Nombres complexes

Les nombres complexes étendent l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ pour résoudre des équations comme $x^2 + 1 = 0$, qui n'ont pas de solutions dans $\mathbb{R}$. Ils sont essentiels en mathématiques, physique et ingénierie.

L'intuition

Khoya, imagine que kayn chi wa7ed gal lik "achmen 3adad ila darro au carré kay3ti $-1$?" F $\mathbb{R}$, ma kaynch. 7it ay 3adad au carré ghaykoun positif. Donc, les maths galo "yallah nkhaylo chi 3adad jdid, nsemmiwh 'i', li $i^2 = -1$". Men hna, bda kolchi. Had 'i' machi chi 7aja men l'espace, rah b7al chi dimension jdida f les nombres dyawlna. B7al ila kenti katmchi ghir f khat mustaqim (l'axe réel), daba wlliti katmchi f wa7ed lplan (le plan complexe).

Le cours

I. L'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$

1. Définition et forme algébrique

Un nombre complexe $z$ est un nombre qui s'écrit sous la forme $z = x + iy$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels, et $i$ est un nombre imaginaire tel que $i^2 = -1$.

• $x$ est appelé la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
• $y$ est appelé la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.

L'ensemble de tous les nombres complexes est noté $\mathbb{C}$. Si $\text{Re}(z)=0$, $z=iy$ est un nombre imaginaire pur. Si $\text{Im}(z)=0$, $z=x$ est un nombre réel.

2. Égalité de deux nombres complexes

Deux nombres complexes $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales : $z = z' \iff (x = x' \text{ et } y = y')$

3. Opérations sur les nombres complexes

Soient $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ deux nombres complexes.

• Addition : $z + z' = (x + x') + i(y + y')$
• Soustraction : $z - z' = (x - x') + i(y - y')$
• Multiplication : $z \cdot z' = (x + iy)(x' + iy') = xx' + ixy' + iyx' + i^2yy' = (xx' - yy') + i(xy' + yx')$
• Division : Pour $z' \neq 0$, $\frac{z}{z'} = \frac{x + iy}{x' + iy'} = \frac{(x + iy)(x' - iy')}{(x' + iy')(x' - iy')} = \frac{(xx' + yy') + i(yx' - xy')}{(x')^2 + (y')^2}$

4. Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué d'un nombre complexe $z = x + iy$ est le nombre complexe $\bar{z} = x - iy$.

Propriétés du conjugué :

• $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$
• $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$
• $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ (pour $z' \neq 0$)
• $z + \bar{z} = 2 \text{Re}(z)$
• $z - \bar{z} = 2i \text{Im}(z)$
• $z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2 = |z|^2$
• $z$ est réel $\iff z = \bar{z}$
• $z$ est imaginaire pur $\iff z = -\bar{z}$

II. Module et argument d'un nombre complexe

1. Représentation géométrique (Affixe)

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, tout nombre complexe $z = x + iy$ peut être associé :

• Au point $M(x, y)$, appelé image de $z$.
• Au vecteur $\vec{OM}$ de coordonnées $(x, y)$. L'affixe du point $M$ est $z_M = x + iy$. L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_B - z_A$.

2. Module d'un nombre complexe

Le module d'un nombre complexe $z = x + iy$ est la distance $OM$, notée $|z|$. $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$.

Propriétés du module :

• $|z| \ge 0$
• $|z| = 0 \iff z = 0$
• $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$
• $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$ (pour $z' \neq 0$)
• $|z^n| = |z|^n$ (pour $n \in \mathbb{N}$)
• $|z + z'| \le |z| + |z'|$ (inégalité triangulaire)
• $|-z| = |\bar{z}| = |z|$

3. Argument d'un nombre complexe

Pour tout nombre complexe $z \neq 0$, l'argument de $z$, noté $\arg(z)$, est la mesure de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{OM})$ en radians. Il est défini à $2k\pi$ près ($k \in \mathbb{Z}$). Si $z = x + iy$ et $|z| = r$, alors $x = r \cos \theta$ et $y = r \sin \theta$, où $\theta = \arg(z)$. On a $\cos \theta = \frac{x}{r}$ et $\sin \theta = \frac{y}{r}$.

