Continuité et Limites

Ce chapitre est fondamental en analyse et représente une part significative de l'examen national. Il vous équipe pour comprendre le comportement des fonctions, un pilier des mathématiques.

L'intuition

Le cours

I. Continuité d'une fonction numérique

1. Continuité en un point

Définition : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Interprétation graphique : La courbe représentative de $f$ ne présente pas de "saut" ni de "trou" au point d'abscisse $a$.

Continuité à droite et à gauche :

• $f$ est continue à droite en $a$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue à gauche en $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en $a$.

Exemple d'application : Pour étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux en un point de raccordement.

2. Continuité sur un intervalle

Définition :

• $f$ est continue sur un intervalle ouvert $]a,b[$ si elle est continue en tout point de cet intervalle.
• $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.

Propriétés :

• Les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur domaine de définition.
• Les fonctions trigonométriques ($\sin$, $\cos$) sont continues sur $\mathbb{R}$.
• La fonction $\tan$ est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition.
• La fonction racine carrée $\sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.
• La fonction valeur absolue $|x|$ est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction exponentielle $e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction logarithme népérien $\ln x$ est continue sur $]0, +\infty[$.

Opérations sur les fonctions continues : Si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, alors :

• $f+g$, $f-g$, $f \times g$ sont continues sur $I$.
• $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$ pour tout $x \in I$ tel que $g(x) \neq 0$.
• Si $g$ est continue sur $I$ et $f$ est continue sur $g(I)$, alors la fonction composée $f \circ g$ est continue sur $I$.

3. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Théorème (TVI) : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

Interprétation graphique : Si vous tracez la courbe d'une fonction continue d'un point $(a, f(a))$ à un point $(b, f(b))$, vous devez traverser toutes les hauteurs (valeurs) entre $f(a)$ et $f(b)$.

Corollaire du TVI : Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution $c \in [a,b]$. En particulier, si $f(a)f(b) < 0$ (c'est-à-dire $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés), alors l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $c \in ]a,b[$.

Ce corollaire est très souvent utilisé pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution à une équation.

II. Limites d'une fonction numérique

1. Rappels sur les limites usuelles

• $\lim_{x \to \pm \infty} x^n = \pm \infty$ (selon $n$ et le signe de $x$)
• $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
• $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^n} = \pm \infty$ (selon $n$ et le signe de $x$)

Limites trigonométriques :

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

Limites avec l'exponentielle :

• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$

Limites avec le logarithme népérien :

• $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$
• $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
• $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$

2. Croissances comparées

Ces limites sont cruciales pour lever certaines formes indéterminées impliquant l'exponentielle, le logarithme et les puissances.

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$).
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (toute puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme).
• $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

3. Formes indéterminées et techniques de levée

Les formes indéterminées sont $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, et $\infty - \infty$.

Techniques courantes :

• Factorisation par le terme de plus haut degré : Pour les fonctions polynomiales ou rationnelles en $\pm \infty$.
• Multiplication par la quantité conjuguée : Souvent pour les expressions avec des racines carrées.
• Changement de variable : Pour ramener la limite à une limite usuelle.
• Utilisation des limites de croissances comparées.
• Mise au même dénominateur.

Exemple résolu

Extrait d'annale (2021) : Montrer que l’équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[-1,0]$.

Solution détaillée :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2e^{2x} + e^x + 4x$.

1. Vérifier la continuité de $f$ sur l'intervalle $[-1,0]$ : La fonction $x \mapsto e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc $x \mapsto e^{2x}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (composition de fonctions continues). La fonction $x \mapsto 4x$ est une fonction polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$. Par somme de fonctions continues, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, et donc en particulier sur l'intervalle $[-1,0]$.

2. Calculer les valeurs de $f$ aux bornes de l'intervalle :

   • Pour $x = -1$ : $f(-1) = 2e^{2(-1)} + e^{-1} + 4(-1)$ $f(-1) = 2e^{-2} + e^{-1} - 4$ $f(-1) = \frac{2}{e^2} + \frac{1}{e} - 4$ On sait que $e \approx 2.718$, donc $e^2 \approx 7.389$. $f(-1) \approx \frac{2}{7.389} + \frac{1}{2.718} - 4 \approx 0.27 + 0.36 - 4 \approx -3.37$. Donc $f(-1) < 0$.

