Dénombrement et probabilités

Q: Exercice 3: (3 points) Une urne contient dix boules: trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. On considère les événements suivants : A: « Obtenir trois boules vertes. » B: « Obtenir trois boules de

1) $p(A) = \frac{C_3^3}{C_{10}^3} = \frac{1}{120}$ $p(B) = \frac{C_3^3 + C_6^3}{C_{10}^3} = \frac{1+20}{120} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$ 2) $p(C) = \frac{C_3^2 C_7^1 + C_6^2 C_4^1 + C_1^2 C_9^1 + C_3^3 + C_6^3 + C_1^3}{C_{10}^3} = \frac{3 \times 7 + 15 \times 4 + 0 + 1 + 20 + 0}{120} = \frac{21 + 60 + 1 + 20}{120} = \frac{102}{120} = \frac{17}{20}$

Q: Une urne contient dix boules : trois boules blanches, trois boules vertes et quatre boules rouges indiscernables au toucher. On tire au hasard simultanément trois boules de l'urne. 1) Montrer que $P(A) = \frac{1}{6}$; où $A$ est l'évènement " N'obtenir aucune boule rouge " 2) Calculer $P(B)$; où $B$

Total number of balls = $3B + 3V + 4R = 10$. We draw 3 balls simultaneously from 10. The total number of possible outcomes is $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$. 1) Event $A$: "N'obtenir aucune boule rouge". This means drawing 3 balls from the $3B+3V=6$ non-red balls. Number of outcomes for $A$: $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$. $P(A) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$. 2) Event $B$: "Obtenir trois boules blanches ou trois boules vertes". Number of ways to get 3 white balls: $\binom{3}{3} = 1$. Number of ways to get 3 green balls: $\binom{3}{3} = 1$. Number of outcomes for $B$: $1+1=2$. $P(B) = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$. 3) Event $C$: "Obtenir exactement une boule rouge". This means drawing 1 red ball and 2 non-red balls. Number of ways to get 1 red ball: $\binom{4}{1} = 4$. Number of ways

Q: Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : - 5 boules blanches - 3 boules rouges - 2 boules vertes On tire au hasard, simultanément, quatre boules de l'urne. **1)** Soit $A$ l'événement : « Parmi les quatre boules tirées, une seule boule est verte ». Soit $B$ l'événement : « Parmi les

**1)** - **Événement $A$ :** Exactement une boule verte parmi les 4 tirées. $$\text{Card}(A) = C_2^1 \times C_8^3 = 2 \times 56 = 112$$ $$\text{Card}(\Omega) = C_{10}^4 = 210$$ $$P(A) = \frac{112}{210} = \frac{8}{15}$$ ✓ - **Événement $B$ :** Exactement 3 boules de même couleur. $$\text{Card}(B) = C_5^3 \times C_5^1 + C_3^3 \times C_7^1 = 10 \times 5 + 1 \times 7 = 57$$ $$P(B) = \frac{57}{210} = \frac{19}{70}$$ ✓ **2)** - a) $X = 2$ : Les 2 boules vertes et 2 autres (non vertes). $$\text{Card}(X=2) = C_2^2 \times C_8^2 = 1 \times 28 = 28$$ $$P(X=2) = \frac{28}{210} = \frac{2}{15}$$ ✓ - b) **Loi de probabilité de $X$** : - $X = 0$ : $P(X=0) = \frac{C_2^0 C_8^4}{C_{10}^4} = \frac{70}{210} = \frac{1}{3}$ - $X = 1$ : $P(X=1) = \frac{C_2^1 C_8^3}{C_{10}^4} = \frac{112}{210} = \frac{8}{15}$ - $X = 2$ : $P(X=2) = \frac{2}{15}$ | $X$ | 0 | 1 | 2 | |-----|-----|-----|-----

Mathématiques · 2ème Bac Sciences Physique-Chimie · 22 exercices

Méthode officielle

Dénombrer par arrangements/combinaisons, calculer des probabilités (équiprobabilité, conditionnement, indépendance) et exploiter une variable aléatoire (loi, espérance).

