Suites numériques

Le chapitre des suites numériques est fondamental en 2ème année du baccalauréat sciences physiques. Il représente une part significative de l'examen national, souvent intégré à l'étude de fonctions. Maîtriser les suites, c'est comprendre l'évolution de phénomènes discrets et la notion de convergence, essentielle pour l'analyse.

L'intuition

Khoya, les suites numériques rah b7al chi escalier. Kol darja hiya un terme $U_n$. Bach t3raf wach l'escalier kaytla3 (croissante), kayhbat (décroissante), wla kaydour f blastou (constante), khassk tchouf la différence bin kol darja w darja. W bach t3raf wach ghaywsl lchi point f l'infini (convergente) wla ghayb9a ghadi (divergente), khassk tchouf wach kayn chi "plafond" (majorée) wla chi "ard" (minorée) li kay7bsoh.

Le cours

I. Généralités sur les suites numériques

Une suite numérique est une application de $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ du type $\{n \in \mathbb{N} \mid n \geq n_0\}$) dans $\mathbb{R}$. On la note $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(U_n)$. $U_n$ est le terme de rang $n$.

1. Modes de définition d'une suite

• Forme explicite : $U_n$ est donné en fonction de $n$. Exemple : $U_n = 2n + 1$.
• Forme récurrente : Le terme $U_{n+1}$ est donné en fonction de $U_n$. Il faut un premier terme $U_0$ (ou $U_{n_0}$). Exemple : $U_0 = 1$ et $U_{n+1} = 2U_n + 3$.
• Suite définie par $U_{n+1} = f(U_n)$ : C'est un cas particulier de la forme récurrente où $f$ est une fonction. Exemple : $U_0 = 2$ et $U_{n+1} = \sqrt{U_n + 1}$.

2. Monotonie d'une suite

Étudier la monotonie d'une suite, c'est déterminer si elle est croissante, décroissante ou constante.

• Suite croissante : $(U_n)$ est croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} \geq U_n$. Pour le prouver, on étudie le signe de la différence $U_{n+1} - U_n$. Si $U_{n+1} - U_n \geq 0$, alors $(U_n)$ est croissante.
• Suite décroissante : $(U_n)$ est décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} \leq U_n$. Pour le prouver, on étudie le signe de la différence $U_{n+1} - U_n$. Si $U_{n+1} - U_n \leq 0$, alors $(U_n)$ est décroissante.
• Suite constante : $(U_n)$ est constante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} = U_n$.
• Suite strictement monotone : On remplace $\geq$ par $>$ et $\leq$ par $<$.

3. Suites majorées, minorées, bornées

• Suite majorée : $(U_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n \leq M$.
• Suite minorée : $(U_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n \geq m$.
• Suite bornée : $(U_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Pour montrer qu'une suite est majorée ou minorée, on utilise souvent le raisonnement par récurrence.

II. Suites arithmétiques et géométriques

Ces suites sont des cas particuliers où la relation entre les termes est simple et prévisible.

1. Suites arithmétiques

• Définition : Une suite $(U_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} = U_n + r$.
• Terme général : $U_n = U_p + (n-p)r$. Si $p=0$, alors $U_n = U_0 + nr$.
• Somme des termes : La somme des $N$ premiers termes $S_N = U_0 + U_1 + \dots + U_{N-1}$ est donnée par $S_N = N \times \frac{U_0 + U_{N-1}}{2}$. Plus généralement, la somme des termes de $U_p$ à $U_n$ est $S = (n-p+1) \times \frac{U_p + U_n}{2}$.

2. Suites géométriques

• Définition : Une suite $(U_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} = q \times U_n$.
• Terme général : $U_n = U_p \times q^{n-p}$. Si $p=0$, alors $U_n = U_0 \times q^n$.
• Somme des termes : La somme des $N$ premiers termes $S_N = U_0 + U_1 + \dots + U_{N-1}$ est donnée par :
  • Si $q \neq 1$, $S_N = U_0 \frac{1-q^N}{1-q}$.
  • Si $q = 1$, $S_N = N \times U_0$.

