Dérivabilité (Rolle, TAF)

L'intuition

Imagine que tu es un randonneur et que tu suis un sentier en montagne.

Si tu pars d'un campement A et que tu arrives à un campement B qui est à la même altitude que A, alors, sans même le savoir, tu as forcément traversé un point où le sentier était parfaitement plat (pente nulle). C'est l'idée du Théorème de Rolle : si tu commences et finis à la même hauteur, il y a forcément un "sommet" ou un "creux" où la pente est nulle.

Maintenant, si tu pars d'un campement A et que tu arrives à un campement B à une altitude différente, il y a forcément un moment où la pente de ton sentier est exactement la même que la pente moyenne entre A et B. C'est l'idée du Théorème des Accroissements Finis (TAF) : la pente instantanée à un certain point est égale à la pente moyenne sur l'intervalle.

Ces théorèmes sont importants car ils te permettent de prouver l'existence de certaines propriétés (comme une pente nulle ou une pente spécifique) sans avoir à trouver le point exact où cela se produit. C'est une question d'existence.

Le cours

Dérivabilité en un point

La dérivabilité est une propriété fondamentale des fonctions. Elle te permet de comprendre comment une fonction varie localement.

Définition 1 : Nombre dérivé Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0 \in I$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite suivante existe et est finie :

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

Cette limite, si elle existe, est appelée le nombre dérivé de $f$ en $x_0$, et est notée $f'(x_0)$.

Interprétation graphique : Le nombre dérivé $f'(x_0)$ représente le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$.

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $(x_0, f(x_0))$ est donnée par :

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

La courbe ci-dessus est $f(x) = x^2 - 4x + 1$. Si tu calcules le nombre dérivé en $x=2$, tu trouveras $f'(2) = 0$. La tangente en $x=2$ est donc horizontale.

Définition 2 : Dérivabilité à droite et à gauche Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0 \in I$.

1. On dit que $f$ est dérivable à droite en $x_0$ si la limite suivante existe et est finie : $\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

   Cette limite est notée $f'_d(x_0)$ et est appelée le nombre dérivé à droite de $f$ en $x_0$. Graphiquement, $f'_d(x_0)$ est le coefficient directeur de la demi-tangente à droite au point $(x_0, f(x_0))$.

2. On dit que $f$ est dérivable à gauche en $x_0$ si la limite suivante existe et est finie : $\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

   Cette limite est notée $f'_g(x_0)$ et est appelée le nombre dérivé à gauche de $f$ en $x_0$. Graphiquement, $f'_g(x_0)$ est le coefficient directeur de la demi-tangente à gauche au point $(x_0, f(x_0))$.

Propriété : Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$, et $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$.

Si $f'_d(x_0) \ne f'_g(x_0)$, la courbe de $f$ admet un point anguleux en $x_0$. Si l'une des limites est infinie, la courbe admet une demi-tangente verticale en $x_0$.

Théorème de Rolle

Le Théorème de Rolle est un cas particulier du Théorème des Accroissements Finis.

Théorème 1 : Théorème de Rolle Soit $f$ une fonction vérifiant les trois conditions suivantes :

1. $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$.
2. $f$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]a, b[$.
3. $f(a) = f(b)$.

Alors, il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.

Démonstration (idée) : Puisque $f$ est continue sur $[a, b]$, elle atteint son maximum $M$ et son minimum $m$ sur cet intervalle.

• Si $M = m$, alors $f$ est constante sur $[a, b]$, et donc $f'(x) = 0$ pour tout $x \in ]a, b[$.
• Si $M > m$ :
  • Si le maximum $M$ est atteint en un point $c \in ]a, b[$, alors $f(c)$ est un extremum local. Puisque $f$ est dérivable en $c$, on a $f'(c) = 0$.
  • Si le minimum $m$ est atteint en un point $c \in ]a, b[$, alors $f(c)$ est un extremum local. Puisque $f$ est dérivable en $c$, on a $f'(c) = 0$. Dans tous les cas, il existe un $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.

Théorème des Accroissements Finis (TAF)

Le TAF est un outil puissant pour encadrer des fonctions ou prouver des inégalités.

Théorème 2 : Théorème des Accroissements Finis (TAF) Soit $f$ une fonction vérifiant les deux conditions suivantes :

1. $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$.
2. $f$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]a, b[$.