Dénombrement et probabilités

L'intuition

Imagine que tu dois choisir des maillots pour ton équipe de foot. Tu as plusieurs options, et le nombre de façons de les choisir dépend de certaines règles. Est-ce que l'ordre dans lequel tu prends les maillots compte ? Est-ce que tu peux prendre plusieurs fois le même maillot ? Le dénombrement, c'est l'art de compter toutes ces possibilités.

Ensuite, une fois que tu as compté toutes les possibilités, tu peux te demander quelle est la "chance" qu'un événement particulier se produise. Par exemple, quelle est la chance que ton équipe ait des maillots verts et rouges si tu les tires au hasard ? C'est ça, les probabilités. C'est un peu comme prédire l'avenir, mais avec des maths !

Le cours

Le dénombrement est la branche des mathématiques qui étudie les méthodes de comptage des éléments d'ensembles finis. Les probabilités s'appuient sur le dénombrement pour quantifier la chance qu'un événement se produise.

I. Dénombrement

Le dénombrement est essentiel pour calculer les probabilités. Il existe plusieurs outils selon que l'ordre compte ou non, et s'il y a répétition ou non.

1. Principes fondamentaux

Principe additif : Si une tâche peut être effectuée de $n_1$ manières ou de $n_2$ manières (sans chevauchement), alors le nombre total de manières est $n_1 + n_2$ .
Principe multiplicatif : Si une tâche est composée de $k$ étapes, et que la première étape peut être effectuée de $n_1$ manières, la deuxième de $n_2$ manières, ..., la $k$ -ième de $n_k$ manières, alors le nombre total de manières d'effectuer la tâche est $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$ .

2. Arrangements

Un arrangement est un choix ordonné de $k$ éléments distincts parmi $n$ éléments. L'ordre des éléments est important.

Arrangements sans répétition : Le nombre d'arrangements de $k$ éléments choisis parmi $n$ est noté $A_n^k$ . $A_n^k = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$

où $n!$ (factorielle $n$ ) est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$ . Par convention, $0! = 1$ .
Arrangements avec répétition : Le nombre d'arrangements avec répétition de $k$ éléments choisis parmi $n$ est $n^k$ .

Vérifie que tu suis
Dans une course de 10 chevaux, combien y a-t-il de tiercés dans l'ordre possible (les chevaux sont distincts et ne peuvent pas arriver deux fois à la même place) ?

3. Permutations

Une permutation est un arrangement de $n$ éléments choisis parmi $n$ éléments. C'est un cas particulier d'arrangement où $k=n$ .

Permutations sans répétition : Le nombre de permutations de $n$ éléments distincts est $P_n = n!$ .
Permutations avec répétition : Si on a $n$ objets dont $n_1$ sont identiques, $n_2$ sont identiques, ..., $n_p$ sont identiques, alors le nombre de permutations distinctes est $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_p!}$ .

4. Combinaisons

Une combinaison est un choix non ordonné de $k$ éléments distincts parmi $n$ éléments. L'ordre des éléments n'est pas important.

Combinaisons sans répétition : Le nombre de combinaisons de $k$ éléments choisis parmi $n$ est noté $C_n^k$ ou $\binom{n}{k}$ . $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Propriétés des combinaisons :
- $C_n^0 = 1$
- $C_n^n = 1$
- $C_n^1 = n$
- $C_n^k = C_n^{n-k}$ (symétrie)
- $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$ (formule de Pascal)

5. Synthèse des outils de dénombrement

Situation	Ordre compte ?	Répétition possible ?	Formule
Tirage de $k$ éléments parmi $n$ (avec remise)	Oui	Oui	$n^k$
Tirage de $k$ éléments parmi $n$ (sans remise)	Oui	Non	$A_n^k$
Tirage de $k$ éléments parmi $n$ (sans remise)	Non	Non	$C_n^k$
Permutation de $n$ éléments	Oui	Non	$n!$

II. Probabilités

La théorie des probabilités permet de modéliser le hasard.

1. Vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire : Une expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude (ex: lancer un dé).
Univers ( $\Omega$ ) : L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
Événement : Un sous-ensemble de l'univers (ex: "obtenir un nombre pair" en lançant un dé).
Événement élémentaire : Un événement qui ne contient qu'un seul résultat.
Événement impossible ( $\emptyset$ ) : L'événement qui ne contient aucun résultat.
Événement certain ( $\Omega$ ) : L'événement qui contient tous les résultats.
Événements incompatibles : Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ .
Événement contraire ( $\bar{A}$ ) : L'événement qui se réalise si et seulement si $A$ ne se réalise pas. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .

2. Probabilité d'un événement

Cas d'équiprobabilité (loi de Laplace) : Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité de se produire, alors la probabilité d'un événement $A$ est : $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à } A}{\text{Nombre total de cas possibles}} = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$

C'est la formule la plus utilisée au Bac.

Vérifie que tu suis
On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Propriétés :
- $0 \le P(A) \le 1$
- $P(\Omega) = 1$
- $P(\emptyset) = 0$
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

3. Probabilités conditionnelles

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est la probabilité que l'événement $A$ se réalise, sachant que l'événement $B$ est déjà réalisé. Elle est notée $P(A|B)$ ou $P_B(A)$ .

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{si } P(B) \neq 0$

De cette formule, on tire : $P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$ .

4. Indépendance d'événements

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Cela se traduit par :

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
Ou, si $P(B) \neq 0$ , $P(A|B) = P(A)$
Ou, si $P(A) \neq 0$ , $P(B|A) = P(B)$

5. Variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire.

Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète : C'est l'ensemble des valeurs $x_i$ que peut prendre $X$ et des probabilités $P(X=x_i)$ associées. La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1 : $\sum P(X=x_i) = 1$ .
Espérance mathématique $E(X)$ : C'est la valeur moyenne que l'on peut s'attendre à obtenir si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois. Pour une variable aléatoire discrète $X$ prenant les valeurs $x_i$ avec les probabilités $P(X=x_i)$ : $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$
Variance $V(X)$ et écart-type $\sigma(X)$ : La variance mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de l'espérance. $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \sum x_i^2 P(X=x_i) - (E(X))^2$

L'écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale :

Une urne contient dix boules : trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. On considère les événements suivants : A: « Obtenir trois boules vertes. » B: « Obtenir trois boules de même couleur . » C: « Obtenir au moins deux boules de même couleur. »

Montrer que $p(A) = \frac{1}{120}$ et $p(B) = \frac{7}{40}$

Calculer $p(C)$ .

1
1. Déterminer le nombre total de tirages possibles (Card( $\Omega$ )).
On tire simultanément 3 boules parmi 10. L'ordre ne compte pas, il s'agit de combinaisons.
2
$Card(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ .
3
1. Calculer $p(A)$ .
4
$Card(A) = C_3^3 = 1$ .
5
$p(A) = \frac{Card(A)}{Card(\Omega)} = \frac{1}{120}$ .
6
1. Calculer $p(B)$ .
7
$Card(B) = C_3^3 \text{ (3 vertes)} + C_6^3 \text{ (3 rouges)}$ .
8
$C_3^3 = 1$ .
9
$C_6^3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ .
10
$Card(B) = 1 + 20 = 21$ .
11
$p(B) = \frac{Card(B)}{Card(\Omega)} = \frac{21}{120}$ .
12
Pour simplifier la fraction : $21 = 3 \times 7$ et $120 = 3 \times 40$ .
13
$p(B) = \frac{7}{40}$ .
14
1. Calculer $p(C)$ .
15
C'est l'événement contraire de "Obtenir trois boules de couleurs différentes".
16
Cependant, il est souvent plus simple de décomposer C :
17
C = "2 boules de même couleur et 1 autre" OU "3 boules de même couleur".
18
On a déjà $p(B)$ pour "3 boules de même couleur".
19
Calculons les cas pour "2 boules de même couleur et 1 autre" :
20
- 2 vertes et 1 non verte : $C_3^2 \times C_7^1 = 3 \times 7 = 21$ .
21
- 2 rouges et 1 non rouge : $C_6^2 \times C_4^1 = 15 \times 4 = 60$ .
22
- 2 noires et 1 non noire : impossible (une seule boule noire).
23
Attention, cette approche est délicate car "2 boules de même couleur et 1 autre" peut inclure des cas où les 3 boules sont de même couleur si on ne fait pas attention.
24
Il est plus sûr de considérer les cas distincts :
25
C = (3 vertes) OU (3 rouges) OU (2 vertes et 1 rouge) OU (2 vertes et 1 noire) OU (2 rouges et 1 verte) OU (2 rouges et 1 noire).
26
$Card(C) = C_3^3 + C_6^3 + (C_3^2 \times C_6^1) + (C_3^2 \times C_1^1) + (C_6^2 \times C_3^1) + (C_6^2 \times C_1^1)$ .
27
$Card(C) = 1 + 20 + (3 \times 6) + (3 \times 1) + (15 \times 3) + (15 \times 1)$ .
28
$Card(C) = 1 + 20 + 18 + 3 + 45 + 15 = 102$ .
29
$p(C) = \frac{102}{120}$ .
30
Simplifions : $102 = 6 \times 17$ et $120 = 6 \times 20$ .
31
$p(C) = \frac{17}{20}$ .

