Fonctions logarithmes

Le logarithme népérien, noté $\ln$, est une fonction fondamentale en mathématiques. Tu la rencontreras souvent, notamment pour résoudre des équations, étudier des fonctions ou calculer des limites. Ce chapitre est un pilier de l'analyse au Bac.

L'intuition

Imagine que tu as une machine qui prend un nombre $x$ et te donne un autre nombre $y$. La fonction $\ln(x)$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $e^x$. C'est-à-dire que si tu appliques l'exponentielle à $\ln(x)$, tu retrouves $x$, et inversement.

Pense à l'échelle de Richter pour les tremblements de terre, ou l'échelle des décibels pour le son. Ces échelles sont logarithmiques. Elles permettent de représenter des phénomènes qui varient énormément (de très petits à très grands nombres) de manière plus compacte et compréhensible. Le logarithme "compresse" les grands nombres et "étire" les petits.

Le cours

I. Définition et propriétés fondamentales

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0, +\infty[$.

Définition 1 : La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $x \mapsto e^x$. Elle est définie pour tout $x \in ]0, +\infty[$. Cela signifie que pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ : $y = \ln(x) \iff x = e^y$

Conséquences directes :

• $\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$.
• $\ln(e) = 1$ car $e^1 = e$.
• Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$.
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.

II. Propriétés algébriques du logarithme népérien

Ces propriétés sont cruciales pour simplifier les expressions et résoudre les équations et inéquations.

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs, et $r$ un réel.

1. $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
2. $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$
3. $\ln(a^r) = r \ln(a)$
4. $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ (cas particulier de la propriété 2 avec $b=1$)
5. $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)$ (cas particulier de la propriété 3 avec $r=\frac{1}{2}$)

III. Étude de la fonction $\ln(x)$

1. Domaine de définition et continuité

La fonction $\ln$ est définie sur $]0, +\infty[$. Elle est continue et dérivable sur $]0, +\infty[$.

2. Limites aux bornes du domaine de définition

• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

3. Dérivée

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et sa dérivée est : $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $\ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

4. Sens de variation

Puisque pour tout $x > 0$, $(\ln(x))' = \frac{1}{x} > 0$, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

Tableau de variation :

5. Courbe représentative

La courbe de $\ln(x)$ passe par $(1,0)$ et $(e,1)$. Elle admet l'axe des ordonnées (la droite d'équation $x=0$) comme asymptote verticale.

IV. Limites usuelles

Ces limites sont très importantes pour le calcul des limites de fonctions plus complexes.

1. $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
2. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissances comparées)
3. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
4. $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$

V. Résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques

La stricte croissance de la fonction $\ln$ est essentielle ici.

1. Équations

Pour résoudre une équation du type $\ln(A(x)) = \ln(B(x))$ :

1. Déterminer le domaine de validité de l'équation : $A(x) > 0$ et $B(x) > 0$.
2. Utiliser la stricte croissance de $\ln$ : $\ln(A(x)) = \ln(B(x)) \iff A(x) = B(x)$.
3. Résoudre l'équation $A(x) = B(x)$.
4. Vérifier que les solutions obtenues sont dans le domaine de validité.

Pour résoudre une équation du type $\ln(A(x)) = k$ (où $k \in \mathbb{R}$) :

1. Déterminer le domaine de validité de l'équation : $A(x) > 0$.
2. Utiliser la définition : $\ln(A(x)) = k \iff A(x) = e^k$.
3. Résoudre l'équation $A(x) = e^k$.
4. Vérifier que les solutions obtenues sont dans le domaine de validité.

2. Inéquations

Pour résoudre une inéquation du type $\ln(A(x)) < \ln(B(x))$ :

1. Déterminer le domaine de validité de l'inéquation : $A(x) > 0$ et $B(x) > 0$.
2. Utiliser la stricte croissance de $\ln$ : $\ln(A(x)) < \ln(B(x)) \iff A(x) < B(x)$.
3. Résoudre l'inéquation $A(x) < B(x)$.
4. L'ensemble des solutions est l'intersection du domaine de validité et des solutions de $A(x) < B(x)$.

Pour résoudre une inéquation du type $\ln(A(x)) < k$ :

1. Déterminer le domaine de validité : $A(x) > 0$.
2. Utiliser la définition : $\ln(A(x)) < k \iff A(x) < e^k$.
3. Résoudre l'inéquation $A(x) < e^k$.
4. L'ensemble des solutions est l'intersection du domaine de validité et des solutions de $A(x) < e^k$.