III. Convergence des suites

La convergence est la notion clé de ce chapitre. Une suite converge si ses termes se rapprochent d'une valeur finie à mesure que $n$ tend vers l'infini.

1. Limite d'une suite

• Définition : Une suite $(U_n)$ converge vers un réel $L$ si pour tout $\epsilon > 0$, il existe un entier $N_0$ tel que pour tout $n \geq N_0$, $|U_n - L| < \epsilon$. On écrit $\lim_{n \to +\infty} U_n = L$.
• Suite divergente : Une suite est divergente si elle ne converge pas (sa limite est $+\infty$, $-\infty$ ou elle n'a pas de limite).

2. Propriétés des limites

Les opérations sur les limites de suites sont similaires à celles des fonctions :

• $\lim (U_n + V_n) = \lim U_n + \lim V_n$
• $\lim (U_n \times V_n) = \lim U_n \times \lim V_n$
• $\lim (U_n / V_n) = \lim U_n / \lim V_n$ (si $\lim V_n \neq 0$)
• Théorème des gendarmes : Si $V_n \leq U_n \leq W_n$ pour $n \geq N_0$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = \lim_{n \to +\infty} W_n = L$, alors $\lim_{n \to +\infty} U_n = L$.
• Théorème de comparaison :
  • Si $U_n \geq V_n$ pour $n \geq N_0$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} U_n = +\infty$.
  • Si $U_n \leq V_n$ pour $n \geq N_0$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} U_n = -\infty$.

3. Convergence des suites monotones

Théorème fondamental :

• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.

Ce théorème est crucial pour prouver la convergence d'une suite définie par récurrence.

4. Limite des suites géométriques

Soit $(U_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

• Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
• Si $q = 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
• Si $-1 < q < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
• Si $q \leq -1$, alors la suite $q^n$ n'a pas de limite.

IV. Suites définies par $U_{n+1} = f(U_n)$

Ces suites sont très fréquentes à l'examen. L'étude de la fonction $f$ est souvent un préalable.

Théorème : Si une suite $(U_n)$ est définie par $U_{n+1} = f(U_n)$, si $f$ est continue sur un intervalle $I$, si $U_0 \in I$ et $f(I) \subset I$, et si $(U_n)$ converge vers $L$, alors $L$ est une solution de l'équation $f(x) = x$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_{n+1}=\frac{3U_n-1}{2U_n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ avec $U_0=2$. 1) Montrer que : $U_n-1>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ 2) Soit $(V_n)$ la suite définie par : $V_n=\frac{U_n-1}{2U_n-1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et en déduire que $V_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ b) Montrer que : $U_n=\frac{1+\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2^n}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ c) Calculer la limite de la suite $(U_n)$.

Solution détaillée :

1) Montrer que $U_n-1>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ Ceci revient à montrer que $U_n > 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. On utilise un raisonnement par récurrence.

• Initialisation : Pour $n=0$, $U_0 = 2$. On a $U_0 - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$. La propriété est vraie pour $n=0$.
• Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un certain $n \in \mathbb{N}$, c'est-à-dire $U_n - 1 > 0$ (ou $U_n > 1$). Montrons que la propriété est vraie pour $n+1$, c'est-à-dire $U_{n+1} - 1 > 0$. On a $U_{n+1} - 1 = \frac{3U_n-1}{2U_n} - 1 = \frac{3U_n-1 - 2U_n}{2U_n} = \frac{U_n-1}{2U_n}$. Par hypothèse de récurrence, $U_n - 1 > 0$. De plus, comme $U_n > 1$, alors $2U_n > 2 > 0$. Donc, le numérateur $U_n-1$ est positif et le dénominateur $2U_n$ est positif. Par conséquent, $U_{n+1} - 1 = \frac{U_n-1}{2U_n} > 0$.
• Conclusion : D'après le principe de récurrence, $U_n - 1 > 0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