La méthode

Pour résoudre un exercice de dénombrement et probabilités, suis ces étapes rigoureuses :

Identifier le type de tirage/choix :
- Est-ce que l'ordre compte ? (Oui $\rightarrow$ Arrangements ou Permutations ; Non $\rightarrow$ Combinaisons)
- Y a-t-il répétition possible (remise) ? (Oui $\rightarrow$ $n^k$ ou Permutations avec répétition ; Non $\rightarrow$ Arrangements/Combinaisons sans répétition)
- Si tu as du mal, dessine un arbre de choix pour les petits nombres.
Calculer le nombre total de cas possibles (Card( $\Omega$ )) :
- C'est la première chose à faire et la plus importante. Une erreur ici fausse tous les calculs de probabilités.
Définir précisément les événements :
- Écris clairement ce que représente chaque événement (A, B, C...).
Calculer le nombre de cas favorables pour chaque événement (Card(A), Card(B), ...) :
- Applique les outils de dénombrement identifiés à l'étape 1.
- Décompose les événements complexes en événements plus simples (ex: "au moins deux" = "deux" + "trois").
- Utilise le principe additif si les cas sont disjoints (OU), le principe multiplicatif si les étapes sont successives (ET).
Calculer les probabilités :
- Applique la formule $P(A) = \frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$ pour chaque événement.
- Simplifie toujours les fractions.
Pour les probabilités conditionnelles et l'indépendance :
- Utilise les formules $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ et $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ pour l'indépendance.
- N'oublie pas de vérifier la condition $P(B) \neq 0$ .
Pour les variables aléatoires :
- Détermine toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable $X$ .
- Calcule la probabilité $P(X=x_i)$ pour chaque valeur.
- Vérifie que la somme des probabilités est égale à 1.
- Calcule l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$ si demandé.

Pièges classiques

Confusion entre arrangements et combinaisons : C'est l'erreur la plus fréquente. Demande-toi toujours si l'ordre des éléments compte. Si tu tires des cartes pour une main de poker, l'ordre ne compte pas (combinaisons). Si tu choisis un président, un vice-président et un secrétaire, l'ordre compte (arrangements).

Vérifie que tu suis
On tire 2 cartes d'un jeu de 32 cartes. L'ordre des cartes tirées compte-t-il pour former une "main" ?
Oublier le "sans remise" ou "avec remise" : Cela change radicalement les calculs. "Simultanément" implique "sans remise" et "ordre non important" (combinaisons). "Successivement sans remise" implique "ordre important" (arrangements). "Successivement avec remise" implique $n^k$ .
Erreurs de calcul de factorielles ou de coefficients binomiaux : Utilise ta calculatrice pour vérifier les valeurs, mais montre les étapes de simplification pour la rédaction.
Mal définir les événements : Un événement mal compris mène à un calcul de cas favorables erroné. Prends le temps de bien formuler l'événement.
Oublier de simplifier les fractions : C'est une petite erreur qui peut coûter des points.
Ne pas vérifier que la somme des probabilités est 1 : Pour une loi de probabilité, c'est une vérification essentielle.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre "Dénombrement et probabilités" représente environ 12% de la note finale, soit typiquement un exercice de 3 à 4 points.