(Adapte pour les signes $>, \le, \ge$)

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

1. b) $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$ pour $x \in ]0; +\infty[$
2. $\ln x + \ln(x + 1) > \ln(x^2 + 1)$ pour $x \in ]0; +\infty[$"

Résolution de 1) b) : $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$

1. 1

   1. Déterminer le domaine de validité.

   L'énoncé nous donne $x \in ]0; +\infty[$.

2. 2

   Vérifions les arguments des $\ln$ :

3. 3

   $x^2+5 > 0$ est toujours vrai pour $x \in \mathbb{R}$, donc pour $x \in ]0; +\infty[$.

4. 4

   $x+2 > 0 \implies x > -2$. C'est vrai pour $x \in ]0; +\infty[$.

5. 5

   $2x > 0 \implies x > 0$.

6. 6

   Donc le domaine de validité est $D = ]0; +\infty[$.

7. 7

   2. Appliquer les propriétés algébriques.

8. 8

   $\ln(x^2 + 5) = \ln(2x^2 + 4x)$

9. 9

   3. Résoudre l'équation équivalente.

10. 10

    $x^2 + 5 = 2x^2 + 4x$

11. 11

    $0 = 2x^2 - x^2 + 4x - 5$

12. 12

    $0 = x^2 + 4x - 5$

13. 13

    4. Résoudre l'équation du second degré.

14. 14

    Calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$.

15. 15

    Les solutions sont $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

16. 16

    $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

17. 17

    $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

18. 18

    5. Vérifier les solutions par rapport au domaine de validité.

19. 19

    $x_1 = -5$ n'appartient pas à $D$.

20. 20

    $x_2 = 1$ appartient à $D$.

21. 21

    6. Conclure.

22. 22

    L'ensemble des solutions est $S = \\{1\\}$.

Étape suivante

Résolution de 2) : $\ln x + \ln(x + 1) > \ln(x^2 + 1)$

1. 1

   1. Déterminer le domaine de validité.

   L'énoncé nous donne $x \in ]0; +\infty[$.

2. 2

   Vérifions les arguments des $\ln$ :

3. 3

   $x > 0$.

4. 4

   $x+1 > 0 \implies x > -1$.

5. 5

   $x^2+1 > 0$ est toujours vrai pour $x \in \mathbb{R}$, donc pour $x \in ]0; +\infty[$.

6. 6

   Donc le domaine de validité est $D = ]0; +\infty[$.

7. 7

   2. Appliquer les propriétés algébriques.

8. 8

   $\ln(x^2 + x) > \ln(x^2 + 1)$

9. 9

   3. Résoudre l'inéquation équivalente.

10. 10

    $x^2 + x > x^2 + 1$

11. 11

    $x > 1$

12. 12

    4. Intersecter avec le domaine de validité.

13. 13

    Le domaine de validité est $D = ]0; +\infty[$.

14. 14

    L'intersection de $]1; +\infty[$ et $]0; +\infty[$ est $]1; +\infty[$.

15. 15

    5. Conclure.

Étape suivante

La méthode

Voici les étapes types pour aborder les exercices sur les fonctions logarithmes.

1. Domaine de définition : Toujours commencer par déterminer le domaine de définition de la fonction ou de l'équation/inéquation. Pour $\ln(u(x))$, il faut que $u(x) > 0$. C'est la première chose à écrire sur ta copie.
2. Simplification : Utilise les propriétés algébriques de $\ln$ pour simplifier les expressions. Regroupe les termes $\ln(A) + \ln(B)$ en $\ln(AB)$, etc.
3. Résolution :
   • Équations :
     • Si $\ln(A(x)) = \ln(B(x))$, alors $A(x) = B(x)$.
     • Si $\ln(A(x)) = k$, alors $A(x) = e^k$.
   • Inéquations :
     • Si $\ln(A(x)) < \ln(B(x))$, alors $A(x) < B(x)$ (car $\ln$ est croissante).
     • Si $\ln(A(x)) > k$, alors $A(x) > e^k$.
   • N'oublie pas de toujours vérifier que les solutions trouvées appartiennent au domaine de définition initial.
4. Calcul de limites :
   • Identifie la forme indéterminée si elle existe ($0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$).
   • Utilise les limites usuelles (croissances comparées, $\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1$).
   • Factorise ou change de variable si nécessaire.
5. Calcul de dérivées :
   • Applique la formule $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
   • N'oublie pas les règles de dérivation des produits, quotients, sommes.
6. Étude de fonction :
   • Domaine de définition.
   • Limites aux bornes.
   • Calcul de la dérivée $f'(x)$.
   • Étude du signe de $f'(x)$ pour déterminer le sens de variation de $f$.
   • Tableau de variation.
   • Branches infinies (asymptotes verticales, horizontales, obliques, branches paraboliques).