2) a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et en déduire $V_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$

Calculons $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$. $V_{n+1} = \frac{U_{n+1}-1}{2U_{n+1}-1}$. On a $U_{n+1}-1 = \frac{U_n-1}{2U_n}$ (calculé à la question 1). Calculons le dénominateur $2U_{n+1}-1$: $2U_{n+1}-1 = 2\left(\frac{3U_n-1}{2U_n}\right) - 1 = \frac{3U_n-1}{U_n} - 1 = \frac{3U_n-1-U_n}{U_n} = \frac{2U_n-1}{U_n}$. Donc, $V_{n+1} = \frac{\frac{U_n-1}{2U_n}}{\frac{2U_n-1}{U_n}} = \frac{U_n-1}{2U_n} \times \frac{U_n}{2U_n-1} = \frac{1}{2} \times \frac{U_n-1}{2U_n-1} = \frac{1}{2} V_n$. La suite $(V_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$.

Pour en déduire $V_n$, on calcule le premier terme $V_0$: $V_0 = \frac{U_0-1}{2U_0-1} = \frac{2-1}{2(2)-1} = \frac{1}{3}$. Le terme général d'une suite géométrique est $V_n = V_0 \times q^n$. Donc, $V_n = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Correction de l'énoncé : L'énoncé d'annale indique $V_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$. Cela implique que $V_0$ devrait être 1. Vérifions si $U_0$ pourrait être différent pour que $V_0=1$. Si $V_0=1$, alors $\frac{U_0-1}{2U_0-1}=1 \implies U_0-1=2U_0-1 \implies U_0=0$. Or $U_0=2$. Il y a une incohérence entre l'énoncé et le résultat attendu pour $V_n$. Nous allons suivre le résultat attendu $V_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$ et supposer que $U_0$ a été choisi pour cela, ou qu'il y a une erreur dans l'énoncé de l'annale. Dans un examen, il faudrait signaler cette incohérence. Pour les besoins de l'exemple, nous allons supposer que $V_0=1$ est la bonne valeur pour que $V_n = (1/2)^n$ soit correct.

b) Montrer que : $U_n=\frac{1+\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2^n}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

On a $V_n = \frac{U_n-1}{2U_n-1}$. Nous voulons exprimer $U_n$ en fonction de $V_n$. $V_n(2U_n-1) = U_n-1$ $2U_nV_n - V_n = U_n - 1$ $2U_nV_n - U_n = V_n - 1$ $U_n(2V_n - 1) = V_n - 1$ $U_n = \frac{V_n - 1}{2V_n - 1}$.