Propriétés de l'argument :

• $\arg(z \cdot z') = \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$
• $\arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi}$
• $\arg(z^n) = n \arg(z) \pmod{2\pi}$ (pour $n \in \mathbb{N}$)
• $\arg(\bar{z}) = -\arg(z) \pmod{2\pi}$
• $\arg(-z) = \arg(z) + \pi \pmod{2\pi}$

4. Forme trigonométrique et exponentielle

Tout nombre complexe $z = x + iy$ non nul peut s'écrire sous :

• Forme trigonométrique : $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, où $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.
• Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$, où $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ (formule d'Euler).

Formule de Moivre : Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$, $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$. En forme exponentielle : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.

III. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Considérons l'équation $az^2 + bz + c = 0$, où $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$. Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Si $\Delta > 0$, les solutions sont réelles : $z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$, il y a une unique solution réelle : $z = \frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$, il y a deux solutions complexes conjuguées : $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

IV. Applications géométriques

1. Affixe d'un point et d'un vecteur

• L'affixe du point $A$ est $z_A$.
• L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_B - z_A$.
• La distance $AB = |z_B - z_A|$.

2. Alignement de points et orthogonalité de vecteurs

• Les points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.
• Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont orthogonaux si et seulement si $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}$ est un imaginaire pur.

3. Angle entre deux vecteurs

Une mesure de l'angle $(\vec{AB}, \vec{CD})$ est $\arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \pmod{2\pi}$.

4. Transformations dans le plan complexe

• Translation de vecteur $\vec{w}$ d'affixe $z_w$ : $z' = z + z_w$.
• Homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et de rapport $k$ : $z' - \omega = k(z - \omega)$.
• Rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\theta$ : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.

Exemple résolu

Extrait d'annale :

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2 - 6z + 13 = 0$.
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a = 1 + 3i$, $b = 3 - 2i$ et $c = -1 - 2i$. a) Écrire $\frac{a-c}{b-c}$ sous forme trigonométrique. b) En déduire la nature du triangle $ABC$.

Solution :

1. Résolution de l'équation $z^2 - 6z + 13 = 0$ : Il s'agit d'une équation du second degré de la forme $az^2 + bz + c = 0$ avec $a=1$, $b=-6$, $c=13$. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(13) = 36 - 52 = -16$. Puisque $\Delta < 0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $z_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) \pm i\sqrt{-(-16)}}{2(1)} = \frac{6 \pm i\sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4i}{2}$. Donc, les solutions sont $z_1 = \frac{6 - 4i}{2} = 3 - 2i$ et $z_2 = \frac{6 + 4i}{2} = 3 + 2i$. L'ensemble des solutions est $S = \{3 - 2i, 3 + 2i\}$.

2. Analyse géométrique : a) Écrire $\frac{a-c}{b-c}$ sous forme trigonométrique : On calcule d'abord les numérateur et dénominateur : $a - c = (1 + 3i) - (-1 - 2i) = 1 + 3i + 1 + 2i = 2 + 5i$. $b - c = (3 - 2i) - (-1 - 2i) = 3 - 2i + 1 + 2i = 4$. Maintenant, on calcule le rapport : $\frac{a-c}{b-c} = \frac{2 + 5i}{4} = \frac{2}{4} + \frac{5}{4}i = \frac{1}{2} + \frac{5}{4}i$. Pour la forme trigonométrique, on calcule le module $r$ et l'argument $\theta$. $r = \left|\frac{1}{2} + \frac{5}{4}i\right| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{25}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16} + \frac{25}{16}} = \sqrt{\frac{29}{16}} = \frac{\sqrt{29}}{4}$. Pour l'argument $\theta$, on a $\cos \theta = \frac{1/2}{\sqrt{29}/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{29}} = \frac{2}{\sqrt{29}}$ et $\sin \theta = \frac{5/4}{\sqrt{29}/4} = \frac{5}{\sqrt{29}}$. Donc, $\frac{a-c}{b-c} = \frac{\sqrt{29}}{4}\left(\frac{2}{\sqrt{29}} + i\frac{5}{\sqrt{29}}\right)$. L'argument $\theta$ est tel que $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{29}}$ et $\sin \theta = \frac{5}{\sqrt{29}}$. On peut écrire $\theta = \arctan\left(\frac{5/4}{1/2}\right) = \arctan\left(\frac{5}{2}\right)$. La forme trigonométrique est $\frac{\sqrt{29}}{4}(\cos \theta + i \sin \theta)$ avec $\theta = \arctan\left(\frac{5}{2}\right)$.