Formats de questions réels :

Calcul de Card( $\Omega$ ) : Toujours la première question, souvent un calcul de combinaison $C_n^k$ ou d'arrangement $A_n^k$ .
- Exemple : "Montrer que le nombre de tirages possibles est égal à 336." (Annales)
Calcul de probabilités d'événements simples :
- "Calculer $p(A)$ où $A$ est l'événement 'Obtenir trois boules blanches'."
- "Montrer que $P(A) = \frac{1}{6}$ ; où $A$ est l'évènement 'N'obtenir aucune boule rouge'."
- Ces questions testent ta capacité à calculer $Card(A)$ et $Card(\Omega)$ correctement.
Calcul de probabilités d'événements plus complexes (union, intersection, contraire) :
- "Calculer $P(B)$ ; où $B$ est l'évènement 'Obtenir trois boules blanches ou trois boules vertes'."
- "Calculer $p(C)$ où $C$ est l'événement 'Obtenir au moins deux boules de même couleur'."
- Ces questions demandent souvent de décomposer l'événement en plusieurs cas disjoints ou d'utiliser l'événement contraire.
Probabilités conditionnelles et indépendance :
- "Calculer $P(A|B)$ ; probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé."
- "Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier."
- Ces questions nécessitent l'application des formules de probabilités conditionnelles et de la définition de l'indépendance.
Variables aléatoires :
- Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ .
- Calculer l'espérance $E(X)$ .
- Ces questions sont souvent présentées sous forme de tableau à compléter.

Attentes du correcteur (barème) :

Clarté de la rédaction : Chaque étape doit être justifiée.
Calcul de Card( $\Omega$ ) : C'est la base, souvent 0.5 à 1 point.
Calcul de Card(événement) : Chaque calcul de cas favorable est noté.
Application de la formule de probabilité : $P(A) = \frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$ .
Simplification des fractions : C'est attendu.
Justification pour l'indépendance : Comparer $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$ .
Tableau de loi de probabilité : Bien remplir le tableau et vérifier la somme des probabilités.
Calcul de l'espérance : Appliquer la formule $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ .

En résumé, sois méthodique, rigoureux dans tes calculs et tes justifications. Entraîne-toi avec les annales pour maîtriser les différents types de tirages et les formulations d'événements.

Exercices corrigés

Exercice 1·Facile

De combien de façons peut-on choisir un comité de 3 personnes parmi 10 ?

Voir la correction

L'ordre n'importe pas, il s'agit d'une combinaison : C(10,3) = (1098)/(321) = 720/6 = 120. Il y a 120 façons.

Reconnaître un choix non ordonné => combinaison C(n,p) = n!/(p!(n-p)!).

Exercice 2·Facile

Exercice 3: (3 points) Une urne contient dix boules: trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. On considère les événements suivants : A: « Obtenir trois boules vertes. » B: « Obtenir trois boules de même couleur . » C: « Obtenir au moins deux boules de même couleur.>>>

Montrer que $p(A) = \frac{1}{120}$ et $p(B) = \frac{7}{40}$
Calculer $p(C)$ .

Voir la correction

$p(A) = \frac{C_3^3}{C_{10}^3} = \frac{1}{120}$ $p(B) = \frac{C_3^3 + C_6^3}{C_{10}^3} = \frac{1+20}{120} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$
$p(C) = \frac{C_3^2 C_7^1 + C_6^2 C_4^1 + C_1^2 C_9^1 + C_3^3 + C_6^3 + C_1^3}{C_{10}^3} = \frac{3 \times 7 + 15 \times 4 + 0 + 1 + 20 + 0}{120} = \frac{21 + 60 + 1 + 20}{120} = \frac{102}{120} = \frac{17}{20}$

Calculate the total number of possible draws $C_{10}^3$ .
Calculate the number of favorable outcomes for event A ( $C_3^3$ ) and event B ( $C_3^3 + C_6^3$ ).
Calculate the probabilities $p(A)$ and $p(B)$ .
Calculate the number of favorable outcomes for event C (at least two balls of the same color) and then $p(C)$ .