En utilisant $V_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$: $U_n = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n - 1}{2\left(\frac{1}{2}\right)^n - 1} = \frac{\frac{1}{2^n} - 1}{\frac{2}{2^n} - 1} = \frac{\frac{1-2^n}{2^n}}{\frac{2-2^n}{2^n}} = \frac{1-2^n}{2-2^n}$. Pour obtenir la forme demandée $\frac{1+\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2^n}}$, il faut diviser numérateur et dénominateur par $-2^n$: $U_n = \frac{\frac{1-2^n}{-2^n}}{\frac{2-2^n}{-2^n}} = \frac{-\frac{1}{2^n} + 1}{-\frac{2}{2^n} + 1} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{1 - \frac{2}{2^n}}$. Il y a encore une différence avec la forme attendue. La forme attendue est $U_n=\frac{1+\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2^n}}$. Reprenons le calcul de $U_n(2V_n - 1) = V_n - 1$. Si on avait $U_n = \frac{1-V_n}{1-2V_n}$ (en multipliant numérateur et dénominateur par -1), alors : $U_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^n} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{1 - \frac{2}{2^n}} = \frac{\frac{2^n-1}{2^n}}{\frac{2^n-2}{2^n}} = \frac{2^n-1}{2^n-2}$. Cette forme est équivalente à $\frac{1-2^n}{2-2^n}$. L'énoncé attend $U_n=\frac{1+\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2^n}}$. Cela ne correspond pas à nos calculs. Si on part de la formule attendue et qu'on la simplifie : $U_n=\frac{1+\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2^n}} = \frac{\frac{2^n+1}{2^n}}{\frac{2^n-1}{2^n}} = \frac{2^n+1}{2^n-1}$. Si $U_n = \frac{2^n+1}{2^n-1}$, alors $U_n-1 = \frac{2^n+1}{2^n-1}-1 = \frac{2^n+1-(2^n-1)}{2^n-1} = \frac{2}{2^n-1}$. Et $2U_n-1 = 2\frac{2^n+1}{2^n-1}-1 = \frac{2(2^n+1)-(2^n-1)}{2^n-1} = \frac{2^{n+1}+2-2^n+1}{2^n-1} = \frac{2^n+3}{2^n-1}$. Alors $V_n = \frac{U_n-1}{2U_n-1} = \frac{\frac{2}{2^n-1}}{\frac{2^n+3}{2^n-1}} = \frac{2}{2^n+3}$. Ceci n'est pas $\left(\frac{1}{2}\right)^n$. Il y a une erreur dans l'énoncé de l'annale concernant la forme de $U_n$ attendue. Nous allons continuer avec la forme $U_n = \frac{1-2^n}{2-2^n}$ que nous avons trouvée, en supposant que l'énoncé attendait une autre forme. Ou, si l'énoncé voulait $V_n = \frac{1}{2^n}$, alors $V_0=1$. Si $V_0=1$, alors $U_0=0$. Mais $U_0=2$. Si on suppose que $V_n = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^n$, alors $U_n = \frac{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n - 1}{2\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n - 1} = \frac{\frac{1}{3 \cdot 2^n} - 1}{\frac{2}{3 \cdot 2^n} - 1} = \frac{1 - 3 \cdot 2^n}{2 - 3 \cdot 2^n}$. Cette forme est différente de celle de l'énoncé. Conclusion sur l'annale : Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé original de l'annale concernant la forme de $V_n$ ou de $U_n$. Dans un examen, il est crucial de signaler de telles incohérences. Pour cet exemple, nous allons considérer que la question 2.b) est mal posée ou que la forme attendue est incorrecte. Nous allons donc calculer la limite de $U_n$ en utilisant la forme $U_n = \frac{1-2^n}{2-2^n}$ que nous avons dérivée de $V_n = (1/2)^n$ (en supposant $V_0=1$ pour coller à l'énoncé $V_n=(1/2)^n$).

c) Calculer la limite de la suite $(U_n)$

En utilisant la forme $U_n = \frac{1-2^n}{2-2^n}$: $\lim_{n \to +\infty} U_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1-2^n}{2-2^n}$. On peut factoriser par $2^n$ au numérateur et au dénominateur : $\lim_{n \to +\infty} U_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{2^n(\frac{1}{2^n}-1)}{2^n(\frac{2}{2^n}-1)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{2^n}-1}{\frac{2}{2^n}-1}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ (car $-1 < \frac{1}{2} < 1$), on a : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2^n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{2^n} = 0$. Donc, $\lim_{n \to +\infty} U_n = \frac{0-1}{0-1} = \frac{-1}{-1} = 1$.

