On considère les deux fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=e^x$ et $v(x)=x$. 1) Tracer dans un même repère orthonormé les courbes $(C_u)$ et $(C_v)$ des fonctions $u$ et $v$. 2) Justifier graphiquement que $e^x-x>0$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. 3) Calculer l'aire de la partie

2) $(C_u)$ est toujours au-dessus de $(C_v)$, donc $e^x-x>0$ pour tout $x\in\mathbb R$. 3) Aire $= e-\dfrac{3}{2}$ (unités d'aire).

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \,dx$

Une primitive de 1/x sur ]0,+oo[ est ln(x). Donc integral_1^e (1/x) dx = [ln(x)] de 1 a e = ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1. L'intégrale vaut 1.

Calculer $J = \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} \,dx$.

On remarque que (x^2+1)' = 2x, donc x/(x^2+1) = (1/2)(2x)/(x^2+1), dont une primitive est (1/2) ln(x^2+1). Ainsi J = [(1/2) ln(x^2+1)] de 0 a 1 = (1/2)(ln(2) - ln(1)) = (1/2) ln(2).

Calculer $I = \int_{0}^{1} x e^{x} \,dx$ (intégration par parties).

On pose u = x, dv = e^x dx, donc du = dx, v = e^x. I = [x e^x] de 0 a 1 - integral_0^1 e^x dx = (1 * e - 0) - [e^x] de 0 a 1 = e - (e - 1) = 1. Donc I = 1.

Calcul intégral — exercices corrigés

Le calcul intégral est une branche fondamentale de l'analyse, indispensable pour résoudre des problèmes d'aires, de volumes et de nombreuses applications en physique et ingénierie. Au programme du 2ème Bac PC, ce chapitre est évalué à environ 12% de la note finale de l'examen national. La maîtrise des primitives, des techniques de calcul d'intégrales (par primitivation directe, intégration par parties, ou changement de variable) et de leur interprétation géométrique est donc cruciale.

L'intuition

Khoya, l'intégrale, chno hiya? Machi ghir chi formule complexe. Imagine que 3andek wa7ed la courbe, w bghiti t3ref ch7al kayn ta7t menha. B7al ila bghiti t9is l'aire dyal chi terrain machi m9ad. L'intégrale kat3tik had l'aire b d9a, 7it katjme3 des "petits rectangles" bzaf, tal kaywliw infinis. C'est ça l'idée principale.

Le cours

I. Primitives d'une fonction

1. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$ , $F'(x) = f(x)$ .

2. Propriétés

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors toute autre primitive de $f$ sur $I$ est de la forme $F(x) + C$ , où $C$ est une constante réelle.
Si $f$ $f$ et $g$ $g$ sont deux fonctions admettant des primitives $F$ $F$ et $G$ $G$ sur $I$ $I$ , et si $\alpha \in \mathbb{R}$ $α \in R$ , alors :
- $F+G$ est une primitive de $f+g$ .
- $\alpha F$ est une primitive de $\alpha f$ .

3. Primitives des fonctions usuelles

Il est crucial de connaître les primitives des fonctions de base. Voici un tableau récapitulatif :

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Conditions
$k$ (constante)	$kx + C$
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$n \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$
$\frac{1}{x}$	$\ln	x
$e^x$	$e^x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x$	$\tan x + C$	$x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + C$	$x > 0$

4. Opérations sur les primitives

Ces formules sont des applications directes de la règle de dérivation des fonctions composées.

Primitive de $u'(x)u^n(x)$ : $\frac{u^{n+1}(x)}{n+1} + C$ (pour $n \ne -1$ )
Primitive de $\frac{u'(x)}{u(x)}$ : $\ln|u(x)| + C$
Primitive de $u'(x)e^{u(x)}$ : $e^{u(x)} + C$
Primitive de $\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$ : $2\sqrt{u(x)} + C$

Tape pour voir pourquoi c'est faux — et la bonne version.

