Fonctions exponentielles

Le chapitre sur les fonctions exponentielles est fondamental. Il représente une part importante de l'analyse, qui elle-même pèse lourd à l'examen. Maîtriser ce chapitre te permettra de gagner des points facilement, car les questions sont souvent directes et répétitives.

L'intuition

Imagine que tu as une population de bactéries qui double toutes les heures. Si tu commences avec une bactérie, après 1 heure tu en as 2, après 2 heures tu en as 4, après 3 heures tu en as 8, et ainsi de suite. La croissance est de plus en plus rapide. C'est ça, une croissance exponentielle.

Maintenant, imagine l'inverse : tu as une substance radioactive qui perd la moitié de sa masse toutes les heures. Si tu as 1 kg, après 1 heure tu as 0.5 kg, après 2 heures tu as 0.25 kg. La décroissance est de plus en plus lente. C'est une décroissance exponentielle.

La fonction exponentielle $e^x$ modélise ces phénomènes. C'est une fonction qui est toujours positive, et qui croît ou décroît très rapidement. Elle est la "réciproque" de la fonction logarithme népérien $\ln(x)$, que tu as déjà étudiée.

Le cours

Définition et propriétés fondamentales

La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien $\ln(x)$. Elle est définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $]0, +\infty[$.

Cela signifie que pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $y > 0$:

$y = e^x \iff x = \ln(y)$

De cette définition découlent des propriétés essentielles :

1. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$.
2. $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2.718$.
3. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.
4. Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$.

Ces quatre points sont la base de tout ce que tu feras avec $e^x$.

Propriétés algébriques

Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle sont similaires à celles des puissances : Pour tous réels $x$ et $y$ :

1. $e^{x+y} = e^x \times e^y$
2. $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
3. $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
4. $(e^x)^n = e^{nx}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ (et même pour $n \in \mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$).

Étude de la fonction $x \mapsto e^x$

Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Si $x < y$, alors $e^x < e^y$. Si $e^x = e^y$, alors $x = y$.

Limites aux bornes

• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

Dérivée

La fonction exponentielle est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(e^x)' = e^x$. Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

Primitives

Une primitive de $e^x$ est $e^x + C$, où $C$ est une constante réelle. Une primitive de $u'(x)e^{u(x)}$ est $e^{u(x)} + C$.

Courbe représentative

La courbe de $y=e^x$ passe par les points $(0,1)$ et $(1,e)$. L'axe des abscisses ($y=0$) est une asymptote horizontale quand $x \to -\infty$.

Croissances comparées

Ces limites sont cruciales pour calculer des limites de fonctions plus complexes, surtout celles qui combinent $e^x$ avec des polynômes ou des puissances de $x$.

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ en $+\infty$).
2. $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ en $-\infty$).
3. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$. (C'est la définition de la dérivée de $e^x$ en $0$).

Exemple résolu

Voici un exercice tiré d'une annale, traité pas à pas.

Exercice 1 (extrait d'annale): Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2 - xe^{-x}$, et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1 cm).

1. Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et interpréter le résultat géométriquement.
2. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
3. a) Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ et interpréter le résultat géométriquement. b) Montrer que $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2) = 0$ et interpréter le résultat.

Solution :

1. 1

   1. Calcul de $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

   On a $f(x) = 2 - xe^{-x}$.

2. 2

   Interprétation géométrique

3. 3

   2. Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

4. 4

   Interprétation géométrique

5. 5

   3. a) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$

6. 6

   Interprétation géométrique

7. 7

   3. b) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2)$

8. 8

   Interprétation géométrique

Étape suivante

La méthode

Pour réussir les exercices sur les fonctions exponentielles, suis ces étapes :

1. Simplification des expressions : Avant tout calcul, utilise les propriétés algébriques de $e^x$ pour simplifier l'expression si possible.

   • $e^{x+y} = e^x e^y$
   • $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
   • $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
   • $(e^x)^n = e^{nx}$

2. Calcul des limites :

   • Identifie les formes indéterminées ($\frac{\infty}{\infty}$, $\infty \times 0$, $\infty - \infty$, $\frac{0}{0}$).
   • Utilise les croissances comparées : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$.
   • N'oublie pas la limite remarquable : $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$.
   • Pour les limites en $-\infty$, un changement de variable $t = -x$ peut être utile pour se ramener à $+\infty$.

3. Calcul des dérivées :

   • Applique la formule $(e^x)' = e^x$.
   • Pour les fonctions composées, utilise $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.
   • N'oublie pas les règles de dérivation des produits, quotients et sommes.

4. Résolution d'équations et d'inéquations :

   • Utilise la propriété $e^A = e^B \iff A = B$.
   • Utilise la propriété $e^A < e^B \iff A < B$ (car $e^x$ est strictement croissante).
   • Pour des équations du type $e^{2x} + ae^x + b = 0$, pose $X = e^x$. L'équation devient $X^2 + aX + b = 0$. Résous pour $X$, puis reviens à $x = \ln(X)$. Attention, $X$ doit être positif.