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder les questions sur les suites numériques, telles qu'attendues par le correcteur :

1. Démontrer une propriété par récurrence :
   • Initialisation : Vérifier la propriété pour le premier terme ($n=0$ ou $n=n_0$).
   • Hérédité : Supposer la propriété vraie pour un $n$ donné, puis la démontrer pour $n+1$.
   • Conclusion : Affirmer la propriété pour tout $n$ selon le principe de récurrence.
2. Étudier la monotonie d'une suite $(U_n)$ :
   • Calculer $U_{n+1} - U_n$ : Simplifier l'expression au maximum.
   • Étudier le signe de la différence : Utiliser les inégalités connues (souvent issues d'une récurrence) pour déterminer si $U_{n+1} - U_n \geq 0$ (croissante) ou $U_{n+1} - U_n \leq 0$ (décroissante).
3. Prouver qu'une suite $(V_n)$ est géométrique (ou arithmétique) :
   • Calculer $\frac{V_{n+1}}{V_n}$ (géométrique) ou $V_{n+1} - V_n$ (arithmétique) : Remplacer $U_{n+1}$ par son expression en fonction de $U_n$.
   • Simplifier l'expression : Montrer que le rapport est une constante $q$ (raison géométrique) ou que la différence est une constante $r$ (raison arithmétique).
   • Calculer le premier terme : Déterminer $V_0$ (ou $V_{n_0}$).
4. Calculer la limite d'une suite :
   • Identifier le type de suite : Si c'est une suite géométrique, utiliser les propriétés de $\lim q^n$.
   • Utiliser les théorèmes de convergence : Si la suite est monotone et bornée, elle converge.
   • Résoudre $f(x)=x$ : Si $U_{n+1}=f(U_n)$ converge, sa limite $L$ est solution de $f(L)=L$.
   • Utiliser les opérations sur les limites : Pour les suites explicites, appliquer les règles de calcul de limites.

Pièges classiques

Khoya, wa7d l'erreur li kaydiroha bzaf hiya kaynsaw l'initialisation f la récurrence. Machi gha l'hérédité safi. L'initialisation hiya li katbda lik kolchi, ila ma kaynach, rah kolchi ghaymchi.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur les suites numériques sont quasi systématiques à l'examen national, souvent dans la partie "Problème" liée à l'étude de fonctions. Elles suivent un schéma récurrent :

1. Démonstration par récurrence d'un encadrement ou d'une propriété :
   • Exemple : Montrer que $1 \leq U_n \leq \alpha$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
   • Barème typique : 0.5 pts (0.25 pour l'initialisation, 0.25 pour l'hérédité et la conclusion).
2. Étude de la monotonie de la suite :
   • Exemple : Montrer que la suite $(U_n)$ est décroissante.
   • Barème typique : 0.5 pts (0.25 pour le calcul de $U_{n+1}-U_n$, 0.25 pour l'étude du signe et la conclusion).
3. Déduction de la convergence de la suite :
   • Exemple : En déduire que la suite $(U_n)$ est convergente.
   • Barème typique : 0.25 pts (Application directe du théorème des suites monotones et bornées).
4. Calcul de la limite de la suite :
   • Exemple : Calculer sa limite.
   • Barème typique : 0.5 pts (0.25 pour l'équation $f(L)=L$, 0.25 pour la résolution et la conclusion).
5. Introduction d'une suite auxiliaire (arithmétique ou géométrique) :
   • Exemple : Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_n = U_n - L$. Montrer que $(V_n)$ est géométrique.
   • Barème typique : 0.75 pts (0.5 pour le calcul de $V_{n+1}/V_n$ ou $V_{n+1}-V_n$, 0.25 pour la raison et le premier terme).
6. Expression de $U_n$ en fonction de $n$ :
   • Exemple : En déduire $U_n$ en fonction de $n$.
   • Barème typique : 0.5 pts (Isoler $U_n$ de l'expression de $V_n$, puis remplacer $V_n$ par son terme général).
7. Calcul de la limite de $U_n$ à partir de son expression explicite :
   • Exemple : Calculer $\lim_{n \to +\infty} U_n$.
   • Barème typique : 0.25 pts (Application des règles de limites, notamment pour $q^n$).

Ces questions peuvent être combinées ou légèrement modifiées, mais la logique reste la même. La rigueur de la rédaction et la justification de chaque étape sont essentielles pour obtenir tous les points.