II. Calcul d'intégrales

1. Définition de l'intégrale

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$ . L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est le nombre réel noté $\int_a^b f(x) dx$ et défini par :

$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

2. Propriétés de l'intégrale

Linéarité : Pour toutes fonctions continues $f, g$ $f, g$ sur $[a,b]$ $[a, b]$ et tout $\alpha \in \mathbb{R}$ $α \in R$ :
- $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
- $\int_a^b \alpha f(x) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx$
Relation de Chasles : Pour toute fonction continue $f$ $f$ sur un intervalle contenant $a, b, c$ $a, b, c$ :
- $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$
Inversion des bornes : $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$
Intégrale nulle : $\int_a^a f(x) dx = 0$
Positivité : Si $f(x) \ge 0$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f(x) dx \ge 0$ .
Comparaison : Si $f(x) \le g(x)$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$ .

3. Intégration par parties (IPP)

L'intégration par parties est une technique essentielle pour calculer des intégrales de produits de fonctions. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a,b]$ et dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a,b]$ . Alors :

$\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$

4. Changement de variable

Cette méthode consiste à transformer l'intégrale en une nouvelle intégrale avec une nouvelle variable, souvent pour simplifier l'expression à intégrer. Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $J$ et $u$ une fonction de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ telle que $u(I) \subset J$ . Pour $a, b \in I$ , on a :

$\int_{u(a)}^{u(b)} f(x) dx = \int_a^b f(u(t))u'(t) dt$

Cette formule est souvent utilisée dans l'autre sens pour simplifier une intégrale de la forme $\int_a^b f(u(x))u'(x) dx$ .

Vérifie que tu suis

Quelle méthode est la plus appropriée pour calculer $\int_0^1 x e^{x^2} dx$ ?

III. Interprétation géométrique de l'intégrale

1. Aire sous une courbe

Si $f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $[a,b]$ , alors l'intégrale $\int_a^b f(x) dx$ représente l'aire, en unités d'aire (u.a.), de la partie du plan délimitée par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$ .

Aire · sommes de Riemann

n = 6 rectangles · aire ≈ 2.037

Augmente n. Que devient l'aire des rectangles ? L'intégrale est la limite de cette somme.

2. Aire entre deux courbes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a,b]$ . Si pour tout $x \in [a,b]$ , $f(x) \ge g(x)$ , alors l'aire de la partie du plan délimitée par les courbes de $f$ et $g$ , et les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$ est donnée par :

$\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$

L'unité d'aire (u.a.) est déterminée par les unités des axes du repère. Si l'unité graphique est de 1 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées, alors 1 u.a. = $1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} = 1 \text{ cm}^2$ .

f(x) = e^x— lis f(x) sur la courbe

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "On considère les deux fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=e^x$ et $v(x)=x$ . 3) Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_u)$ , la courbe $(C_v)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ ."

1
1. Identifier les fonctions et l'intervalle
Les fonctions sont $u(x)=e^x$ et $v(x)=x$ . L'intervalle est $[0,1]$ .
2
1. Déterminer la position relative des courbes
3
1. Appliquer la formule de l'aire
4
1. Calculer l'intégrale
5
1. Préciser l'unité

La méthode

Pour résoudre un exercice de calcul intégral, suis ces étapes :

Identifier la nature de la question : S'agit-il de calculer une primitive, une intégrale définie, une aire, ou d'utiliser une technique spécifique (IPP, changement de variable) ?
Choisir la bonne méthode :
- Primitive directe : Si la fonction est une fonction usuelle ou une forme $u'u^n$ , $u'/u$ , $u'e^u$ , etc.
- Intégration par parties : Si c'est un produit de fonctions (ex: $x \ln x$ , $x e^x$ , $\ln x$ ). Choisir $u$ et $v'$ judicieusement.
- Changement de variable : Si l'intégrale semble compliquée mais qu'une substitution peut la simplifier en une forme usuelle. N'oublie pas de changer les bornes !
- Aire : Si la question demande une aire, détermine la position relative des courbes et applique la formule $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ .
Appliquer la méthode avec rigueur : Écris toutes les étapes de calcul clairement. Pour l'IPP, pose $u, v', u', v$ . Pour le changement de variable, pose $t=...$ , calcule $dt$ , et change les bornes.
Vérifier le résultat : Si tu as calculé une primitive $F$ , dérive-la pour voir si tu retrouves $f$ . Pour une intégrale, vérifie les bornes et les signes.

