Continuité et Limites

Ce chapitre est fondamental en analyse et représente une part significative de l'examen national. Il s'agit de comprendre le comportement des fonctions, que ce soit en un point précis ou aux "bords" de leur domaine de définition, ainsi que de résoudre des équations.

L'intuition

La continuité dyal chi fonction, khoya, rah b7al ila katsmha b stylo f warqa bla mathezz yeddak. Machi b7al chi fonction li kayn fiha des "trous" ou des "sauts", hadik machi continue. W les limites, rah b7al ila katchouf fin ghaymchi stylo dyalk ila bqiti katqerreb lchi point, wakha matwsalch lih exact.

Le cours

I. Continuité en un point et sur un intervalle

1. Continuité en un point

Définition 1 : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Interprétation graphique : La courbe de $f$ ne présente ni "saut", ni "trou" au point d'abscisse $a$.

Continuité à droite et à gauche :

• $f$ est continue à droite en $a$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue à gauche en $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
• Une fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à droite en $a$ et continue à gauche en $a$.

2. Continuité sur un intervalle

Définition 2 :

• Une fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $(a,b)$ si elle est continue en tout point de cet intervalle.
• Une fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ si elle est continue sur $(a,b)$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.

Théorèmes généraux (admis) :

• Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur domaine de définition.
• Les fonctions trigonométriques ($\sin$, $\cos$, $\tan$) sont continues sur leur domaine de définition.
• Les fonctions exponentielles ($x \mapsto e^x$) sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions logarithmes ($x \mapsto \ln x$) sont continues sur $]0, +\infty[$.
• La fonction racine carrée ($x \mapsto \sqrt{x}$) est continue sur $[0, +\infty[$.

Opérations sur les fonctions continues : Si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, alors :

• $f+g$, $f-g$, $f \times g$ sont continues sur $I$.
• $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$ pour tout $x \in I$ tel que $g(x) \ne 0$.
• Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $f(I)$, alors la fonction composée $g \circ f$ est continue sur $I$.

II. Limites et asymptotes

1. Calcul des limites

Le calcul des limites est essentiel pour étudier le comportement d'une fonction aux bornes de son domaine de définition.

Limites usuelles :

• $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ pour $n \in \mathbb{N}^*$
• $\lim_{x \to -\infty} x^n = \pm \infty$ selon la parité de $n$
• $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
• $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

Opérations sur les limites : Les règles de calcul s'appliquent pour la somme, le produit, le quotient et la composition, sauf dans les cas de formes indéterminées (FI) :

$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \times \infty$

Techniques pour lever les formes indéterminées :

• Factorisation par le terme de plus haut degré : Pour les fonctions polynômes ou rationnelles en $\pm \infty$.
• Multiplication par l'expression conjuguée : Souvent pour les expressions avec des racines carrées.
• Changement de variable : Pour simplifier l'expression.
• Utilisation des limites usuelles et de croissance comparée :
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$
  • $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$

2. Asymptotes

Les asymptotes décrivent le comportement d'une courbe à l'infini ou près d'un point où la fonction n'est pas définie.

• Asymptote verticale (AV) : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.
• Asymptote horizontale (AH) : Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ (où $L$ est un réel), alors la droite d'équation $y=L$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$.
• Branche parabolique ou Asymptote oblique (AO) :
  • Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  • Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
  • Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ ($a \ne 0$) et $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = b$ (où $b$ est un réel), alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$.

III. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Ce théorème est crucial pour prouver l'existence de solutions à des équations.

Théorème 1 (TVI) : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle fermé $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

Corollaire (cas particulier $k=0$) : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a) \cdot f(b) < 0$ (c'est-à-dire $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés), alors il existe au moins un réel $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

Théorème 2 (TVI et unicité) : Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique $c \in [a,b]$.