Pièges classiques

• Oubli du domaine de définition : C'est l'erreur la plus fréquente et la plus pénalisante. Une solution trouvée qui n'est pas dans le domaine de définition n'est pas une solution.
  • Exemple : Résoudre $\ln(x-1) = 0$.
    • Domaine : $x-1 > 0 \implies x > 1$.
    • $x-1 = e^0 = 1 \implies x = 2$.
    • $2 > 1$, donc $S=\\{2\\}$.
  • Exemple : Résoudre $\ln(x) + \ln(x-3) = \ln(4)$.
    • Domaine : $x>0$ et $x-3>0 \implies x>3$. Donc $D=]3;+\infty[$.
    • $\ln(x(x-3)) = \ln(4) \implies x^2-3x = 4 \implies x^2-3x-4=0$.
    • Solutions : $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.
    • $x_1 = -1$ n'est pas dans $D$. $x_2 = 4$ est dans $D$.
    • $S=\\{4\\}$.
• Erreurs dans les propriétés algébriques :
  • $\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)$
  • $\ln(a) \ln(b) \neq \ln(ab)$
  • $\frac{\ln(a)}{\ln(b)} \neq \ln(\frac{a}{b})$
• Confondre $\ln(x^2)$ et $(\ln x)^2$ :
  • $\ln(x^2) = 2\ln(x)$ pour $x>0$.
  • $(\ln x)^2 = (\ln x) \times (\ln x)$.
• Erreurs de signe lors de la dérivation : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$, pas $-\frac{u'(x)}{u(x)}$.
• Mauvaise application des croissances comparées : $\ln(x)$ croît moins vite que n'importe quelle puissance de $x$ ($x^n$ avec $n>0$) à l'infini. $x \ln(x)$ tend vers $0$ en $0^+$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur les fonctions logarithmes est systématiquement évalué, souvent dans le cadre d'une étude de fonction plus large (la "Partie II" du problème). Il représente une part significative des points en analyse.

Voici les types de questions que tu rencontreras, avec leur pondération typique :

• Application directe des propriétés algébriques (0.5 - 1 point) :
  • Simplifier une expression contenant des $\ln$.
  • Résoudre une équation ou inéquation simple.
  • Exemple d'annale : "Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes : $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$"
• Calcul de limites (1 - 2 points) :
  • Limites aux bornes du domaine de définition.
  • Limites faisant intervenir les croissances comparées ou les limites usuelles.
  • Interprétation graphique (asymptote verticale/horizontale/oblique, branche parabolique).
  • Exemple d'annale : "Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et donner une interprétation géométrique." ou "Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$."
• Calcul de dérivées et sens de variation (1 - 1.5 points) :
  • Calculer $f'(x)$.
  • Étudier le signe de $f'(x)$ (souvent en s'aidant d'une fonction auxiliaire $g(x)$ étudiée dans une "Partie I").
  • Dresser le tableau de variation.
  • Exemple d'annale : "Montrer que $g'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$, et en déduire que $g$ est croissante sur $]0, +\infty[$. "
• Étude complète d'une fonction (3 - 5 points) :
  • Combine tous les points précédents : domaine, limites, dérivée, variations, tableau, branches infinies, points d'intersection, tangente.
  • Souvent, une fonction auxiliaire $g(x)$ est introduite pour étudier le signe de $f'(x)$.
  • Exemple d'annale : Le problème complet du sujet est souvent une étude de fonction avec $\ln$.

Attentes de correction :

• Rigueur : Chaque étape doit être justifiée. Ne saute pas d'étapes.
• Domaine de définition : Toujours le mentionner explicitement au début de la résolution d'équations/inéquations ou de l'étude de fonction.
• Calculs : Détailler les calculs de limites et de dérivées.
• Interprétations graphiques : Bien formuler les conclusions (ex: "La droite d'équation $x=0$ est une asymptote verticale à la courbe $(C_f)$").
• Tableau de variation : Clair, complet, avec les limites et les valeurs aux points remarquables.

Ce chapitre est très prévisible dans son évaluation. Maîtriser ces points te garantira une bonne partie des points en analyse.