Fonctions exponentielles

L'intuition

Imagine une population de bactéries qui double toutes les heures. Si tu commences avec une bactérie, après 1 heure tu en as 2, après 2 heures tu en as 4, après 3 heures tu en as 8, et ainsi de suite. La croissance est de plus en plus rapide. C'est une croissance exponentielle.

Maintenant, imagine un médicament qui réduit de moitié la population de ces bactéries toutes les heures. Si tu commences avec 1000 bactéries, après 1 heure tu en as 500, après 2 heures tu en as 250, etc. La décroissance est de plus en plus lente, mais la population ne devient jamais nulle. C'est une décroissance exponentielle.

La fonction exponentielle $e^x$ modélise ce type de phénomènes. C'est une fonction toujours positive, qui croît (ou décroît) très rapidement. Elle est spéciale car sa dérivée est égale à elle-même, ce qui la rend fondamentale en maths et en physique.

Le cours

I. Définition et propriétés fondamentales

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $e^x$, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien $\ln$.

Définition 1: La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f(0) = 1$. On la note $e^x$.

Propriétés:

1. Domaine de définition: La fonction $x \mapsto e^x$ est définie sur $\mathbb{R}$.
2. Image: Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$. L'ensemble image de la fonction exponentielle est $\mathbb{R}^{+*}$.
3. Valeurs particulières:
   • $e^0 = 1$
   • $e^1 = e \approx 2.71828$
4. Relation avec $\ln$:
   • Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.
   • Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$.
5. Propriétés algébriques: Pour tous réels $x$ et $y$:
   • $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$
   • $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
   • $(e^x)^n = e^{nx}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$
   • $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$

II. Étude de la fonction exponentielle

1. Limites

• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

Limites de croissance comparée: Ces limites sont importantes pour lever les formes indéterminées.

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (l'exponentielle l'emporte sur les puissances de $x$)
• $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (l'exponentielle l'emporte sur les puissances de $x$)
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ (limite remarquable)

2. Dérivée

• La fonction $x \mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $(e^x)' = e^x$.
• Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

Démonstration de $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$:

1. 1

   On utilise la règle de dérivation des fonctions composées.

   Soit $f(y) = e^y$ et $y = u(x)$. Alors $e^{u(x)} = f(u(x))$.

2. 2

   La dérivée de $f(u(x))$ est $f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

3. 3

   On a $u'(x)$.

Étape suivante

3. Sens de variation

Puisque $(e^x)' = e^x$ et que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

4. Courbe représentative

La courbe de la fonction exponentielle passe par les points $(0,1)$ et $(1,e)$. Elle est au-dessus de l'axe des abscisses et admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $-\infty$.

Sur ce graphique, tu vois la courbe de $e^x$ et la droite $y=x$. Remarque que $e^x$ est toujours au-dessus de $y=x$ pour $x \ge 0$.

III. Équations et inéquations exponentielles

Pour résoudre des équations ou inéquations avec des exponentielles, on utilise les propriétés algébriques et la stricte croissance de la fonction.

Règles de base:

• $e^A = e^B \iff A = B$
• $e^A < e^B \iff A < B$
• $e^A > e^B \iff A > B$

Cas particuliers:

• $e^x = k$:
  • Si $k \le 0$, l'équation n'a pas de solution car $e^x > 0$.
  • Si $k > 0$, $x = \ln(k)$.
• $e^x < k$:
  • Si $k \le 0$, l'inéquation n'a pas de solution.
  • Si $k > 0$, $x < \ln(k)$.
• $e^x > k$:
  • Si $k \le 0$, l'inéquation est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$.
  • Si $k > 0$, $x > \ln(k)$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale: Exercice 1: (2 points) 0.5 1) a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x}-4e^{x}+3=0$ 0.5 b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x}-4e^{x}+3\le0$ 0.5 c) Calculer $\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^{2x}-1}$ 0.5 2) Montrer que l'équation $e^{2x}+e^{x}+4x=0$ admet une solution dans l'intervalle $[-1,0]$

Solution détaillée:

1) a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x}-4e^{x}+3=0$

1. 1

   Identifier la structure de l'équation.

   C'est une équation du second degré déguisée.

2. 2

   Poser un changement de variable.

3. 3

   Réécrire l'équation avec le changement de variable.

4. 4

   Résoudre l'équation du second degré en $X$.

