Fonctions logarithmes

L'intuition

Imagine que tu as une machine à calculer très spéciale. Cette machine, on l'appelle "exponentielle" ($e^x$). Quand tu lui donnes un nombre $x$, elle te sort un résultat $y$. Par exemple, si tu lui donnes 0, elle te sort 1 ($e^0=1$). Si tu lui donnes 1, elle te sort environ 2,718 ($e^1 \approx 2,718$).

Maintenant, imagine que tu veux faire l'inverse : tu as le résultat $y$ et tu veux savoir quel nombre $x$ tu as mis dans la machine. C'est là qu'intervient la fonction logarithme népérien, notée $\ln(y)$. C'est en quelque sorte la "machine inverse" de l'exponentielle.

Par exemple, si tu as le résultat 1, et que tu veux savoir quel $x$ a donné 1 avec la machine exponentielle, tu utilises $\ln(1)$. La réponse est 0, car $e^0=1$. Si tu as le résultat $e$, et que tu veux savoir quel $x$ a donné $e$, tu utilises $\ln(e)$. La réponse est 1, car $e^1=e$.

En gros, $\ln(y)$ te donne l'exposant $x$ tel que $e^x = y$. C'est une façon de "décoder" les puissances de $e$.

Le cours

I. Définition et propriétés fondamentales

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $x \mapsto e^x$. Elle est définie sur $]0; +\infty[$.

Définition 1: Pour tout réel $x > 0$, $\ln(x)$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y = x$.

Conséquences directes:

• Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$.
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.
• $\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$.
• $\ln(e) = 1$ car $e^1 = e$.

II. Propriétés algébriques du logarithme népérien

Ces propriétés sont cruciales pour simplifier les expressions et résoudre les équations/inéquations.

Propriété 1 (Produit): Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.

Démonstration:

1. 1

   Soient $x = \ln(a)$ et $y = \ln(b)$.

   Alors $a = e^x$ et $b = e^y$.

2. 2

   Multiplie $a$ et $b$.

3. 3

   Applique $\ln$ aux deux membres.

4. 4

   Utilise la propriété $\ln(e^Z) = Z$.

5. 5

   Remplace $x$ et $y$ par leurs expressions.

Étape suivante

Propriété 2 (Quotient): Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$.

Démonstration:

1. 1

   Écris le quotient comme un produit.

   $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a \cdot b^{-1})$.

2. 2

   Applique la propriété du produit.

3. 3

   Utilise la propriété de puissance pour $b^{-1}$.

4. 4

   Simplifie.

Étape suivante

Propriété 3 (Puissance): Pour tout réel $a > 0$ et tout entier relatif $n$, $\ln(a^n) = n \ln(a)$.

Démonstration (pour $n \in \mathbb{N}$):

1. 1

   Cas $n=0$.

   $\ln(a^0) = \ln(1) = 0$. Et $0 \cdot \ln(a) = 0$. La propriété est vraie.

2. 2

   Cas $n=1$.

3. 3

   Hypothèse de récurrence.

4. 4

   Prouve pour $k+1$.

5. 5

   Applique la propriété du produit.

6. 6

   Utilise l'hypothèse de récurrence.

7. 7

   Factorise.

Étape suivante

Pour $n < 0$, on utilise $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$ et la propriété du quotient. Pour les puissances rationnelles $a^{p/q}$, la propriété s'étend à $\ln(a^{p/q}) = \frac{p}{q} \ln(a)$.

Propriété 4 (Racine carrée): Pour tout réel $a > 0$, $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)$.

Démonstration:

1. 1

   Écris la racine carrée comme une puissance.

   $\ln(\sqrt{a}) = \ln(a^{1/2})$.

2. 2

   Applique la propriété de puissance.

Étape suivante

III. Étude de la fonction $\ln(x)$

1. Domaine de définition: $D_{\ln} = ]0; +\infty[$.

2. Limites aux bornes du domaine:

• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$.
• $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.

3. Dérivée: La fonction $\ln(x)$ est dérivable sur $]0; +\infty[$. Pour tout $x > 0$, $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

Démonstration:

1. 1

   Part de la relation fondamentale.

   Pour $x > 0$, on a $e^{\ln(x)} = x$.

2. 2

   Dérive les deux membres par rapport à $x$.

3. 3

   Applique la règle de dérivation en chaîne à $e^{\ln(x)}$.

4. 4

   Remplace $e^{\ln(x)}$ par $x$.

5. 5

   Isole $\ln'(x)$.

Étape suivante

4. Sens de variation: Puisque pour tout $x > 0$, $\frac{1}{x} > 0$, la fonction $\ln(x)$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.

5. Tableau de variations:

6. Convexité: La dérivée seconde est $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$. Puisque $-\frac{1}{x^2} < 0$ pour tout $x > 0$, la fonction $\ln(x)$ est concave sur $]0; +\infty[$.