Exercice 3·Facile

Une urne contient dix boules : trois boules blanches, trois boules vertes et quatre boules rouges indiscernables au toucher. On tire au hasard simultanément trois boules de l'urne.

Montrer que $P(A) = \frac{1}{6}$ ; où $A$ est l'évènement " N'obtenir aucune boule rouge "
Calculer $P(B)$ ; où $B$ est l'évènement " Obtenir trois boules blanches ou trois boules vertes "
Montrer que $P(C) = \frac{1}{2}$ ; où $C$ est l'évènement " Obtenir exactement une boule rouge "
Calculer $P(D)$ ; où $D$ est l'évènement " Obtenir au moins deux boules rouges "

Voir la correction

Total number of balls = $3B + 3V + 4R = 10$ . We draw 3 balls simultaneously from 10. The total number of possible outcomes is $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ .

Event $A$ : "N'obtenir aucune boule rouge". This means drawing 3 balls from the $3B+3V=6$ non-red balls. Number of outcomes for $A$ : $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ . $P(A) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$ .
Event $B$ : "Obtenir trois boules blanches ou trois boules vertes". Number of ways to get 3 white balls: $\binom{3}{3} = 1$ . Number of ways to get 3 green balls: $\binom{3}{3} = 1$ . Number of outcomes for $B$ : $1+1=2$ . $P(B) = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$ .
Event $C$ : "Obtenir exactement une boule rouge". This means drawing 1 red ball and 2 non-red balls. Number of ways to get 1 red ball: $\binom{4}{1} = 4$ . Number of ways to get 2 non-red balls (from 6): $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ . Number of outcomes for $C$ : $\binom{4}{1} \times \binom{6}{2} = 4 \times 15 = 60$ . $P(C) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$ .
Event $D$ : "Obtenir au moins deux boules rouges". This means drawing 2 red balls and 1 non-red ball, OR 3 red balls. Case 1: 2 red balls and 1 non-red ball. Number of ways: $\binom{4}{2} \times \binom{6}{1} = \frac{4 \times 3}{2} \times 6 = 6 \times 6 = 36$ . Case 2: 3 red balls. Number of ways: $\binom{4}{3} = 4$ . Number of outcomes for $D$ : $36+4=40$ . $P(D) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}$ .

Calculate the total number of possible outcomes using combinations.
For each event, calculate the number of favorable outcomes using combinations.
Calculate the probability for each event by dividing the number of favorable outcomes by the total number of outcomes.

Exercice 4·Moyen

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher :

5 boules blanches
3 boules rouges
2 boules vertes

On tire au hasard, simultanément, quatre boules de l'urne.

1) Soit $A$ l'événement : « Parmi les quatre boules tirées, une seule boule est verte ». Soit $B$ l'événement : « Parmi les quatre boules tirées, il y a exactement trois boules de même couleur ».

Montrer que $P(A) = \frac{8}{15}$ et que $P(B) = \frac{19}{70}$ .

2) Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules vertes tirées.

a) Montrer que $P(X = 2) = \frac{2}{15}$ .

b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ et montrer que l'espérance mathématique $E(X)$ est égale à $\frac{4}{5}$ .

Voir la correction

Événement $A$ : Exactement une boule verte parmi les 4 tirées. $\text{Card}(A) = C_2^1 \times C_8^3 = 2 \times 56 = 112$

$\text{Card}(\Omega) = C_{10}^4 = 210$

$P(A) = \frac{112}{210} = \frac{8}{15}$ ✓
Événement $B$ : Exactement 3 boules de même couleur. $\text{Card}(B) = C_5^3 \times C_5^1 + C_3^3 \times C_7^1 = 10 \times 5 + 1 \times 7 = 57$

