Dénombrement et Probabilités

Ce chapitre est fondamental pour l'examen, avec une pondération de 12% de la note finale. Il exige une compréhension solide des méthodes de comptage et des principes de calcul des probabilités, incluant les variables aléatoires.

L'intuition

Imagine que tu es au marché et que tu dois choisir des fruits pour préparer un panier. La façon dont tu effectues tes choix influence directement le nombre de paniers différents que tu peux composer.

Si tu dois choisir 3 oranges parmi un lot de 10, et que tu les prends toutes en même temps, l'ordre dans lequel tu les saisis n'a aucune importance. Ce qui compte, c'est le groupe de 3 oranges. C'est une situation de combinaison.

Maintenant, si tu dois choisir 3 fruits différents (par exemple, une pomme, une orange, une banane) pour les placer dans un panier avec des compartiments spécifiques (un pour chaque fruit), l'ordre dans lequel tu les choisis et les places dans les compartiments devient important. Mettre la pomme dans le premier compartiment puis l'orange dans le second n'est pas la même chose que l'inverse. C'est une situation d'arrangement.

Enfin, si tu lances trois dés à six faces, chaque dé peut afficher un chiffre de 1 à 6. Le résultat $(1, 1, 1)$ est distinct de $(1, 1, 2)$. Ici, l'ordre compte (le premier dé, le second, le troisième) et les répétitions sont possibles (plusieurs dés peuvent afficher le même chiffre). C'est un tirage successif avec remise.

Le dénombrement est la technique pour compter ces différentes possibilités. Les probabilités, quant à elles, permettent de quantifier la chance qu'un événement spécifique se produise parmi toutes ces possibilités.

Le cours

I. Dénombrement

Le dénombrement est l'ensemble des techniques permettant de compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini, ou le nombre de façons d'organiser ou de choisir des éléments. C'est la pierre angulaire du calcul des probabilités.

A. Principe fondamental du dénombrement

Si une expérience se déroule en $k$ étapes successives, et si la première étape peut être réalisée de $n_1$ manières différentes, la deuxième de $n_2$ manières différentes, ..., et la $k$-ième de $n_k$ manières différentes, alors le nombre total de manières de réaliser l'expérience est le produit $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$.

B. Les différents types de tirages

La méthode de dénombrement à utiliser dépend de deux critères essentiels :

1. L'ordre des éléments est-il important ? (Est-ce que $(A, B)$ est différent de $(B, A)$ ?)
2. Les répétitions sont-elles autorisées ? (Peut-on choisir le même élément plusieurs fois ?)

1. $p$-listes (ou arrangements avec répétition) : Tirage successif avec remise

Lorsque l'on tire $p$ éléments parmi $n$ avec remise, et que l'ordre des éléments tirés est important, on parle de $p$-listes. Le nombre de $p$-listes d'éléments parmi $n$ est donné par $n^p$.

Exemple : Le nombre de codes PIN à 4 chiffres (chaque chiffre de 0 à 9) est $10^4 = 10000$.

2. Arrangements : Tirage successif sans remise (avec ordre)

Un arrangement de $p$ éléments parmi $n$ est un groupement ordonné de $p$ éléments distincts choisis parmi $n$. L'ordre est important et les répétitions ne sont pas permises. Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est noté $A_n^p$.

$A_n^p = n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$

où $n!$ (factorielle $n$) est le produit de tous les entiers de 1 à $n$ ($n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$). Par convention, $0! = 1$.

Exemple : Le nombre de façons de désigner un président, un vice-président et un secrétaire parmi 10 personnes est $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

3. Permutations

Une permutation est un cas particulier d'arrangement où $p=n$. C'est le nombre de façons d'ordonner $n$ éléments distincts. Le nombre de permutations de $n$ éléments est $n!$.

$P_n = A_n^n = n!$

Exemple : Le nombre de façons de disposer 5 personnes sur 5 chaises est $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

4. Combinaisons : Tirage simultané (sans ordre et sans répétition)

Une combinaison de $p$ éléments parmi $n$ est un groupement non ordonné de $p$ éléments distincts choisis parmi $n$. L'ordre n'est pas important et les répétitions ne sont pas permises. Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ est noté $C_n^p$ ou $\binom{n}{p}$.