IV. Limites remarquables

Ces limites sont essentielles pour le calcul des limites de fonctions composées ou produits.

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$. (Croissance comparée : $x$ l'emporte sur $\ln(x)$)
• $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$.
• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$.
• $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$.

V. Résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques

La clé est de toujours définir le domaine de validité des expressions avant de résoudre.

1. Équations de type $\ln(f(x)) = k$ ou $\ln(f(x)) = \ln(g(x))$

Méthode:

1. Conditions d'existence: Déterminer le domaine de définition de l'équation. Toutes les expressions sous $\ln$ doivent être strictement positives.
   • Pour $\ln(f(x)) = k$, il faut $f(x) > 0$.
   • Pour $\ln(f(x)) = \ln(g(x))$, il faut $f(x) > 0$ ET $g(x) > 0$.
2. Résolution:
   • Si $\ln(f(x)) = k$, alors $f(x) = e^k$.
   • Si $\ln(f(x)) = \ln(g(x))$, alors $f(x) = g(x)$.
3. Vérification: Les solutions obtenues doivent appartenir au domaine de définition établi à l'étape 1.

2. Inéquations de type $\ln(f(x)) < k$ ou $\ln(f(x)) < \ln(g(x))$

Méthode:

1. Conditions d'existence: Identique aux équations.
2. Résolution:
   • Si $\ln(f(x)) < k$, alors $f(x) < e^k$.
   • Si $\ln(f(x)) < \ln(g(x))$, alors $f(x) < g(x)$. Attention: La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc l'ordre est conservé.
3. Intersection: Les solutions obtenues doivent être intersectées avec le domaine de définition.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : Résolvez dans $]0; +\infty[$ l'équation : $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$.

1. 1

   1. Détermine le domaine de validité.

   Pour que $\ln(x^2+5)$, $\ln(x+2)$ et $\ln(2x)$ soient définis, il faut :

2. 2

   $x^2+5 > 0$ (toujours vrai car $x^2 \ge 0$)

3. 3

   $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$

4. 4

   $2x > 0 \Rightarrow x > 0$

5. 5

   L'intersection de ces conditions est $x > 0$. Donc le domaine de validité est $]0; +\infty[$.

6. 6

   2. Simplifie le membre de droite.

7. 7

   $\ln(x+2) + \ln(2x) = \ln((x+2)(2x)) = \ln(2x^2 + 4x)$.

8. 8

   3. Réécris l'équation.

9. 9

   4. Élimine les logarithmes.

10. 10

    $x^2 + 5 = 2x^2 + 4x$.

11. 11

    5. Résous l'équation polynomiale.

12. 12

    Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$.

13. 13

    Les solutions sont $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-4 \pm 6}{2}$.

14. 14

    $x_1 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

15. 15

    $x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

16. 16

    6. Vérifie les solutions par rapport au domaine de validité.

17. 17

    $x_1 = -5$ n'appartient pas à $]0; +\infty[$. Donc $-5$ n'est pas une solution.

18. 18

    $x_2 = 1$ appartient à $]0; +\infty[$. Donc $1$ est une solution.

19. 19

    7. Conclus.

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend lorsque tu manipules des fonctions logarithmes.

1. Calcul de limites avec $\ln$:

   • Geste 1: Identifie la forme indéterminée (FI).
   • Geste 2: Utilise les limites remarquables ou les croissances comparées.
   • Geste 3: Si nécessaire, effectue un changement de variable ($X = \ln x$ ou $X = x-1$) pour te ramener à une limite remarquable.
   • Geste 4: Justifie chaque étape en citant la limite remarquable ou la règle de croissance comparée utilisée.

2. Calcul de dérivées avec $\ln$:

   • Geste 1: Vérifie le domaine de dérivabilité (l'argument du $\ln$ doit être strictement positif).
   • Geste 2: Applique la formule $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
   • Geste 3: Simplifie l'expression obtenue.

3. Résolution d'équations/inéquations avec $\ln$:

   • Geste 1: Détermine toujours le domaine de validité (conditions d'existence) en posant que tous les arguments des $\ln$ sont strictement positifs.
   • Geste 2: Utilise les propriétés algébriques de $\ln$ pour regrouper les termes et obtenir une forme $\ln(A) = \ln(B)$ ou $\ln(A) < \ln(B)$.
   • Geste 3: Passe à l'exponentielle ($A=B$ ou $A<B$) en conservant l'ordre pour les inéquations (car $e^x$ est croissante).
   • Geste 4: Résous l'équation ou l'inéquation résultante.
   • Geste 5: Intersecte l'ensemble des solutions avec le domaine de validité trouvé à l'étape 1. C'est crucial.