Pièges classiques

Kayn wa7ed l'erreur li kaydirouha bzaf dyal tlamed, w katkhsser lihom n9at. Machi ghir f l'intégrale, 7ta f les primitives. WRONG: Quand tu fais un changement de variable pour une intégrale définie, tu laisses les bornes d'origine. WHY: Khoya, fach katbdel la variable, ghaymchi kolchi. Les bornes dyal l'intégrale kaynin 3la 7sab la variable l'9dima. Si tu passes de $x$ à $t$ , les bornes dyalk khasshom ywelliw dyal $t$ . Sinon, le résultat ghaykoun ghalat. RIGHT: Si tu poses $t = \phi(x)$ , et que l'intégrale est de $a$ à $b$ pour $x$ , alors les nouvelles bornes pour $t$ seront $\phi(a)$ et $\phi(b)$ .

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur le calcul intégral sont très fréquentes et suivent des formats bien établis. Voici les types de questions que tu rencontreras, avec leur barème typique :

Reconnaître une primitive :
- Montrer que $H(x)$ $H (x)$ est une primitive de $h(x)$ $h (x)$ . (0.5 pt)
  - Geste 1 : Calculer $H'(x)$ . (0.25 pt)
  - Geste 2 : Vérifier que $H'(x) = h(x)$ . (0.25 pt)
- En déduire une intégrale simple. (0.5 pt)
  - Geste 1 : Appliquer la formule $F(b)-F(a)$ . (0.25 pt)
  - Geste 2 : Calculer la valeur. (0.25 pt)
Calculer une intégrale par parties (IPP) :
- Calculer $\int_a^b f(x) dx$ $\int_{a}^{b} f (x) d x$ en utilisant une IPP. (1 à 1.5 pts)
  - Geste 1 : Poser $u(x), v'(x), u'(x), v(x)$ . (0.5 pt)
  - Geste 2 : Appliquer la formule de l'IPP. (0.5 pt)
  - Geste 3 : Calculer la nouvelle intégrale et les valeurs aux bornes. (0.5 pt)
Calculer une intégrale par changement de variable :
- Calculer $\int_a^b f(x) dx$ $\int_{a}^{b} f (x) d x$ en utilisant un changement de variable. (1 à 1.5 pts)
  - Geste 1 : Poser le changement de variable $t=\phi(x)$ et calculer $dt$ . (0.5 pt)
  - Geste 2 : Changer les bornes de l'intégrale. (0.25 pt)
  - Geste 3 : Réécrire l'intégrale avec la nouvelle variable et les nouvelles bornes. (0.25 pt)
  - Geste 4 : Calculer l'intégrale résultante. (0.5 pt)
Interpréter comme aire sous la courbe (ou entre courbes) :
- Calculer l'aire d'une partie du plan délimitée par des courbes et des droites. (1 à 1.5 pts)
  - Geste 1 : Déterminer la fonction supérieure et inférieure (si deux courbes) ou la fonction et l'axe des abscisses. (0.25 pt)
  - Geste 2 : Poser l'intégrale correcte pour l'aire $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$ . (0.5 pt)
  - Geste 3 : Calculer l'intégrale. (0.5 pt)
  - Geste 4 : Exprimer le résultat en unités d'aire (u.a.). (0.25 pt)

Ces formats sont très stables d'une année à l'autre. La clé est la rigueur dans l'application des formules et la justification de chaque étape.

Calcul intégral

Méthode officielle