Dérivabilité et étude des fonctions

Ce chapitre est fondamental pour comprendre le comportement des fonctions et représente une part importante de l'examen national. Il s'agit de maîtriser les outils de la dérivabilité pour analyser et représenter graphiquement une fonction.

L'intuition

Khoya, la dérivée dyal une fonction, machi hiya la fonction rassha. La dérivée, c'est comme le GPS dyal la fonction. Katgoul lik wach la fonction tal3a (croissante) ou habta (décroissante) f'hadik la blassa, ou wach kayn chi virage (extremum). C'est la "pente" dyal la courbe f'chaque point. Si la pente positive, ra tal3a, si négative, ra habta. S'il n'y a pas de pente, ra kayn chi sommet ou chi creux.

Le cours

I. Rappels sur la dérivabilité

1. Nombre dérivé et interprétation graphique

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie :

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = L$

Ce nombre $L$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$ et est noté $f'(a)$.

Interprétation géométrique : Si $f$ est dérivable en $a$, alors la courbe représentative de $f$, notée $(C_f)$, admet une tangente non verticale au point $A(a, f(a))$. Le coefficient directeur de cette tangente est $f'(a)$. L'équation de cette tangente est : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

2. Dérivabilité sur un intervalle

On dit que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$. La fonction qui associe à chaque $x \in I$ son nombre dérivé $f'(x)$ est appelée la fonction dérivée de $f$ et est notée $f'$.

3. Opérations sur les fonctions dérivées

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ un réel.

4. Dérivées des fonctions usuelles

II. Applications de la dérivée : Étude des variations

1. Théorème fondamental

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est constante sur $I$.

2. Extremums locaux

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $f$ admet un extremum local (maximum ou minimum) en un point $x_0 \in I$ qui n'est pas une extrémité de $I$, alors $f'(x_0) = 0$. Réciproquement, si $f'(x_0) = 0$ et si $f'(x)$ change de signe en $x_0$, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.

Tableau de variations : Il résume les informations sur le signe de $f'(x)$ et les variations de $f(x)$.

III. Branches infinies et asymptotes

L'étude des branches infinies permet de comprendre le comportement de la courbe aux bornes de son domaine de définition.

1. Asymptote verticale

Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.

2. Asymptote horizontale

Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ (où $L$ est un réel), alors la droite d'équation $y=L$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $\pm \infty$.

3. Asymptote oblique

Si $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$ (où $a, b$ sont des réels et $a \neq 0$), alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $\pm \infty$. Pour trouver $a$ et $b$ :

• $a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$
• $b = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - ax]$

4. Branches paraboliques

Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty$, on étudie $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$.

• Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty$, alors $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
• Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, alors $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
• Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ ($a \neq 0$) et $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - ax] = \pm \infty$, alors $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y=ax$.

IV. Concavité et points d'inflexion

1. Dérivée seconde

La dérivée seconde $f''(x)$ est la dérivée de la fonction $f'(x)$.

2. Concavité

• Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $(C_f)$ est convexe (sa concavité est tournée vers le haut).
• Si $f''(x) < 0$ sur un intervalle $I$, alors $(C_f)$ est concave (sa concavité est tournée vers le bas).

3. Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la concavité de la courbe change. Si $f''(x_0) = 0$ et si $f''(x)$ change de signe en $x_0$, alors le point $(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de $(C_f)$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : Exercice 3 : (4 points ) On considère la fonction numérique $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x)=2\sqrt{x}-2-\ln x$ 1)a) Montrer que pour tout $x$ de $]0,+\infty[$, $g'(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x}$ b) Montrer que $g$ est croissante sur $[1,+\infty[$ c) en déduire que pour tout $x$ de $[1,+\infty[$, $0\le \ln x\le 2\sqrt{x}$ (remarquer que $2\sqrt{x}-2\le 2\sqrt{x}$)

Solution détaillée :

1)a) Calcul de $g'(x)$ : La fonction $g(x)=2\sqrt{x}-2-\ln x$ est définie et dérivable sur $]0, +\infty[$. On utilise les formules de dérivation : $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $(k)' = 0$ (pour une constante $k$) $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

$g'(x) = (2\sqrt{x})' - (2)' - (\ln x)'$

$g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0 - \frac{1}{x}$

$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x}$

Pour mettre au même dénominateur, on multiplie $\frac{1}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ :

$g'(x) = \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{1}{x}$

$g'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x}$

Ainsi, pour tout $x \in ]0,+\infty[$, $g'(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x}$.

1)b) Étude des variations de $g$ sur $[1,+\infty[$ : Pour étudier les variations de $g$, on étudie le signe de $g'(x)$. Sur l'intervalle $]0,+\infty[$, le dénominateur $x$ est toujours positif. Le signe de $g'(x)$ dépend donc du signe du numérateur $\sqrt{x}-1$.

On cherche quand $\sqrt{x}-1 \ge 0$ :

$\sqrt{x}-1 \ge 0$

$\sqrt{x} \ge 1$

Puisque $x > 0$, on peut élever au carré sans changer le sens de l'inégalité :

$(\sqrt{x})^2 \ge 1^2$

$x \ge 1$

Donc :

• Si $x \in ]0, 1[$, alors $\sqrt{x}-1 < 0$, d'où $g'(x) < 0$. $g$ est décroissante sur $]0, 1]$.
• Si $x = 1$, alors $\sqrt{x}-1 = 0$, d'où $g'(1) = 0$.
• Si $x \in ]1, +\infty[$, alors $\sqrt{x}-1 > 0$, d'où $g'(x) > 0$. $g$ est croissante sur $[1, +\infty[$.