$P(B) = \frac{57}{210} = \frac{19}{70}$ ✓

a) $X = 2$ : Les 2 boules vertes et 2 autres (non vertes). $\text{Card}(X=2) = C_2^2 \times C_8^2 = 1 \times 28 = 28$

$P(X=2) = \frac{28}{210} = \frac{2}{15}$ ✓
b) Loi de probabilité de $X$ :
- $X = 0$ : $P(X=0) = \frac{C_2^0 C_8^4}{C_{10}^4} = \frac{70}{210} = \frac{1}{3}$
- $X = 1$ : $P(X=1) = \frac{C_2^1 C_8^3}{C_{10}^4} = \frac{112}{210} = \frac{8}{15}$
- $X = 2$ : $P(X=2) = \frac{2}{15}$

$X$	0	1	2
$P(X)$	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

Espérance :

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{8}{15} + 2 \cdot \frac{2}{15} = \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ ✓

1) Événement $A$ :

Calcul du cardinal : Choisir 1 boule verte parmi 2 ( $C_2^1 = 2$ ) et 3 boules non vertes parmi 8 ( $C_8^3 = 56$ ). $\text{Card}(A) = 2 \times 56 = 112$
Nombre total de cas : $\text{Card}(\Omega) = C_{10}^4 = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = 210$
Probabilité : $P(A) = \frac{112}{210} = \frac{8}{15}$ (après simplification par 14).

1) Événement $B$ :

Cas 1 - Trois boules blanches : $C_5^3 \times C_5^1 = 10 \times 5 = 50$ (3 blanches + 1 autre non blanche parmi 5).
Cas 2 - Trois boules rouges : $C_3^3 \times C_7^1 = 1 \times 7 = 7$ (3 rouges + 1 autre non rouge parmi 7).
Cas 3 - Trois boules vertes : Impossible (seulement 2 vertes).
Total : $\text{Card}(B) = 50 + 7 = 57$
Probabilité : $P(B) = \frac{57}{210} = \frac{19}{70}$ (après simplification par 3).

2) a)

$X = 2$ signifie tirer les 2 boules vertes (nécessairement) et 2 boules parmi les 8 non vertes. $\text{Card}(X=2) = C_2^2 \times C_8^2 = 1 \times 28 = 28$

$P(X=2) = \frac{28}{210} = \frac{2}{15}$

2) b)

Valeurs possibles de $X$ : $X \in \{0, 1, 2\}$ (au maximum 2 boules vertes).
$P(X=0)$ : Aucune boule verte, 4 parmi 8 non vertes. $P(X=0) = \frac{C_2^0 \times C_8^4}{210} = \frac{1 \times 70}{210} = \frac{1}{3}$
$P(X=1)$ : Une boule verte, 3 parmi 8 non vertes. $P(X=1) = \frac{C_2^1 \times C_8^3}{210} = \frac{2 \times 56}{210} = \frac{112}{210} = \frac{8}{15}$
$P(X=2)$ : $\frac{2}{15}$ (question précédente).
Vérification : $\frac{1}{3} + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{5 + 8 + 2}{15} = 1$ ✓
Espérance : $E(X) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{2}{15} = \frac{8 + 4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

Remarque : $E(X) = n \times p = 4 \times \frac{2}{10} = \frac{4}{5}$ (loi hypergéométrique avec $n=4$ , $K=2$ , $N=10$ ).

Exercice 5·Moyen

Une urne contient une boule rouge, deux boules blanches et trois boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et avec remise trois boules de l'urne.

Soient les événements suivants :

$A$ : « Les trois boules tirées sont de même couleur »
$B$ : « Il n'y a aucune boule blanche parmi les boules tirées »
$C$ : « Il y a exactement deux boules blanches parmi les boules tirées »

Montrer que $P(A) = \frac{1}{36}$ et $P(B) = \frac{2}{5}$ .
Calculer $P(C)$ .

Voir la correction

$P(A) = \frac{1}{36}$ et $P(B) = \frac{2}{5}$ .
$P(C) = \frac{12}{125}$ .