Alors, il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que :

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Démonstration (idée) : On introduit une fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - kx$. On cherche $k$ tel que $g(a) = g(b)$. $f(a) - ka = f(b) - kb \implies k(b - a) = f(b) - f(a) \implies k = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Maintenant, la fonction $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} x$ satisfait les conditions du Théorème de Rolle sur $[a, b]$ :

1. $g$ est continue sur $[a, b]$ (car $f$ l'est et $x \mapsto \frac{f(b) - f(a)}{b - a} x$ est continue).
2. $g$ est dérivable sur $]a, b[$ (car $f$ l'est et $x \mapsto \frac{f(b) - f(a)}{b - a} x$ est dérivable).
3. $g(a) = g(b)$ par construction. Donc, d'après le Théorème de Rolle, il existe $c \in ]a, b[$ tel que $g'(c) = 0$. Or, $g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Donc, $f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$, ce qui implique $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

Corollaire : Inégalité des Accroissements Finis Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, et s'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $x \in ]a, b[$, $m \le f'(x) \le M$, alors :

$m(b - a) \le f(b) - f(a) \le M(b - a)$

Plus généralement, si $|f'(x)| \le K$ pour tout $x \in ]a, b[$, alors :

$|f(b) - f(a)| \le K|b - a|$

Fonctions usuelles et leurs dérivées

Il est essentiel de connaître les dérivées des fonctions usuelles pour appliquer les théorèmes.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale :

Première partie : 1. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $t \mapsto e^t$, montrer que pour tout réel strictement positif $x$, il existe un réel $c$ compris entre $0$ et $x$ tel que :

$e^c = \frac{e^x - 1}{x}$

2. En déduire que pour tout $x > 0$ : a) $1 - x < e^{-x}$. b) $x + 1 < e^x$. c) $\frac{xe^x}{e^x - 1} > x$.

Résolution :

1. 1

   1. Appliquer le TAF à $f(t) = e^t$ sur $[0, x]$ pour $x > 0$.

2. 2

   1. On pose $f(t) = e^t$.

3. 3

   2. Vérifier les conditions du TAF :

4. 4

   • $f$ est continue sur $[0, x]$ (car la fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$).

5. 5

   • $f$ est dérivable sur $]0, x[$ (car la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(t) = e^t$).

6. 6

   3. Appliquer le TAF : Il existe un réel $c \in ]0, x[$ tel que :

7. 7

   $f'(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$

8. 8

   $e^c = \frac{e^x - e^0}{x}$

9. 9

   $e^c = \frac{e^x - 1}{x}$

10. 10

    Ceci démontre la première partie de la question.

11. 11

    2. En déduire que pour tout $x > 0$ :

12. 12

    a) $1 - x < e^{-x}$

13. 13

    1. On sait que $c \in ]0, x[$. Donc $0 < c < x$.

14. 14

    2. La fonction exponentielle $t \mapsto e^t$ est strictement croissante.

15. 15

    Donc $e^0 < e^c < e^x$.

16. 16

    On a $1 < e^c < e^x$.

17. 17

    3. D'après la question 1, $e^c = \frac{e^x - 1}{x}$.

18. 18

    Donc $1 < \frac{e^x - 1}{x}$.

19. 19

    4. Puisque $x > 0$, on peut multiplier par $x$ sans changer le sens de l'inégalité :

20. 20

    $x < e^x - 1$.

21. 21

    $1 + x < e^x$. (Cette inégalité est souvent demandée directement)

22. 22

    5. Pour obtenir $1 - x < e^{-x}$, on peut partir de $1 + x < e^x$.

23. 23

    On divise par $e^x$ (qui est positif) :

24. 24

    $\frac{1 + x}{e^x} < 1$.

25. 25

    $(1 + x)e^{-x} < 1$.

26. 26

    $e^{-x} + xe^{-x} < 1$.

27. 27

    On cherche $1 - x < e^{-x}$.

28. 28

    Considérons la fonction $g(t) = e^t - (1+t)$. On a $g'(t) = e^t - 1$.

29. 29

    Pour $t > 0$, $g'(t) > 0$, donc $g$ est croissante sur $[0, +\infty[$.

30. 30

    $g(t) > g(0) = e^0 - (1+0) = 1 - 1 = 0$.

31. 31

    Donc $e^t > 1+t$ pour $t > 0$.

32. 32

    En remplaçant $t$ par $-x$ (pour $x > 0$, $-x < 0$), cette inégalité ne s'applique pas directement.

33. 33

    Reprenons l'inégalité $1 + x < e^x$ pour $x > 0$.

34. 34

    On veut $1 - x < e^{-x}$.

35. 35

    Considérons la fonction $h(t) = e^{-t} - (1-t)$ pour $t > 0$.

36. 36

    $h'(t) = -e^{-t} - (-1) = 1 - e^{-t}$.

37. 37

    Pour $t > 0$, $e^{-t} < 1$, donc $1 - e^{-t} > 0$.

38. 38

    Donc $h'(t) > 0$ pour $t > 0$.

39. 39

    $h$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$.