$C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Propriétés des combinaisons :

• $C_n^p = C_n^{n-p}$
• $C_n^0 = 1$
• $C_n^1 = n$
• $C_n^n = 1$
• Formule de Pascal : $C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p$

Exemple : Le nombre de façons de choisir 3 délégués parmi une classe de 25 élèves est $C_{25}^3 = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 2300$.

II. Probabilités

La probabilité est une mesure numérique de la chance qu'un événement se produise.

A. Vocabulaire des probabilités

• Expérience aléatoire : Une expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles. Exemple : Lancer un dé, tirer une boule d'une urne.
• Univers ($\Omega$) : L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Exemple : Pour un lancer de dé, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Événement : Un sous-ensemble de l'univers. Exemple : "Obtenir un nombre pair" est l'événement $A = \{2, 4, 6\}$.
• Événement élémentaire : Un événement qui ne contient qu'un seul résultat possible. Exemple : "Obtenir 3" est l'événement élémentaire $\{3\}$.
• Événement impossible ($\emptyset$) : L'événement qui ne contient aucun résultat. Sa probabilité est $P(\emptyset) = 0$.
• Événement certain ($\Omega$) : L'événement qui contient tous les résultats. Sa probabilité est $P(\Omega) = 1$.
• Événements incompatibles (ou disjoints) : Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$. Ils ne peuvent pas se produire en même temps. Exemple : "Obtenir un nombre pair" et "Obtenir 1" sont incompatibles.
• Événement contraire ($\bar{A}$) : L'événement qui se réalise si et seulement si $A$ ne se réalise pas. Propriété : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

B. Calcul de probabilités

1. Cas d'équiprobabilité

Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité de se produire, on dit qu'il y a équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d'un événement $A$ est donnée par la formule :

$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à } A}{\text{Nombre total de cas possibles}} = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$

Exemple : Dans une urne contenant 5 boules rouges et 3 boules bleues, indiscernables au toucher, la probabilité de tirer une boule rouge est $P(\text{Rouge}) = \frac{5}{8}$.

2. Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est la probabilité que l'événement $A$ se réalise, sachant que l'événement $B$ est déjà réalisé. Elle est notée $P(A|B)$ ou $P_B(A)$.

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{avec } P(B) \neq 0$

De cette formule, on déduit la formule des probabilités composées :

$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$

Si $A$ et $B$ sont deux événements, alors $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$ si $P(A) \neq 0$.

3. Indépendance d'événements

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Cela se traduit par l'une des conditions équivalentes suivantes :

• $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
• $P(A|B) = P(A)$ (si $P(B) \neq 0$)
• $P(B|A) = P(B)$ (si $P(A) \neq 0$)

Attention : Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles. Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps ($P(A \cap B) = 0$), alors que des événements indépendants peuvent se produire en même temps.

C. Probabilités totales

Si les événements $B_1, B_2, \dots, B_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$ (c'est-à-dire qu'ils sont deux à deux incompatibles et que leur union est $\Omega$), alors pour tout événement $A$, la probabilité de $A$ est donnée par la formule des probabilités totales :

$P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \dots + P(A \cap B_n)$

En utilisant la formule des probabilités composées, on peut écrire :

$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \dots + P(B_n)P(A|B_n)$

III. Variables aléatoires

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire.

A. Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète

Soit $X$ une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_k$. La loi de probabilité de $X$ est la donnée de toutes les valeurs $x_i$ et de leurs probabilités respectives $P(X=x_i)$. Ces probabilités doivent vérifier deux conditions :

1. $0 \le P(X=x_i) \le 1$ pour tout $i$.
2. $\sum_{i=1}^{k} P(X=x_i) = 1$.

B. Espérance mathématique

L'espérance mathématique $E(X)$ d'une variable aléatoire discrète $X$ est la valeur moyenne que l'on peut s'attendre à obtenir si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.

$E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i P(X=x_i)$

C. Variance et écart-type

La variance $V(X)$ mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance.

$V(X) = \sum_{i=1}^{k} (x_i - E(X))^2 P(X=x_i)$

Une formule plus simple pour le calcul est :

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 P(X=x_i) - (E(X))^2$

L'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance. Il est exprimé dans la même unité que $X$.

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Exemple résolu

Reprenons un exercice d'annale :

Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. On considère les événements suivants :

• $A$ : « Obtenir trois boules vertes. »
• $B$ : « Obtenir trois boules de même couleur. »
• $C$ : « Obtenir au moins deux boules de même couleur. »

1) Montrer que $P(A) = \frac{1}{120}$ et $P(B) = \frac{7}{40}$. 2) Calculer $P(C)$.