   b) En déduire la nature du triangle $ABC$ : Le rapport $\frac{a-c}{b-c}$ représente $\frac{z_A - z_C}{z_B - z_C}$. Son module est $\left|\frac{a-c}{b-c}\right| = \frac{CA}{CB} = \frac{\sqrt{29}}{4}$. Son argument est $\arg\left(\frac{a-c}{b-c}\right) = (\vec{CB}, \vec{CA}) = \theta \pmod{2\pi}$. Puisque $\left|\frac{a-c}{b-c}\right| = \frac{\sqrt{29}}{4} \neq 1$, le triangle $ABC$ n'est pas isocèle en $C$. Puisque $\arg\left(\frac{a-c}{b-c}\right) = \theta \neq \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$ (car $\cos \theta \neq 0$ et $\sin \theta \neq 0$), le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $C$. Le triangle $ABC$ est un triangle quelconque.

La méthode

1. Calculer le discriminant $\Delta$ | $\Delta = b^2 - 4ac$
2. Déterminer les solutions de l'équation | $z_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ si $\Delta < 0$
3. Calculer le rapport des affixes | $\frac{z_A - z_C}{z_B - z_C}$ sous forme algébrique
4. Convertir le rapport en forme trigonométrique | Calculer le module et l'argument pour déduire la nature du triangle

Pièges classiques

Khoya, kayn wa7ed l'erreur li kaydiroha bzaf. Kay7esbo $\tan \theta = \frac{y}{x}$ o safi, kaydiro $\theta = \arctan(\frac{y}{x})$. Machi dima hadchi s7i7! 7it $\arctan$ kat3tik ghir des angles bin $-\frac{\pi}{2}$ o $\frac{\pi}{2}$. Ila kan $x$ négatif, khasak tzid $\pi$ (ou tnaqess $\pi$) bach tkon f l'argument s7i7. Dima chouf fin kayn le point dyalk f le plan complexe.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur les nombres complexes à l'examen national se concentrent généralement sur ces points :

• Résolution d'équations du second degré dans $\mathbb{C}$ : C'est presque systématique. Il faut maîtriser le calcul du discriminant et l'application des formules, surtout quand $\Delta < 0$. Barème typique : Calcul de $\Delta$ (0.5 pt), application des formules (1 pt), solutions (0.5 pt).
• Passage entre les formes algébrique, trigonométrique et exponentielle : Savoir convertir un nombre complexe d'une forme à l'autre est crucial. Cela inclut le calcul du module et de l'argument. Barème typique : Calcul du module (0.5 pt), calcul de l'argument (0.5 pt), écriture sous la forme demandée (0.5 pt).
• Calculs avec les nombres complexes (produits, quotients, puissances) : Souvent, ces calculs sont facilités par l'utilisation de la forme exponentielle ou trigonométrique, surtout pour les puissances (formule de Moivre). Barème typique : Calcul du numérateur/dénominateur (0.5 pt), simplification (0.5 pt), résultat final (0.5 pt).
• Interprétation géométrique : Utiliser les affixes pour déterminer la nature de triangles (rectangle, isocèle, équilatéral), l'alignement de points, ou l'orthogonalité de vecteurs. Les rotations et homothéties sont aussi des applications fréquentes. Barème typique : Calcul du rapport des affixes (0.5 pt), module et argument du rapport (1 pt), déduction de la nature géométrique (0.5 pt).
• Transformations dans le plan complexe : Appliquer les formules des translations, rotations et homothéties pour trouver l'image d'un point ou la nature d'une transformation. Barème typique : Écriture de la formule de transformation (0.5 pt), application et calcul de l'affixe de l'image (1 pt).

Ces compétences sont souvent testées dans des exercices combinant plusieurs de ces aspects, comme dans l'exemple résolu. La rigueur dans la rédaction et la justification de chaque étape sont très importantes pour obtenir tous les points.