5. 5

   Les solutions sont $X_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4-2}{2} = 1$ et $X_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4+2}{2} = 3$.

6. 6

   Vérifier que les solutions sont valides pour le changement de variable.

7. 7

   Revenir à la variable $x$.

8. 8

   $e^x = 3 \iff x = \ln(3)$.

9. 9

   Donner l'ensemble des solutions.

Étape suivante

1) b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x}-4e^{x}+3\le0$

1. 1

   Utiliser le changement de variable de la question précédente.

   Soit $X = e^x$. L'inéquation devient $X^2 - 4X + 3 \le 0$.

2. 2

   Déterminer le signe du trinôme $X^2 - 4X + 3$.

3. 3

   Donc $1 \le X \le 3$.

4. 4

   Revenir à la variable $x$.

5. 5

   Appliquer la fonction $\ln$ (strictement croissante) aux inégalités.

6. 6

   $0 \le x \le \ln(3)$.

7. 7

   Donner l'ensemble des solutions.

Étape suivante

1) c) Calculer $\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^{2x}-1}$

1. 1

   Évaluer la limite directement.

   Quand $x \to 0$, le numérateur tend vers $e^0 - 4e^0 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

2. 2

   Le dénominateur tend vers $e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.

3. 3

   On a une forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

4. 4

   Factoriser le numérateur.

5. 5

   En posant $X=e^x$, le numérateur est $(e^x-1)(e^x-3)$.

6. 6

   Factoriser le dénominateur.

7. 7

   Réécrire la limite avec les formes factorisées.

8. 8

   Simplifier l'expression.

9. 9

   La limite devient $\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-3}{e^x+1}$.

10. 10

    Calculer la limite simplifiée.

11. 11

    Le dénominateur tend vers $e^0+1 = 1+1 = 2$.

12. 12

    La limite est $\frac{-2}{2} = -1$.

Étape suivante

2) Montrer que l'équation $e^{2x}+e^{x}+4x=0$ admet une solution dans l'intervalle $[-1,0]$

1. 1

   Définir une fonction auxiliaire.

   Soit $h(x) = e^{2x}+e^{x}+4x$.

2. 2

   Vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle.

3. 3

   Calculer les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle.

4. 4

   $e^{-2} \approx 0.135$ et $e^{-1} \approx 0.368$.

5. 5

   Donc $h(-1) \approx 0.135 + 0.368 - 4 = 0.503 - 4 = -3.497$.

6. 6

   $h(0) = e^{2(0)} + e^0 + 4(0) = 1 + 1 + 0 = 2$.

7. 7

   Vérifier le signe du produit des valeurs aux bornes.

8. 8

   Donc $h(-1) \cdot h(0) < 0$.

9. 9

   Appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).

10. 10

    Conclure.

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend.

1. Résolution d'équations/inéquations de type $a e^{2x} + b e^x + c = 0$ (ou $\le 0$, etc.):

   1. Poser le changement de variable $X = e^x$. Préciser que $X > 0$.
   2. Résoudre l'équation/inéquation du second degré en $X$.
   3. Vérifier que les solutions (ou l'intervalle de solutions) en $X$ sont positives. Si non, les rejeter.
   4. Re-substituer $e^x$ à $X$ et résoudre les équations/inéquations en $e^x$.
   5. Utiliser la fonction $\ln$ (qui est strictement croissante) pour isoler $x$.
   6. Donner l'ensemble des solutions.

2. Calcul de limites avec des formes indéterminées:

   1. Toujours évaluer d'abord la limite directement pour identifier la forme indéterminée ($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$).
   2. Pour les formes $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ impliquant $e^x$:
      • Si $x \to 0$, penser à la limite remarquable $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$. Parfois, une factorisation ou un changement de variable peut aider.
      • Si $x \to \pm \infty$, utiliser les croissances comparées ($\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$). Factoriser par le terme "le plus fort".
   3. Pour les autres formes, essayer de les ramener à l'une des précédentes.

3. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI):

   1. Définir clairement la fonction $f(x)$ dont on cherche les racines.
   2. Vérifier la continuité de $f$ sur l'intervalle donné $[a,b]$. (Les fonctions exponentielles, polynômes, sommes, produits, quotients de fonctions continues sont continues sur leur domaine de définition).
   3. Calculer les images des bornes de l'intervalle, $f(a)$ et $f(b)$.
   4. Vérifier que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (c'est-à-dire $f(a) \cdot f(b) < 0$).
   5. Conclure en citant le TVI: "Puisque $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a) \cdot f(b) < 0$, alors il existe au moins une solution $\alpha \in ]a,b[$ telle que $f(\alpha) = 0$."
   6. Si l'on demande une solution unique, il faut en plus étudier la monotonie de $f$ sur l'intervalle (calculer $f'(x)$ et montrer que $f$ est strictement monotone).

Pièges classiques

• Confondre $e^{x+y}$ et $e^x + e^y$: $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$, ce n'est pas une somme.

  Vérifie que tu suis

  L'expression $e^{x+2}$ est égale à:

  $e^x + e^2$$e^x \cdot e^2$$(e^x)^2$$2e^x$
• Oublier la condition $X > 0$ lors d'un changement de variable $X=e^x$: Si tu trouves une solution $X < 0$, elle n'est pas valide pour $e^x$.
  Résoudre $e^{2x} + e^x - 2 = 0$.
• Erreur de signe dans les inéquations: La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc elle conserve l'ordre des inégalités. Mais si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, l'ordre change.
• Mauvaise application des croissances comparées: L'exponentielle l'emporte sur les puissances en $+\infty$ et en $-\infty$ (pour $x^n e^x$).

  Vérifie que tu suis

  Quelle est la limite de $\frac{e^x}{x^3}$ quand $x \to +\infty$?

  $0$$+\infty$$1$$-\infty$
• Oublier la continuité pour le TVI: Le TVI ne s'applique que si la fonction est continue sur l'intervalle.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des fonctions exponentielles est central et est presque toujours évalué dans la partie "Analyse" du problème principal, qui représente environ 55% de la note totale.

Formats de questions réels et barème (basé sur les annales):

• Résolution d'équations et inéquations (0.5 à 1 point par question):

  • Type $a e^{2x} + b e^x + c = 0$ ou $\le 0$.
  • Type $e^{f(x)} = k$ ou $e^{f(x)} = e^{g(x)}$.
  • Ces questions testent l'application directe des propriétés algébriques et la gestion du changement de variable.

• Calcul de limites (0.5 à 1 point par limite):

  • Limites en $\pm \infty$ (souvent avec des formes indéterminées nécessitant les croissances comparées).
  • Limites en $0$ (souvent avec la limite remarquable $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$).
  • Ces questions évaluent la capacité à lever les formes indéterminées et à utiliser les propriétés de croissance comparée.

• Calcul de dérivées et étude de variations (0.5 à 1 point par question):

  • Dérivée de fonctions composées avec $e^u$.
  • Déduction du tableau de variations et des extrema locaux.
  • Ces questions vérifient la maîtrise des règles de dérivation et l'interprétation du signe de la dérivée.

• Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) (0.5 à 0.75 point):

  • Montrer l'existence (et parfois l'unicité) d'une solution à une équation $f(x)=0$ sur un intervalle donné.
  • Ceci teste la rigueur dans l'application d'un théorème clé.

• Étude complète de fonction (partie du problème, plusieurs points):

  • Calcul de limites aux bornes du domaine de définition.
  • Interprétation géométrique des limites (asymptotes).
  • Calcul de la dérivée et étude du signe.
  • Tableau de variations.
  • Points d'intersection avec les axes.
  • Tracé de la courbe.
  • Ces questions sont une synthèse de toutes les compétences et peuvent inclure des questions sur les branches paraboliques ou les asymptotes obliques.

• Fonction réciproque (0.5 à 1 point):

  • Montrer qu'une fonction admet une réciproque sur un intervalle.
  • Calculer la dérivée de la fonction réciproque en un point.
  • Tracer la courbe de la réciproque.

• Suites numériques définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ (0.5 à 1 point par question):

  • Montrer par récurrence qu'une suite est bornée.
  • Étudier la monotonie de la suite.
  • Démontrer la convergence et calculer la limite (souvent une solution de $f(x)=x$).

Consignes de correction: Le barème est attribué par étape. Chaque affirmation doit être justifiée. Par exemple, pour le TVI, il faut explicitement mentionner la continuité et le signe du produit des images. Pour les limites, indiquer la forme indéterminée et la méthode utilisée pour la lever.