40. 40

    $h(t) > h(0) = e^0 - (1-0) = 1 - 1 = 0$.

41. 41

    Donc $e^{-t} - (1-t) > 0$ pour $t > 0$.

42. 42

    $e^{-t} > 1-t$ pour $t > 0$.

43. 43

    En remplaçant $t$ par $x$, on obtient $e^{-x} > 1-x$.

44. 44

    Ceci démontre $1 - x < e^{-x}$.

45. 45

    b) $x + 1 < e^x$

46. 46

    1. Cette inégalité a été déduite à l'étape 4 de la question 2a.

47. 47

    On a $1 < e^c$.

48. 48

    Puisque $e^c = \frac{e^x - 1}{x}$, on a $1 < \frac{e^x - 1}{x}$.

49. 49

    2. Pour $x > 0$, on multiplie par $x$ :

50. 50

    $x < e^x - 1$.

51. 51

    $x + 1 < e^x$.

52. 52

    c) $\frac{xe^x}{e^x - 1} > x$

53. 53

    1. On sait que $e^c = \frac{e^x - 1}{x}$ et $0 < c < x$.

54. 54

    2. On a $e^c < e^x$ (car $c < x$ et la fonction exponentielle est strictement croissante).

55. 55

    3. Donc $\frac{e^x - 1}{x} < e^x$.

56. 56

    4. Puisque $x > 0$, on multiplie par $x$ :

57. 57

    $e^x - 1 < xe^x$.

58. 58

    5. On veut montrer $\frac{xe^x}{e^x - 1} > x$.

59. 59

    Puisque $e^x - 1 > 0$ pour $x > 0$, on peut diviser par $e^x - 1$ :

60. 60

    $1 < \frac{xe^x}{e^x - 1}$.

61. 61

    Donc $\frac{xe^x}{e^x - 1} > 1$.

62. 62

    L'inégalité demandée est $\frac{xe^x}{e^x - 1} > x$.

63. 63

    On a $e^x - 1 < xe^x$.

64. 64

    Si on divise par $e^x - 1$ (qui est positif pour $x > 0$), on obtient $1 < \frac{xe^x}{e^x - 1}$.

65. 65

    Ceci n'est pas exactement l'inégalité demandée.

66. 66

    Reprenons : on a $0 < c < x$.

67. 67

    On a $e^c = \frac{e^x - 1}{x}$.

68. 68

    Puisque $c > 0$, on a $e^c > e^0 = 1$.

69. 69

    Donc $\frac{e^x - 1}{x} > 1$.

70. 70

    $e^x - 1 > x$.

71. 71

    $e^x > x + 1$. (Ceci a déjà été prouvé en 2b)

72. 72

    Pour $\frac{xe^x}{e^x - 1} > x$, on peut simplifier par $x$ (car $x > 0$) :

73. 73

    $\frac{e^x}{e^x - 1} > 1$.

74. 74

    Ceci est équivalent à $e^x > e^x - 1$, ce qui est $0 > -1$, ce qui est vrai.

75. 75

    Donc l'inégalité $\frac{xe^x}{e^x - 1} > x$ est vraie pour tout $x > 0$.

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend.

1. Étudier la dérivabilité en un point $x_0$ (souvent pour une fonction définie par morceaux) :

1. 1

   Calculer $f(x_0)$.

2. 2

   Calculer la limite du taux d'accroissement à droite : $\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$. Si elle existe et est finie, c'est $f'_d(x_0)$.

3. 3

   Calculer la limite du taux d'accroissement à gauche : $\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$. Si elle existe et est finie, c'est $f'_g(x_0)$.

4. 4

   Conclure : $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$. Sinon, elle ne l'est pas (point anguleux si les limites sont finies et différentes, demi-tangente verticale si une limite est infinie).

Étape suivante

2. Appliquer le Théorème de Rolle :

1. 1

   Vérifier la continuité de $f$ sur l'intervalle fermé $[a, b]$.

   (Ex: "La fonction $f$ est continue sur $[a, b]$ car c'est une fonction polynomiale/exponentielle/logarithmique/composée de fonctions continues.")

2. 2

   Vérifier la dérivabilité de $f$ sur l'intervalle ouvert $]a, b[$.

3. 3

   Vérifier l'égalité $f(a) = f(b)$.

4. 4

   Conclure : D'après le Théorème de Rolle, il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.

Étape suivante

3. Appliquer le Théorème des Accroissements Finis (TAF) :

1. 1

   Vérifier la continuité de $f$ sur l'intervalle fermé $[a, b]$.

   (Ex: "La fonction $f$ est continue sur $[a, b]$ car c'est une fonction polynomiale/exponentielle/logarithmique/composée de fonctions continues.")

