Équations différentielles

L'intuition

Imagine que tu conduis une voiture. La vitesse à laquelle tu roules n'est pas constante, elle change en fonction de l'accélération que tu donnes. L'accélération, c'est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. Si tu as une formule qui relie la vitesse à son accélération, tu as une équation différentielle.

En maths, une équation différentielle, c'est une équation où l'inconnue n'est pas un nombre, mais une fonction. Et cette équation fait intervenir cette fonction et ses dérivées. C'est un outil super puissant pour décrire des phénomènes où les choses changent : la croissance d'une population, la désintégration radioactive, le mouvement d'un pendule, ou même la vitesse de ta voiture.

Dans ce chapitre, on va se concentrer sur des types d'équations différentielles bien spécifiques, celles qui sont "linéaires" et d'ordre 1 ou 2. Ça veut dire que la fonction et ses dérivées apparaissent de manière simple, sans puissances ni produits entre elles.

Le cours

I. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme $y' = ay + b$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, et $y$ est une fonction de $x$ (souvent notée $y(x)$) dont on cherche l'expression. $y'$ désigne la dérivée de $y$ par rapport à $x$.

A. Cas $y' = ay$

C'est le cas le plus simple, où $b=0$.

Théorème : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions de la forme $y(x) = Ce^{ax}$, où $C$ est une constante réelle quelconque.

Démonstration :

1. Vérification : Soit $y(x) = Ce^{ax}$. Alors $y'(x) = C(ae^{ax}) = a(Ce^{ax}) = ay(x)$. Donc $y(x) = Ce^{ax}$ est bien une solution.

2. Unicité (pour admettre que ce sont TOUTES les solutions) : Soit $y$ une solution de $y' = ay$. On considère la fonction $z(x) = y(x)e^{-ax}$. Calculons sa dérivée $z'(x)$ : $z'(x) = y'(x)e^{-ax} + y(x)(-ae^{-ax})$ $z'(x) = (ay(x))e^{-ax} - ay(x)e^{-ax}$ (car $y' = ay$) $z'(x) = 0$ Puisque $z'(x) = 0$, la fonction $z(x)$ est une constante. Notons cette constante $C$. Donc $y(x)e^{-ax} = C$, ce qui implique $y(x) = Ce^{ax}$.

B. Cas $y' = ay + b$

Théorème : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ sont les fonctions de la forme $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle quelconque (si $a \neq 0$).

Démonstration :

1. Recherche d'une solution particulière : On cherche une solution particulière constante $y_p(x) = k$. Alors $y_p'(x) = 0$. En substituant dans l'équation : $0 = ak + b$. Donc $k = -\frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$). Une solution particulière est $y_p(x) = -\frac{b}{a}$.

2. Solution générale : Soit $y_g(x)$ une solution générale de $y' = ay + b$. On a $y_g'(x) = ay_g(x) + b$. On sait que $y_p'(x) = ay_p(x) + b$. Soustrayons les deux équations : $y_g'(x) - y_p'(x) = (ay_g(x) + b) - (ay_p(x) + b)$ $(y_g - y_p)'(x) = a(y_g - y_p)(x)$ Posons $z(x) = y_g(x) - y_p(x)$. L'équation devient $z'(x) = az(x)$. D'après le cas précédent, $z(x) = Ce^{ax}$. Donc $y_g(x) - y_p(x) = Ce^{ax}$. $y_g(x) = y_p(x) + Ce^{ax} = -\frac{b}{a} + Ce^{ax}$.

Cas particulier : Si $a=0$, l'équation devient $y' = b$. Les solutions sont $y(x) = bx + C$.

II. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est de la forme $ay'' + by' + cy = 0$, où $a, b, c$ sont des constantes réelles ($a \neq 0$), et $y$ est une fonction de $x$ dont on cherche l'expression. $y''$ et $y'$ désignent les dérivées seconde et première de $y$.

A. Équation caractéristique

Pour résoudre $ay'' + by' + cy = 0$, on associe une équation polynomiale appelée équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$.

Les solutions de l'équation différentielle dépendent des racines de cette équation caractéristique. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

B. Solutions selon le discriminant

Théorème :

1. Si $\Delta > 0$ : L'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$. La solution générale de l'équation différentielle est $y(x) = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x}$, où $A, B \in \mathbb{R}$.

2. Si $\Delta = 0$ : L'équation caractéristique a une racine réelle double $r_0 = -\frac{b}{2a}$. La solution générale de l'équation différentielle est $y(x) = (Ax + B)e^{r_0x}$, où $A, B \in \mathbb{R}$.

3. Si $\Delta < 0$ : L'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$, où $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$. La solution générale de l'équation différentielle est $y(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x))$, où $A, B \in \mathbb{R}$.

Exemple résolu

Résoudre l'équation différentielle $y'' - 5y' + 6y = 0$, puis déterminer la solution vérifiant $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$.

1. 1

   1. Écrire l'équation caractéristique.

   L'équation caractéristique est $r^2 - 5r + 6 = 0$.

2. 2

   2. Calculer le discriminant $\Delta$.

3. 3

   3. Trouver les racines de l'équation caractéristique.

4. 4

   4. Écrire la solution générale de l'équation différentielle.