IV. Tableau de signes

L'étude du signe d'une fonction est fondamentale, notamment pour déterminer les intervalles de croissance/décroissance à partir du signe de la dérivée.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "Montrer que l’équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[-1,0]$" (Extrait de l'examen national 2021)

Soit $f(x) = 2e^{2x} + e^x + 4x$. Nous devons montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans $[-1,0]$.

1. Vérifier la continuité de $f$ sur $[-1,0]$ : La fonction $x \mapsto e^{2x}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (composée de $x \mapsto 2x$ et $x \mapsto e^x$, toutes deux continues). La fonction $x \mapsto e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$. La fonction $x \mapsto 4x$ est continue sur $\mathbb{R}$. Par somme de fonctions continues, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, et donc sur l'intervalle $[-1,0]$.

2. Calculer $f(-1)$ et $f(0)$ : $f(-1) = 2e^{2(-1)} + e^{-1} + 4(-1) = 2e^{-2} + e^{-1} - 4$ $f(-1) = \frac{2}{e^2} + \frac{1}{e} - 4 \approx \frac{2}{7.38} + \frac{1}{2.71} - 4 \approx 0.27 + 0.37 - 4 = 0.64 - 4 = -3.36$ Donc $f(-1) < 0$.

   $f(0) = 2e^{2(0)} + e^0 + 4(0) = 2e^0 + e^0 + 0 = 2(1) + 1 = 3$ Donc $f(0) > 0$.

3. Appliquer le Corollaire du TVI : Puisque $f$ est continue sur $[-1,0]$ et $f(-1) \cdot f(0) < 0$ (car $f(-1) < 0$ et $f(0) > 0$), alors d'après le corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins un réel $c \in ]-1,0[$ tel que $f(c) = 0$. L'équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet donc une solution dans l'intervalle $[-1,0]$.

La méthode

Pour résoudre un problème de continuité ou de TVI, suivez ces étapes :

1. Vérifier la continuité :
   • Justifier la continuité de la fonction sur l'intervalle donné (somme, produit, composée de fonctions usuelles continues).
2. Calculer les valeurs aux bornes :
   • Calculer $f(a)$ et $f(b)$ ou les limites aux bornes de l'intervalle.
3. Appliquer le théorème :
   • Comparer $f(a)$ et $f(b)$ par rapport à la valeur $k$ (souvent $0$).
   • Conclure en citant explicitement le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ou son corollaire.
4. Pour l'unicité (si demandée) :
   • Étudier la monotonie de la fonction (calculer la dérivée et étudier son signe).
   • Si la fonction est strictement monotone, ajouter cette condition à l'application du TVI.

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur la continuité et les limites sont très fréquentes et peuvent apparaître sous plusieurs formes, souvent dans la première partie d'un problème d'étude de fonction.

• Calcul de limites (0.5 - 1 point) :

  • Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ puis interpréter géométriquement le résultat. (0.25 pour la limite, 0.25 pour l'interprétation).
  • Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. (0.5 point).
  • Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax)$ pour déterminer une asymptote oblique ou une branche parabolique. (0.5 point par limite).

• Continuité en un point (0.5 - 0.75 point) :

  • Montrer que $f$ est continue à droite au point 0. (0.5 point).
  • Étudier la continuité de $h$ au point 0. (0.5 point).

• Application du TVI (0.5 - 0.75 point) :

  • Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans l'intervalle $[a,b]$. (0.5 point).
  • Montrer que l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[a,b]$. (0.75 point, incluant la justification de la monotonie).

• Étude du signe (0.5 - 1 point) :

  • Montrer que $g(x) \le 0$ pour tout $x \in ]0,1]$ et $g(x) \ge 0$ pour tout $x \in [1, +\infty[$. (1 point).
  • Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. (0.5 point).

Consignes de correction : Le barème est souvent détaillé par étape. Il est crucial de justifier chaque affirmation, notamment la continuité de la fonction avant d'appliquer le TVI, ou la nature des asymptotes après le calcul des limites.