1) Montrer que $P(A) = \frac{1}{120}$ et $P(B) = \frac{7}{40}$.

• Déterminer le nombre total de tirages possibles (Card($\Omega$)) : Puisque le tirage est simultané, l'ordre ne compte pas et il n'y a pas de remise. On utilise les combinaisons. L'urne contient $3$ vertes + $6$ rouges + $1$ noire = $10$ boules au total. On tire $3$ boules parmi $10$. $\text{Card}(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

• Calculer $P(A)$ : L'événement $A$ est « Obtenir trois boules vertes. ». Il y a $3$ boules vertes dans l'urne. Pour obtenir $3$ boules vertes, on doit choisir $3$ boules parmi les $3$ vertes. $\text{Card}(A) = C_3^3 = 1$

  $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{1}{120}$

• Calculer $P(B)$ : L'événement $B$ est « Obtenir trois boules de même couleur. ». Cela signifie obtenir $3$ boules vertes OU $3$ boules rouges OU $3$ boules noires. Les événements "obtenir 3 vertes", "obtenir 3 rouges", "obtenir 3 noires" sont incompatibles.

  • Nombre de façons d'obtenir $3$ boules vertes : $C_3^3 = 1$.
  • Nombre de façons d'obtenir $3$ boules rouges : $C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
  • Nombre de façons d'obtenir $3$ boules noires : $C_1^3 = 0$ (on ne peut pas tirer 3 boules noires s'il n'y en a qu'une). $\text{Card}(B) = C_3^3 + C_6^3 + C_1^3 = 1 + 20 + 0 = 21$

  $P(B) = \frac{\text{Card}(B)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{21}{120}$

  Pour simplifier la fraction : $21 = 3 \times 7$ et $120 = 3 \times 40$. $P(B) = \frac{7}{40}$

2) Calculer $P(C)$.

L'événement $C$ est « Obtenir au moins deux boules de même couleur. ». C'est un événement plus complexe à calculer directement. Il est souvent plus simple de passer par l'événement contraire. L'événement contraire de $C$, noté $\bar{C}$, est « N'obtenir aucune boule de même couleur. ». Cela signifie que les trois boules tirées sont de couleurs différentes. Pour obtenir trois boules de couleurs différentes, on doit tirer une verte, une rouge et une noire.

• Nombre de façons de choisir $1$ boule verte parmi $3$ : $C_3^1 = 3$.

• Nombre de façons de choisir $1$ boule rouge parmi $6$ : $C_6^1 = 6$.

• Nombre de façons de choisir $1$ boule noire parmi $1$ : $C_1^1 = 1$. $\text{Card}(\bar{C}) = C_3^1 \times C_6^1 \times C_1^1 = 3 \times 6 \times 1 = 18$

  $P(\bar{C}) = \frac{\text{Card}(\bar{C})}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{18}{120}$

  Pour simplifier la fraction : $18 = 6 \times 3$ et $120 = 6 \times 20$. $P(\bar{C}) = \frac{3}{20}$

  Enfin, on calcule $P(C)$ : $P(C) = 1 - P(\bar{C}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{20}{20} - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$