5. Étude de fonction :

   • Détermine le domaine de définition.
   • Calcule les limites aux bornes.
   • Calcule la dérivée et étudie son signe pour trouver le sens de variation.
   • Construis le tableau de variations.
   • Cherche les asymptotes (horizontales, verticales, obliques) et les branches paraboliques.
   • Calcule les points d'intersection avec les axes.
   • Trace la courbe.

Pièges classiques

1. Oublier que $e^x$ est toujours positif : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Cela signifie qu'une équation comme $e^x = -1$ n'a pas de solution.

   Vérifie que tu suis

   Résous l'équation $e^x = -2$.

   Pas de solution$x = \ln(-2)$$x = -2e$

2. Confondre $e^{-x}$ et $-e^x$ : $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$, ce n'est pas $-e^x$.

   Vérifie que tu suis

   Quelle est l'expression correcte de $e^{-x}$?

   $\frac{1}{e^x}$$-e^x$$e^x$

3. Erreurs dans les croissances comparées : Il faut bien distinguer les limites en $+\infty$ et en $-\infty$.

   • En $+\infty$, $e^x$ l'emporte sur $x^n$.
   • En $-\infty$, $e^x$ l'emporte sur $x^n$ (en fait, $x^n e^x \to 0$).

4. Dérivation des fonctions composées : Ne pas oublier le $u'(x)$ dans $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$. C'est une erreur fréquente qui coûte des points.

   • Contre-exemple : Si $f(x) = e^{x^2}$, alors $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$. La dérivée est $f'(x) = 2xe^{x^2}$. Une erreur serait de dire $f'(x) = e^{x^2}$.

5. Domaine de définition du $\ln$ lors de la résolution d'équations : Si tu poses $X = e^x$, et que tu obtiens des solutions pour $X$, assure-toi qu'elles sont positives avant d'appliquer le $\ln$.

   • Contre-exemple : Si $e^{2x} - e^x - 2 = 0$. On pose $X = e^x$, ce qui donne $X^2 - X - 2 = 0$. Les solutions sont $X = -1$ ou $X = 2$. Comme $e^x$ doit être positif, $X = -1$ est à rejeter. On garde $X = 2$, donc $e^x = 2$, ce qui donne $x = \ln(2)$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des fonctions exponentielles est presque systématiquement évalué dans la partie "Analyse" de l'examen national, qui représente environ 55% de la note totale. Les questions sont souvent intégrées dans l'étude complète d'une fonction.

Voici les types de questions que tu rencontreras, avec leur pondération typique :

1. Calcul de limites (0.5 à 1 point par limite) :

   • Limites aux bornes du domaine de définition.
   • Utilisation des croissances comparées.
   • Identification des asymptotes (horizontales, verticales, obliques) et branches paraboliques.
   • Exemple d'annale : Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et interpréter le résultat géométriquement.

2. Calcul de dérivées et étude du sens de variation (0.75 à 1.5 points) :

   • Dériver une fonction contenant $e^x$ (souvent $e^{u(x)}$).
   • Étudier le signe de la dérivée pour en déduire les intervalles de croissance/décroissance.
   • Dresser le tableau de variations.
   • Exemple d'annale : Montrer que $g'(x) = -xe^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

3. Résolution d'équations et d'inéquations exponentielles (0.5 à 1 point) :

   • Équations du type $e^A = e^B$ ou $e^{2x} + ae^x + b = 0$.
   • Inéquations du type $e^A < e^B$.
   • Exemple d'annale : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} + 1 = 3$.

4. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) (0.5 à 0.75 point) :

   • Montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une solution unique dans un intervalle donné, en utilisant la continuité, la stricte monotonie et les limites aux bornes de l'intervalle.
   • Exemple d'annale : Montrer que l'équation $2e^x + e^{-x} + 4x = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[-1, 0]$.

5. Étude complète d'une fonction (partie majeure du problème, 4 à 8 points) :

   • C'est la synthèse de toutes les compétences précédentes. Tu devras appliquer toutes les méthodes vues pour analyser une fonction $f(x)$ qui contient $e^x$.
   • Exemple d'annale : Soit $f(x) = (2-x)e^x - x$. Étudier ses variations, ses limites, ses asymptotes, puis tracer sa courbe.

6. Fonction réciproque (0.5 à 1 point) :

   • Montrer qu'une fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ sur un intervalle $J$.
   • Calculer $(f^{-1})'(y_0)$.
   • Tracer la courbe de $f^{-1}$.

7. Suites numériques (0.5 à 1.5 points) :

   • Étudier la convergence d'une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est une fonction exponentielle.
   • Souvent, cela implique de montrer que la suite est monotone et bornée, puis de trouver sa limite en résolvant $f(L) = L$.

La rédaction doit être rigoureuse et chaque étape justifiée. Entraîne-toi régulièrement avec les annales pour maîtriser ces types de questions et gagner en rapidité.