5. 5

   5. Utiliser les conditions initiales pour trouver $A$ et $B$.

6. 6

   D'abord, calculons $y'(x)$: $y'(x) = 2Ae^{2x} + 3Be^{3x}$.

7. 7

   Pour $y(0) = 1$: $A e^{2(0)} + B e^{3(0)} = 1 \implies A + B = 1$. (Équation 1)

8. 8

   Pour $y'(0) = 2$: $2A e^{2(0)} + 3B e^{3(0)} = 2 \implies 2A + 3B = 2$. (Équation 2)

9. 9

   On a un système de deux équations à deux inconnues :

10. 10

    $\begin{cases} A + B = 1 \\ 2A + 3B = 2 \end{cases}$

11. 11

    De la première équation, $A = 1 - B$. Substituons dans la deuxième :

12. 12

    $2(1 - B) + 3B = 2$

13. 13

    $2 - 2B + 3B = 2$

14. 14

    $2 + B = 2 \implies B = 0$.

15. 15

    Ensuite, $A = 1 - 0 = 1$.

16. 16

    6. Écrire la solution particulière.

Étape suivante

La méthode

Voici les étapes clés pour résoudre les équations différentielles que tu rencontreras :

Pour $y' = ay + b$ :

1. Identifier $a$ et $b$.
2. Si $a=0$ : L'équation est $y' = b$. La solution est $y(x) = bx + C$.
3. Si $a \neq 0$ : La solution générale est $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
4. Si une condition initiale $y(x_0) = y_0$ est donnée :
   • Substitue $x_0$ et $y_0$ dans la solution générale pour trouver la valeur de $C$.
   • Écris la solution particulière avec la valeur de $C$ trouvée.

Pour $ay'' + by' + cy = 0$ :

1. Écrire l'équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$.
2. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
3. Déterminer les racines de l'équation caractéristique :
   • Si $\Delta > 0$ : $r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
   • Si $\Delta = 0$ : $r_0 = -\frac{b}{2a}$.
   • Si $\Delta < 0$ : $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$, avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
4. Écrire la solution générale de l'équation différentielle :
   • Si $\Delta > 0$ : $y(x) = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x}$.
   • Si $\Delta = 0$ : $y(x) = (Ax + B)e^{r_0x}$.
   • Si $\Delta < 0$ : $y(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x))$.
5. Si des conditions initiales $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$ sont données :
   • Calcule $y'(x)$ à partir de la solution générale.
   • Substitue $x_0, y_0$ et $y'_0$ dans les expressions de $y(x)$ et $y'(x)$ pour former un système de deux équations à deux inconnues ($A$ et $B$).
   • Résous le système pour trouver $A$ et $B$.
   • Écris la solution particulière avec les valeurs de $A$ et $B$ trouvées.

Pièges classiques

• Oublier la constante $C$ (ou $A, B$) : La solution générale doit toujours inclure ces constantes d'intégration. Si tu les oublies, ta solution est incomplète.
• Erreur de signe dans la formule des racines : Surtout avec le $-b$ ou le $\sqrt{-\Delta}$ pour les racines complexes. Un signe mal placé et toute la solution est fausse.
• Confusion entre les cas de $\Delta$ : Chaque cas ($\Delta > 0$, $\Delta = 0$, $\Delta < 0$) a une forme de solution générale différente. Bien les mémoriser est crucial.
• Erreur de calcul de la dérivée pour les conditions initiales : Quand tu as $y(x) = (Ax+B)e^{r_0x}$ ou $y(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x))$, dériver $y(x)$ pour trouver $y'(x)$ demande de la rigueur (règle du produit, dérivées de $\cos$ et $\sin$).
• Ne pas simplifier $-\frac{b}{a}$ : Dans $y' = ay+b$, la solution particulière est $-\frac{b}{a}$. Assure-toi de bien calculer cette valeur.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des équations différentielles représente environ 8% de la note finale de l'examen national. Les questions sont généralement directes et suivent les méthodes vues en cours.

Formats de questions réels :

• Résoudre une équation différentielle du premier ordre :
  • "Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$." (Annales)
  • "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'=3y$." (Annales)
  • "Déterminer la solution de l'équation différentielle $y' = -y + 1$ vérifiant $y(0) = 0$."
• Résoudre une équation différentielle du second ordre :
  • "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y''-5y'+6y=0$." (Annales)
  • "Déterminer la solution de l'équation différentielle $y'' + 2y' + y = 0$ vérifiant $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$."
  • "Résoudre l'équation différentielle $y'' + y = 0$."

Barème typique :

Pour une question de résolution complète avec conditions initiales (par exemple, second ordre) :

• 0.5 point : Écriture de l'équation caractéristique.
• 0.5 point : Calcul du discriminant et identification des racines.
• 0.5 point : Écriture de la solution générale (avec $A, B$ ou $C$).
• 0.5 point : Calcul de la dérivée de la solution générale (si nécessaire pour les conditions initiales).
• 0.5 point : Mise en place du système d'équations pour les conditions initiales.
• 0.5 point : Résolution du système et détermination des constantes.
• 0.5 point : Écriture de la solution particulière finale.

La rigueur de la rédaction est très importante. Chaque étape doit être justifiée clairement.