   • Pour $x = 0$ : $f(0) = 2e^{2(0)} + e^0 + 4(0)$ $f(0) = 2e^0 + 1 + 0$ $f(0) = 2(1) + 1 = 3$. Donc $f(0) > 0$.

3. Appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires : Nous avons :

   • $f$ est continue sur $[-1,0]$.
   • $f(-1) < 0$ et $f(0) > 0$. Puisque $0$ est compris entre $f(-1)$ et $f(0)$, d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins une solution $c \in [-1,0]$ telle que $f(c) = 0$.

L'équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet donc bien une solution dans l'intervalle $[-1,0]$.

La méthode

Pour étudier la continuité en un point et appliquer le TVI :

1. Vérifier la continuité | Justifier la continuité de la fonction sur l'intervalle donné (somme, produit, composition de fonctions usuelles continues).
2. Calculer les valeurs aux bornes | Évaluer la fonction aux extrémités de l'intervalle $[a,b]$, c'est-à-dire $f(a)$ et $f(b)$.
3. Comparer avec la valeur cible | Vérifier si la valeur $k$ (souvent $0$) est comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.
4. Conclure par le TVI | Énoncer clairement la conclusion en citant le TVI. Si l'unicité est demandée, justifier la stricte monotonie de la fonction (en étudiant le signe de la dérivée).

Pour lever une forme indéterminée de limite :

1. Identifier la forme indéterminée | Calculer les limites des numérateur et dénominateur (ou des termes) pour déterminer le type de F.I. ($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$).
2. Choisir la technique adaptée | Appliquer la méthode appropriée (factorisation, conjugué, changement de variable, croissances comparées, etc.).
3. Simplifier l'expression | Effectuer les calculs algébriques nécessaires.
4. Calculer la limite finale | Réévaluer la limite de l'expression simplifiée.

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur la continuité et les limites sont omniprésentes dans la partie "Étude de fonctions numériques" de l'examen. Elles peuvent apparaître sous diverses formes :

1. Étude de la continuité en un point ou sur un intervalle :

• Format : "Montrer que $f$ est continue en $x_0$" ou "Étudier la continuité de $f$ sur $I$".
• Barème typique :
  • Justification de la continuité des fonctions composantes | 0.25 pt
  • Calcul des limites à droite/gauche ou de la limite en $x_0$ | 0.25 pt
  • Comparaison avec $f(x_0)$ et conclusion | 0.25 pt
  • (Total : 0.5 à 0.75 pt)

2. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :

• Format : "Montrer que l'équation $f(x)=k$ admet (une unique) solution dans $[a,b]$".
• Barème typique :
  • Vérification de la continuité de $f$ sur $[a,b]$ | 0.25 pt
  • Calcul de $f(a)$ et $f(b)$ | 0.25 pt
  • Vérification que $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$ | 0.25 pt
  • (Si unicité) Justification de la stricte monotonie de $f$ | 0.25 pt
  • Conclusion par le TVI | 0.25 pt
  • (Total : 0.5 à 1.0 pt)

3. Calcul de limites et levée de formes indéterminées :

• Format : "Calculer $\lim_{x \to x_0} f(x)$" ou "Calculer $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$".
• Barème typique :
  • Identification de la forme indéterminée (implicite ou explicite) | 0.25 pt
  • Application de la méthode de levée (factorisation, conjugué, etc.) | 0.25 pt
  • Calcul correct de la limite | 0.25 pt
  • (Total : 0.5 à 0.75 pt par limite)

4. Interprétation géométrique des limites :

• Format : "Interpréter géométriquement le résultat de $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty$" ou "$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$".
• Barème typique :
  • Énoncé de l'asymptote verticale ($x=x_0$) ou horizontale ($y=L$) | 0.25 pt
  • (Total : 0.25 pt)

Exemples d'annales (extraits) :

• Annales 2021 :

  • "Calculer $\lim_{x \to 0^+} \frac{2x \ln x - 2x}{x}$" (Forme indéterminée $0 \times \infty$ pour $x \ln x$, puis simplification).
  • "Montrer que $f$ est continue à droite au point $0$" (Vérification de $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$).

• Annales 2020 :

  • "Montrer que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$" (Calcul de limites avec exponentielle).
  • "Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x-2$ est une asymptote à la courbe $(C)$ au voisinage de $-\infty$" (Calcul de $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (x-2))$).
  • "Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ telle que $2+\ln3 < \alpha < 2+\ln4$" (Application du corollaire du TVI avec encadrement).