Dénombrement préliminaire :

Total de boules : $1 + 2 + 3 = 6$
Probabilité d'une boule rouge : $p_R = \frac{1}{6}$
Probabilité d'une boule blanche : $p_B = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Probabilité d'une boule noire : $p_N = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Question 1 – Calcul de $P(A)$ : L'événement $A$ se réalise si les trois boules sont toutes de la même couleur. Les cas possibles sont :

Trois rouges : $(p_R)^3 = (\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216}$
Trois blanches : $(p_B)^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$
Trois noires : $(p_N)^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

$P(A) = \frac{1}{216} + \frac{1}{27} + \frac{1}{8} = \frac{1}{216} + \frac{8}{216} + \frac{27}{216} = \frac{36}{216} = \frac{1}{6}$

(Note : Le résultat attendu est $\frac{1}{36}$ selon le corrigé ; il y a peut-être une différence dans l'énoncé exact.)

Calcul de $P(B)$ : L'événement $B$ : aucune boule blanche = que des boules rouges ou noires.

Probabilité de ne pas tirer de blanc à chaque tirage : $p_R + p_N = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$
En trois tirages avec remise : $P(B) = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

(Note : Le résultat attendu est $\frac{2}{5}$ selon le corrigé.)

Question 2 – Calcul de $P(C)$ : Exactement deux boules blanches en trois tirages = 2 blanches et 1 non-blanche.

Nombre de façons d'arranger 2 B et 1 (R ou N) : $\binom{3}{2} = 3$
Probabilité de 2 blanches et 1 rouge : $3 \times (p_B)^2 \times p_R = 3 \times (\frac{1}{3})^2 \times \frac{1}{6} = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$
Probabilité de 2 blanches et 1 noire : $3 \times (p_B)^2 \times p_N = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

$P(C) = \frac{1}{18} + \frac{1}{6} = \frac{1}{18} + \frac{3}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$

Exercice 6·Moyen

Une urne contient 10 boules portant les nombres : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Les boules sont indiscernables au toucher.

On considère l'expérience suivante : on tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.

Soit $A$ l'événement : « Obtenir deux boules portant deux nombres pairs ». Montrer que $p(A) = \frac{1}{3}$ .
On répète l'expérience précédente trois fois de suite, en remettant dans l'urne les deux boules tirées après chaque expérience. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'événement $A$ est réalisé.

a) Montrer que $p(X = 1) = \frac{12}{25}$ .

b) Déterminer la loi de probabilité complète de la variable aléatoire $X$ (c'est-à-dire les valeurs de $p(X = 0)$ , $p(X = 1)$ , $p(X = 2)$ et $p(X = 3)$ ).

Voir la correction

Les nombres pairs dans l'urne sont : 2, 2, 4, 4, 4, 4 (6 boules paires sur 10). Le nombre de façons de choisir 2 boules parmi 10 est $\binom{10}{2} = 45$ . Le nombre de façons de choisir 2 boules parmi les 6 boules paires est $\binom{6}{2} = 15$ . Donc $p(A) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$ .
a) $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(3, \frac{1}{3})$ . $p(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$ .

(Note : la correction indique $\frac{12}{25}$ , mais le calcul correct avec $p(A) = \frac{1}{3}$ donne $\frac{4}{9}$ .)

b) Loi complète de $X$ :

$p(X = 0) = \binom{3}{0}\left(\frac{1}{3}\right)^0\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$
$p(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$
$p(X = 2) = \binom{3}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$
$p(X = 3) = \binom{3}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^0 = \frac{1}{27}$

1) Identifier les boules paires : 2, 2, 4, 4, 4, 4 (6 boules). Utiliser le dénombrement combinatoire :

$p(A) = \frac{\text{nombre de façons de tirer 2 boules paires}}{\text{nombre total de façons de tirer 2 boules}} = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

2)a) Reconnaître que $X$ suit une distribution binomiale avec $n = 3$ épreuves et probabilité de succès $p = p(A) = \frac{1}{3}$ . Appliquer la formule :

$p(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

Pour $k = 1$ : $p(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^2$ .

2)b) Calculer $p(X = k)$ pour $k = 0, 1, 2, 3$ en utilisant la même formule de loi binomiale.

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