L'énoncé demande de montrer que $g$ est croissante sur $[1,+\infty[$. C'est bien ce que nous avons trouvé.

1)c) Déduction de l'inégalité $0\le \ln x\le 2\sqrt{x}$ pour $x \in [1,+\infty[$ : Puisque $g$ est croissante sur $[1, +\infty[$, pour tout $x \in [1, +\infty[$, on a $g(x) \ge g(1)$. Calculons $g(1)$ :

$g(1) = 2\sqrt{1} - 2 - \ln(1)$

$g(1) = 2 \cdot 1 - 2 - 0$

$g(1) = 2 - 2 - 0 = 0$

Donc, pour tout $x \in [1, +\infty[$, $g(x) \ge 0$.

$2\sqrt{x} - 2 - \ln x \ge 0$

$2\sqrt{x} - 2 \ge \ln x$

On a donc $\ln x \le 2\sqrt{x} - 2$. L'énoncé nous demande de déduire $0\le \ln x\le 2\sqrt{x}$. On sait que pour $x \in [1, +\infty[$, $\ln x \ge 0$. (La fonction $\ln x$ est positive pour $x \ge 1$). De plus, on a $2\sqrt{x} - 2 \le 2\sqrt{x}$ (car $-2 \le 0$). En combinant ces inégalités : On a $\ln x \ge 0$ pour $x \ge 1$. On a $\ln x \le 2\sqrt{x} - 2$. Et on sait que $2\sqrt{x} - 2 \le 2\sqrt{x}$. Donc, par transitivité, $0 \le \ln x \le 2\sqrt{x} - 2 \le 2\sqrt{x}$. Finalement, pour tout $x \in [1, +\infty[$, on a bien $0 \le \ln x \le 2\sqrt{x}$.

La méthode

La méthode officielle pour l'étude de fonction suit des étapes précises :

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ | Appliquer les règles de dérivation et simplifier l'expression.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ | Résoudre $f'(x) > 0$, $f'(x) < 0$ et $f'(x) = 0$ pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.
3. Dresser le tableau de variations | Récapituler le signe de $f'(x)$, les variations de $f(x)$ et les limites aux bornes du domaine de définition.
4. Déterminer les extremums, branches infinies et asymptotes | Identifier les points où $f'(x)=0$ et change de signe pour les extremums. Calculer les limites aux bornes du domaine pour trouver les asymptotes (verticales, horizontales, obliques) ou les branches paraboliques.
5. Tracer la courbe | Utiliser toutes les informations précédentes (points remarquables, tangentes, asymptotes, variations) pour esquisser la courbe représentative de la fonction.

Pièges classiques

Un piège classique, khoya, c'est de croire que si $f'(x_0) = 0$, alors forcément kayn un extremum f'hadik $x_0$. Machi dima! Par exemple, la fonction $f(x) = x^3$, sa dérivée c'est $f'(x) = 3x^2$. En $x=0$, $f'(0)=0$. Mais la fonction $x^3$ katbqa dima tal3a, elle ne change pas de variation. Donc $x=0$ machi un extremum, c'est un point d'inflexion. Faut que $f'(x)$ tbeddel le signe dyalha 3la ymin w ysar $x_0$ bach tkoun extremum.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur la dérivabilité et l'étude de fonctions sont très fréquentes et suivent un schéma récurrent. Voici les formats typiques et leur barème :

1. Calcul de la dérivée (0.5 - 0.75 point)

   • Geste attendu : Application correcte des formules de dérivation et simplification algébrique.
   • Exemple : "Montrer que pour tout $x$ de $]0,+\infty[$, $g'(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x}$"

2. Étude du signe de la dérivée et variations (0.5 - 1 point)

   • Geste attendu : Résolution d'inégalités pour $f'(x)$, déduction des intervalles de croissance/décroissance.
   • Exemple : "Montrer que $g$ est croissante sur $[1,+\infty[$"

3. Déduction d'inégalités ou de propriétés (0.5 - 1 point)

   • Geste attendu : Utilisation des variations de la fonction et de la valeur en un point clé (souvent un extremum ou une borne).
   • Exemple : "En déduire que pour tout $x$ de $[1,+\infty[$, $0\le \ln x\le 2\sqrt{x}$"

4. Calcul de limites et interprétation géométrique (0.5 - 1 point par limite/asymptote)

   • Geste attendu : Application des techniques de calcul de limites (factorisation, conjugué, croissances comparées) et formulation de l'interprétation (asymptote verticale/horizontale/oblique, branche parabolique).
   • Exemple : "Montrer que $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ et interpréter géométriquement le résultat."

5. Tableau de variations (0.25 - 0.5 point)

   • Geste attendu : Construction claire du tableau avec les signes de $f'(x)$, les flèches de variation de $f(x)$ et les limites aux bornes.
   • Exemple : "Dresser le tableau de variation de la fonction $U$ (sans calcul de limite)"

6. Détermination d'asymptotes obliques ou branches paraboliques (0.5 - 1 point)

   • Geste attendu : Calcul des limites $\lim \frac{f(x)}{x}$ puis $\lim (f(x)-ax)$ et conclusion.
   • Exemple : "Montrer que la courbe $(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique"

Ces questions sont souvent enchaînées, chaque résultat servant à la question suivante. La rigueur de la rédaction et la justification de chaque étape sont primordiales pour obtenir tous les points.