $u = \ln 2$ . Donc, $\int_1^2 \frac{\ln x}{x} dx = \int_0^{\ln 2} u du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^{\ln 2} = \frac{(\ln 2)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}(\ln 2)^2$ .

b) Pour montrer que $H(x) = 2\ln x - x$ est une primitive de $h(x) = \frac{2}{x}-1$ . On dérive $H(x)$ par rapport à $x$ : $H'(x) = \frac{d}{dx}(2\ln x - x) = 2 \cdot \frac{1}{x} - 1 = \frac{2}{x} - 1$ . Donc $H'(x) = h(x)$ , ce qui prouve que $H$ est une primitive de $h$ .

c) Pour montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $\int_1^2 (1-\frac{2}{x})\ln x dx = (1-\ln 2)^2$ . On pose $u = \ln x$ et $dv = (1-\frac{2}{x}) dx$ . Alors $du = \frac{1}{x} dx$ . Et $v = \int (1-\frac{2}{x}) dx = x - 2\ln x$ . (On peut prendre $v=H(x)$ de la question b, car $h(x)=1-\frac{2}{x}$ est la fonction à intégrer pour trouver $v$ ). En utilisant la formule d'intégration par parties $\int u dv = uv - \int v du$ : $\int_1^2 (1-\frac{2}{x})\ln x dx = \left[(x-2\ln x)\ln x\right]_1^2 - \int_1^2 (x-2\ln x) \frac{1}{x} dx$ $= \left[(x-2\ln x)\ln x\right]_1^2 - \int_1^2 (1-\frac{2\ln x}{x}) dx$ Calculons la première partie: $\left[(x-2\ln x)\ln x\right]_1^2 = (2-2\ln 2)\ln 2 - (1-2\ln 1)\ln 1$ $= (2-2\ln 2)\ln 2 - (1-0)\cdot 0 = 2\ln 2 - 2(\ln 2)^2$ . Calculons la deuxième partie: $\int_1^2 (1-\frac{2\ln x}{x}) dx = \int_1^2 1 dx - 2\int_1^2 \frac{\ln x}{x} dx$ $= [x]_1^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}(\ln 2)^2$ (en utilisant le résultat de la question a)) $= (2-1) - (\ln 2)^2 = 1 - (\ln 2)^2$ . Maintenant, combinons les deux parties: $\int_1^2 (1-\frac{2}{x})\ln x dx = (2\ln 2 - 2(\ln 2)^2) - (1 - (\ln 2)^2)$ $= 2\ln 2 - 2(\ln 2)^2 - 1 + (\ln 2)^2$ $= -1 + 2\ln 2 - (\ln 2)^2$ $= -(1 - 2\ln 2 + (\ln 2)^2) = -(1 - \ln 2)^2$ .

Il y a une différence de signe avec le résultat attendu $(1-\ln 2)^2$ . Vérifions l'énoncé de la question c) dans le PDF. L'énoncé du PDF est $\int_1^2 (1-\frac{2}{x})\ln x dx = (1-\ln 2)^2$ . Mon calcul donne $-(1-\ln 2)^2$ . Cela signifie que l'intégrale est négative.

La fonction $f(x)-x = (1-\frac{2}{x})\ln x$ . D'après la question II-4)c), $f(x)-x \le 0$ sur $[1,2]$ . Donc l'intégrale doit être négative ou nulle. Le résultat $(1-\ln 2)^2$ est positif. Il y a une incohérence entre la question II-4)c) et le résultat attendu de l'intégrale.

Si l'énoncé de la question c) est correct, alors il faut que $-(1-\ln 2)^2 = (1-\ln 2)^2$ , ce qui n'est vrai que si $1-\ln 2 = 0$ , i.e. $\ln 2 = 1$ , ce qui est faux.

Il est possible que l'énoncé de la question c) dans le PDF soit erroné, ou que l'intégrale soit $\int_1^2 -(1-\frac{2}{x})\ln x dx$ .

En supposant que le résultat attendu est $(1-\ln 2)^2$ , et que mon calcul est correct, alors il y a une erreur dans l'énoncé de la question c).

d) L'aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$ , la droite $(D)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$ est donnée par l'intégrale: $A = \int_1^2 |f(x)-x| dx$ . D'après la question II-4)c), $f(x)-x \le 0$ sur $[1,2]$ . Donc $|f(x)-x| = -(f(x)-x)$ . $A = \int_1^2 -(f(x)-x) dx = \int_1^2 -\left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x dx = -\int_1^2 \left(1 - \frac{2}{x}\right) \ln x dx$ . En utilisant le résultat de la question c) (mon calcul, pas l'énoncé): $A = - (-(1-\ln 2)^2) = (1-\ln 2)^2$ .

Si on utilise le résultat donné dans l'énoncé de la question c), alors $A = -(1-\ln 2)^2$ . Mais une aire ne peut pas être négative. Cela confirme l'erreur dans l'énoncé de la question c).

L'aire est $A = (1-\ln 2)^2 \text{ u.a.}$ . L'unité est 1 cm, donc l'aire en $\text{cm}^2$ est $A = (1-\ln 2)^2 \text{ cm}^2$ . $(1-\ln 2)^2 \approx (1-0.693)^2 \approx (0.307)^2 \approx 0.0942 \text{ cm}^2$ .

a) Use a substitution $u = \ln x$ to evaluate the definite integral.
b) Differentiate $H(x)$ and show that it equals $h(x)$ .
c) Apply integration by parts with $u = \ln x$ and $dv = (1-\frac{2}{x}) dx$ . Carefully evaluate the terms and simplify to the target expression. (Note: There appears to be a sign error in the provided target expression for the integral).
d) Calculate the area as the definite integral of $|f(x)-x|$ over the interval $[1,2]$ . Use the result from part c) and the relative position from II-4)c) to determine the sign of the integrand. Convert to $\text{cm}^2$ using the given unit.

Calcul intégral

Méthode officielle