## La méthode

Pour résoudre un problème de dénombrement ou de probabilités, suis ces étapes :

```steps
Identifier le type de tirage | Est-ce un tirage simultané, successif sans remise, ou successif avec remise ? L'ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles possibles ? Cela détermine si tu utilises des combinaisons, des arrangements, ou des $p$-listes.
Calculer le nombre total de cas possibles ($\text{Card}(\Omega)$) | C'est le dénominateur de tes probabilités. Applique la formule de dénombrement appropriée à l'ensemble de tous les résultats possibles.
Définir clairement les événements | Écris ce que représente chaque événement (A, B, C...).
Calculer le nombre de cas favorables à chaque événement ($\text{Card}(A)$, $\text{Card}(B)$, ...) | Applique les formules de dénombrement aux sous-ensembles qui constituent tes événements. N'oublie pas le principe fondamental du dénombrement si un événement se décompose en plusieurs choix.
Calculer les probabilités | Utilise la formule $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$ pour chaque événement. Simplifie les fractions si possible.
Utiliser les propriétés des probabilités | Si nécessaire, utilise les formules de probabilité conditionnelle, d'indépendance, ou la formule des probabilités totales. Pense à l'événement contraire si le calcul direct est trop complexe.
Vérifier la cohérence | Les probabilités doivent toujours être entre 0 et 1. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires doit être 1.

Pièges classiques

• Confusion entre arrangement et combinaison : L'erreur la plus fréquente est d'utiliser une combinaison quand l'ordre compte, ou un arrangement quand il ne compte pas.
  • Contre-exemple : Choisir 2 personnes parmi 5 pour former un comité (ordre ne compte pas : $C_5^2 = 10$) vs. choisir 2 personnes parmi 5 pour un président et un vice-président (ordre compte : $A_5^2 = 20$).
• Oublier le "sans remise" ou "avec remise" : Cela change radicalement la formule à utiliser ($n^p$ vs $A_n^p$ vs $C_n^p$).
  • Contre-exemple : Tirer 2 boules d'une urne avec remise (peut tirer la même boule deux fois, ordre compte souvent implicitement) vs. sans remise.
• Erreur dans le calcul de $\text{Card}(\Omega)$ : Si le nombre total de cas possibles est faux, toutes les probabilités seront fausses.
• Ne pas utiliser l'événement contraire : Pour des événements comme "au moins un", "au moins deux", il est souvent plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire.
  • Contre-exemple : Calculer $P(\text{au moins une boule rouge})$ est plus facile via $1 - P(\text{aucune boule rouge})$.
• Confondre indépendance et incompatibilité : Des événements incompatibles ne peuvent pas être indépendants (sauf si l'un a une probabilité nulle).
  • Contre-exemple : "Obtenir un 1" et "Obtenir un 2" au lancer de dé sont incompatibles. Ils ne peuvent pas être indépendants car si l'un se produit, l'autre ne peut pas.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions de dénombrement et probabilités à l'examen suivent un format assez standardisé, souvent autour d'exercices avec des urnes contenant des boules de différentes couleurs ou numérotées.

Formats de questions réels :

1. Calcul de probabilités simples :

   • "Montrer que $P(A) = \frac{1}{15}$." (Extrait d'annale)
   • Ces questions testent ta capacité à identifier le bon outil de dénombrement (combinaisons, arrangements) et à l'appliquer correctement.
   • Barème typique : 0.5 à 0.75 point par probabilité à calculer. Une erreur dans $\text{Card}(\Omega)$ peut entraîner une pénalité partielle mais si la méthode est juste, des points sont attribués.

2. Probabilités d'événements composés :

   • "Calculer $P(C)$ où $C$ est « Obtenir au moins deux boules de même couleur. »" (Extrait d'annale)
   • Ces questions nécessitent souvent l'utilisation de la formule des probabilités totales ou le passage par l'événement contraire.
   • Barème typique : 0.75 à 1 point. La justification de la méthode (par exemple, pourquoi utiliser l'événement contraire) est importante.

3. Indépendance d'événements :

   • "Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier." (Extrait d'annale)
   • Il faut appliquer la définition $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ et comparer les valeurs.
   • Barème typique : 0.5 point.

4. Variables aléatoires :

   • "Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules rouges restantes dans l'urne après le tirage des deux boules. Montrer que l'ensemble des valeurs prises par $X$ est $\{2, 3, 4\}$." (Extrait d'annale)
   • "Recopier et compléter le tableau ci-dessous, représentant la loi de probabilités de $X$." (Extrait d'annale)
   • "Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$." (Extrait d'annale)
   • Ces questions évaluent ta capacité à définir les valeurs possibles d'une variable aléatoire, à établir sa loi de probabilité et à calculer son espérance (et parfois sa variance/écart-type).
   • Barème typique : 0.25 à 0.75 point par sous-question (définition des valeurs, calcul d'une probabilité, calcul de l'espérance). La somme des probabilités de la loi doit faire 1.

Conseils pour l'examen :

• Lis attentivement l'énoncé : Chaque mot compte, surtout "simultanément", "successivement avec/sans remise", "indiscernables au toucher".
• Justifie chaque étape : Explique pourquoi tu utilises une combinaison plutôt qu'un arrangement, ou pourquoi tu passes par l'événement contraire.
• Sois rigoureux dans les calculs : Les erreurs d'arithmétique sont coûteuses.
• Simplifie les fractions : C'est souvent demandé ou implicitement attendu.
• Vérifie tes résultats : Une probabilité ne peut pas être négative ou supérieure à 1. L'espérance doit avoir un sens par rapport aux valeurs prises par la variable.