2. 2

   Vérifier la dérivabilité de $f$ sur l'intervalle ouvert $]a, b[$.

3. 3

   Conclure : D'après le Théorème des Accroissements Finis, il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

Étape suivante

4. Utiliser le TAF pour prouver une inégalité (méthode générale) :

1. 1

   Choisir une fonction $f$ et un intervalle $[a, b]$ pertinents.

   La fonction $f$ est souvent liée à l'expression de l'inégalité. L'intervalle est souvent $[0, x]$ ou $[x, 0]$ si $x < 0$.

2. 2

   Vérifier les conditions du TAF pour $f$ sur $[a, b]$.

3. 3

   Appliquer le TAF : Il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

4. 4

   Encadrer $f'(c)$ sur l'intervalle $]a, b[$.

5. 5

   Utiliser l'inégalité des accroissements finis : $m(b - a) \le f(b) - f(a) \le M(b - a)$.

6. 6

   Simplifier l'expression pour obtenir l'inégalité souhaitée.

Étape suivante

Pièges classiques

1. Oublier les conditions d'application des théorèmes : Le Théorème de Rolle et le TAF ont des conditions strictes (continuité sur l'intervalle fermé, dérivabilité sur l'intervalle ouvert). Ne pas les vérifier coûte des points. Par exemple, la fonction $f(x) = |x|$ sur $[-1, 1]$ n'est pas dérivable en $0$, donc le TAF ne s'applique pas directement sur cet intervalle.
2. Confondre dérivabilité et continuité : Une fonction dérivable en un point est toujours continue en ce point, mais la réciproque est fausse (ex: $f(x) = |x|$ en $x=0$).
3. Erreur dans le calcul du taux d'accroissement : Une erreur de signe ou de simplification peut fausser tout le calcul du nombre dérivé.
4. Mauvais choix de fonction ou d'intervalle pour le TAF : Pour prouver une inégalité, le choix de la fonction $f$ et de l'intervalle $[a, b]$ est crucial. Entraîne-toi sur des exemples pour développer cette intuition.
5. Ne pas justifier le sens des inégalités : Quand tu multiplies ou divises par une expression, assure-toi de justifier son signe pour conserver ou inverser le sens de l'inégalité.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur la dérivabilité, Rolle et le TAF est un pilier de la partie "Analyse" de l'examen, qui représente environ 50% de la note totale. Attends-toi à des questions qui testent à la fois l'application directe des connaissances et la mobilisation dans des situations plus complexes.

Format des questions :

• Calcul de nombre dérivé et équation de tangente : Souvent en début d'exercice, pour vérifier la compréhension des bases. (Application directe)
  • Exemple : "Soit $f(x)=x^2-4x+1$. Calculer le nombre dérivé de $f$ en $x=2$."
• Étude de la dérivabilité en un point (souvent 0) pour une fonction définie par morceaux : Cela implique le calcul des nombres dérivés à droite et à gauche. (Mobilisation en situation familière)
  • Exemple : "Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en 0." (Extrait d'annale)
• Application directe du Théorème de Rolle ou du TAF : On te demandera de vérifier les conditions et d'énoncer la conclusion. (Application directe)
  • Exemple : "En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $t \mapsto e^t$, montrer que pour tout réel strictement positif $x$, il existe un réel $c$ compris entre $0$ et $x$ tel que $e^c = \frac{e^x - 1}{x}$." (Extrait d'annale)
• Utilisation du TAF pour prouver des inégalités ou encadrer des expressions : C'est la partie la plus exigeante, qui demande de bien choisir la fonction et l'intervalle. Cela relève souvent des "situations non familières" ou de la "synthèse de connaissances".
  • Exemple : "En déduire que pour tout $x > 0$ : $1 - x < e^{-x}$." (Extrait d'annale)
  • Exemple : "En utilisant le Théorème des Accroissements Finis, montrer que pour tout $x > 0$, on a $e^x > 1 + x$." (Extrait d'annale)
• Questions de synthèse : Le TAF peut être combiné avec l'étude de fonctions, les suites numériques (pour prouver la convergence ou des majorations/minorations), ou l'intégration.

Barème et attendus :

• La démarche et la justification comptent autant que le résultat. Une réponse correcte sans justification ne rapportera pas tous les points.
• Clarté de la rédaction : Utilise des phrases complètes et une notation mathématique rigoureuse.
• Vérification des conditions : Pour Rolle et le TAF, il est impératif de mentionner explicitement que les conditions de continuité et de dérivabilité sont remplies.

Entraîne-toi à identifier la fonction et l'intervalle pertinents pour les applications du TAF, car c'est souvent là que réside la difficulté.