4. Étude de fonction avec $\ln$:

   • Geste 1: Détermine le domaine de définition.
   • Geste 2: Calcule les limites aux bornes du domaine.
   • Geste 3: Calcule la dérivée et étudie son signe pour trouver le sens de variation.
   • Geste 4: Dresse le tableau de variations.
   • Geste 5: Recherche les asymptotes (verticales, horizontales, obliques) et les branches paraboliques.

Pièges classiques

Voici les erreurs fréquentes qui coûtent des points à l'examen.

1. Oublier les conditions d'existence: C'est le piège numéro 1.

   • Erreur: Résoudre $\ln(x-1) = \ln(2x-3)$ sans poser $x-1 > 0$ et $2x-3 > 0$.
   • Correct: Le domaine de validité est $x > 3/2$. Si tu trouves $x=1$, ce n'est pas une solution.

2. Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$:

   • Erreur: $\ln(x^2+x) = \ln(x^2) + \ln(x)$. C'est faux.
   • Correct: $\ln(x^2+x) = \ln(x(x+1)) = \ln(x) + \ln(x+1)$ (pour $x>0$).

3. Appliquer les propriétés de $\ln$ à des arguments négatifs:

   • Erreur: $\ln((-2)^2) = 2\ln(-2)$. C'est faux car $\ln(-2)$ n'existe pas.
   • Correct: $\ln((-2)^2) = \ln(4) = 2\ln(2)$. La propriété $\ln(a^n) = n\ln(a)$ n'est valable que si $a>0$. Si $a$ peut être négatif, il faut écrire $\ln(a^n) = n\ln(|a|)$ si $n$ est pair.

4. Erreur de signe lors de la dérivation:

   • Erreur: $(\ln(1-x))' = \frac{1}{1-x}$.
   • Correct: $(\ln(1-x))' = \frac{(1-x)'}{1-x} = \frac{-1}{1-x}$.

5. Mauvaise application des croissances comparées:

   • Erreur: $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{\ln(x)} = 0$.
   • Correct: $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{\ln(x)} = +\infty$ car $e^x$ l'emporte sur $\ln(x)$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur les fonctions logarithmes est un pilier de l'analyse et est systématiquement évalué. Il représente environ 10% de la note finale en analyse, soit une part significative.

Formats de questions réels et barème (basé sur les annales):

• Résolution d'équations et inéquations logarithmiques (1.5 - 2 points):

  • Tu auras des équations comme $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$ ou des inéquations comme $\ln x + \ln(x + 1) > \ln(x^2 + 1)$.
  • Attendus:
    • Définition du domaine de validité (0.5 point).
    • Application correcte des propriétés algébriques (0.5 point).
    • Résolution de l'équation/inéquation résultante (0.5 point).
    • Vérification des solutions par rapport au domaine (0.25 - 0.5 point).
  • Conseil: La rigueur sur le domaine de définition est la clé.

• Calcul de limites (0.5 - 1 point par limite):

  • Souvent des limites aux bornes du domaine de définition d'une fonction ou des limites faisant intervenir des formes indéterminées.
  • Attendus:
    • Identification de la forme indéterminée (si applicable).
    • Utilisation correcte des limites remarquables ou croissances comparées.
    • Justification des étapes.
  • Conseil: Maîtrise les limites remarquables par cœur et sache les adapter avec des changements de variable.

• Calcul de dérivées (0.5 - 1 point):

  • La dérivée d'une fonction composée avec $\ln$ est très fréquente.
  • Attendus:
    • Application de la formule $(\ln(u))' = u'/u$.
    • Simplification de l'expression.
  • Conseil: Fais attention aux signes et aux règles de dérivation en chaîne.

• Étude de fonction complète (6 - 8 points, souvent dans le "Problème"):

  • C'est là que toutes les compétences sont testées. Tu auras une fonction $f(x)$ qui contient $\ln(x)$ ou $\ln(u(x))$.
  • Attendus:
    • Domaine de définition.
    • Limites aux bornes (avec interprétation graphique des asymptotes).
    • Calcul de la dérivée et étude de son signe.
    • Tableau de variations.
    • Branches infinies (asymptotes obliques, branches paraboliques).
    • Points d'intersection avec les axes.
    • Tracé de la courbe.
    • Parfois, étude d'une fonction auxiliaire $g(x)$ pour déterminer le signe de $f'(x)$.
  • Conseil: Entraîne-toi sur des problèmes complets d'annales. Chaque étape est barémée, donc même si tu bloques sur une partie, continue sur les suivantes.

• Questions sur les propriétés algébriques (0.5 - 1 point):

  • Simplification d'expressions, écriture sous une forme donnée.
  • Attendus: Application directe des propriétés $\ln(ab)$, $\ln(a/b)$, $\ln(a^n)$.
  • Conseil: Sois précis et ne confonds pas les propriétés.

En résumé, le logarithme népérien est un outil fondamental. La maîtrise des propriétés algébriques, des limites et de la dérivation est indispensable pour réussir cette partie de l'examen.